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Résolvez, en utilisant la règle de Cramer, le système d’équations : le déterminant de la matrice moins un, 𝑧, moins quatre, 𝑦 est égal à 23 ; le déterminant de la matrice deux, 𝑦, moins cinq, 𝑥 est égal à 13 ; et le déterminant de la matrice trois, 𝑥, cinq, 𝑧 est égal à 51.
On nous demande d'utiliser la règle de Cramer pour résoudre ce problème. Nous avons une situation un peu différente des questions qui impliquent souvent l'utilisation de la règle de Cramer, en effet, notre système d'équations linéaires nous a été donné en termes de déterminants. Commençons par rappeler la règle de Cramer. La règle de Cramer nous dit que si le déterminant de la matrice des coefficients dans un système d'équations linéaires est non nul, alors il existe une solution unique au système donné par 𝑥 est égal à Δ 𝑥 sur Δ, 𝑦 est égal à Δ 𝑦 sur Δ et 𝑧 est égal à Δ 𝑧 sur Δ.
Cependant, pour pouvoir utiliser la règle de Cramer, il faut d'abord que notre système d'équations linéaires se présente sous la forme d'une équation matricielle. Il va donc falloir utiliser les déterminants qui nous ont été donnés pour mettre ce système d'équations sous forme d'équation matricielle. Pour commencer, nous allons calculer les déterminants de ces matrices deux fois deux qui nous ont été données dans la question.
Rappelez-vous que nous trouvons le déterminant d'une matrice deux fois deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 en calculant 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Ainsi, regardons cette première matrice moins un, 𝑧, moins quatre, 𝑦. Le déterminant de cette matrice commencera par moins un multiplié par 𝑦. Ceci nous donne moins 𝑦. Ensuite, nous soustrayons 𝑧 multiplié par moins quatre. Cela nous donne moins quatre 𝑧. Puisque nous soustrayons un négatif, cela devient un plus. Le déterminant de cette matrice est donc moins 𝑦 plus quatre 𝑧. Comme indiqué dans la question, il est égal à 23.
Nous pouvons faire la même chose pour le deuxième déterminant. Trouvons le déterminant de la matrice deux, 𝑦, moins cinq, 𝑥. Nous faisons d'abord deux multiplié par 𝑥, ce qui nous donne deux 𝑥. Puis, nous soustrayons 𝑦 multiplié par moins cinq, ce qui donne moins cinq 𝑦. Encore une fois, puisque nous soustrayons un négatif, nous pouvons l'écrire comme un positif. Comme indiqué dans la question, le résultat est égal à 13.
Maintenant, étudions le troisième et dernier déterminant. Nous multiplions trois par 𝑧 ce qui donne trois 𝑧. Ensuite, nous soustrayons 𝑥 multiplié par cinq, ce qui donne cinq 𝑥. Nous savons que cela est égal à 51.
Ainsi, maintenant, nous avons réussi à utiliser les trois déterminants qui nous ont été donnés et à trouver les trois équations linéaires. Cependant, afin d'appliquer la règle de Cramer, il nous faut réécrire le système sous forme d'équation matricielle. Pour cela, réécrivons nos équations de sorte que les coefficients 𝑥, les coefficients 𝑦, les coefficients 𝑧 et les constantes soient tous alignés. Seulement, nous devons faire attention lorsque nous incluons des coefficients nuls dans notre matrice de coefficients. Pour gérer cette situation, lorsque nous réécrirons notre système d'équations, incluons les coefficients nuls avant de l'écrire sous forme d'équation matricielle.
Notre première équation est moins 𝑦 plus quatre 𝑧 est égal à 23. Seulement, nos variables sont 𝑥, 𝑦, et 𝑧 pour ce système. Nous pouvons donc le réécrire comme suit : zéro 𝑥 moins 𝑦 plus quatre 𝑧 est égal à 23. Nous pouvons donc faire la même chose pour notre deuxième équation. La deuxième équation n'inclut pas de coefficients pour 𝑧. Nous la réécrivons donc comme suit : deux 𝑥 plus cinq 𝑦 plus zéro 𝑧 est égal à 13. Ensuite, nous pouvons poser la dernière équation. Nous écrivons : moins cinq 𝑥 plus zéro 𝑦 plus trois 𝑧 est égal à 51. Nous incluons le zéro 𝑦 parce que l'équation n'avait pas de coefficients pour 𝑦 à l'origine. Nous réorganisons également l'équation de sorte que les 𝑥 viennent en premier, puis les 𝑦, puis les 𝑧. En l'écrivant de cette façon, il est beaucoup plus facile de transformer ce système en une équation matricielle.
Je vais faire de la place pour que nous n'ayons que les équations qui sont en orange. Voici donc nos trois équations, nous allons les transformer en une équation matricielle. L'équation matricielle comprend trois parties : la matrice des coefficients, qui est la matrice constituée des coefficients de nos variables 𝑥, 𝑦, et 𝑧 ; la matrice des variables, qui est constituée des variables de notre système, et la matrice des constantes, la matrice constituée des constantes.
Commençons donc par remplir les éléments de la matrice des coefficients avec les coefficients de nos variables. N'oubliez pas de faire attention à moins 𝑦 dans la première équation car le coefficient est moins un. Vous pouvez maintenant comprendre pourquoi nous avons réécrit les équations de cette manière pour tenir compte des coefficients nuls. La matrice des variables est constituée des variables de notre système. Il s'agit de 𝑥, 𝑦, et 𝑧. Enfin, la matrice des constantes est constituée des constantes de notre système d'équations. Soit 23, 13 et 51.
Maintenant, nous pouvons commencer à appliquer la règle de Cramer. Pour cela, nous allons avoir besoin de Δ 𝑥, Δ 𝑦, Δ 𝑧, et Δ. À ce stade, nous rappelons que Δ 𝑥, Δ 𝑦, et Δ 𝑧 sont les déterminants des matrices obtenues en remplaçant respectivement les coefficients des colonnes de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de la matrice des coefficients par les coefficients de la matrice des constantes. Allons-y et déterminons les valeurs de Δ 𝑥, Δ 𝑦, et Δ 𝑧.
Δ 𝑥 est le déterminant de la matrice que nous obtenons lorsque nous prenons la matrice des coefficients et que nous substituons les éléments de la matrice des constantes aux éléments de la colonne des coefficients de 𝑥, soit le déterminant de la matrice 23, moins un, quatre, 13, cinq, zéro, 51, zéro, trois. Nous pouvons alors rappeler comment nous trouvons le déterminant d'une matrice trois fois trois. Nous utilisons cette formule, qui consiste à trouver les déterminants des matrices deux fois deux, appelés sous-matrices de la matrice trois fois trois. Utilisons donc cette formule pour déterminer Δ 𝑥.
Remarquez que nous avons un moins négatif ici, nous pouvons donc l'écrire comme un plus. Nous pouvons maintenant calculer les déterminants de chacune de ces sous-matrices. Nous trouvons le déterminant de la première sous-matrice en faisant cinq multiplié par trois moins zéro multiplié par zéro. Cela nous donne 15. Ensuite, nous pouvons trouver le déterminant de la deuxième sous-matrice. Nous multiplions 13 par trois moins zéro multiplié par 51. Cela nous donne 39. Finalement, nous trouvons le déterminant de la dernière sous-matrice. Nous obtenons13 multiplié par zéro moins cinq multiplié par 51. Cela nous donne moins 255.
Je vais donc maintenant substituer ces valeurs. Il nous suffit donc de calculer 23 multiplié par 15 plus un multiplié par 39 plus quatre multiplié par moins 255. Après calcul, cela donne la valeur moins 636. Ainsi, nous avons trouvé que Δ 𝑥 vaut moins 636.
Nous pouvons maintenant calculer Δ 𝑦 en utilisant exactement la même méthode. Je vais d'abord faire un peu de place. Δ 𝑦 est la matrice que nous obtenons lorsque nous substituons les éléments de la matrice des constantes des coefficients de 𝑦 de la matrice des coefficients. Nous allons utiliser la même méthode que celle que nous venons d'utiliser pour trouver le déterminant de cette matrice. A partir de là, nous calculons à nouveau le déterminant de ces sous-matrices. Ils donnent 39, six et 167. Nous calculons donc zéro multiplié par 39 moins 23 multiplié par six plus quatre multiplié par 167. Cela nous donne 530. Ainsi, Δ 𝑦 vaut 530.
De la même façon, nous allons maintenant calculer Δ 𝑧. Nous trouvons Δ 𝑧 en trouvant le déterminant de la matrice que nous obtenons lorsque nous substituons les éléments de la matrice constante des coefficients de 𝑧 de la matrice des coefficients. Ensuite, nous pouvons utiliser la même méthode pour trouver le déterminant. Nous calculons ensuite les déterminants des sous-matrices, ils donnent 255, 167 et 25. Nous pouvons donc maintenant calculer zéro multiplié par 255 plus un multiplié par 167 plus 23 multiplié par 25. Nous trouvons que cela nous donne 742. Ainsi, Δ 𝑧 est égal à 742.
La dernière chose que nous devons trouver est donc Δ. Δ est le déterminant de la matrice des coefficients. Ainsi, une fois de plus, nous allons utiliser la même méthode pour trouver le déterminant de cette matrice trois fois trois. Encore une fois, nous devons trouver le déterminant de chacune de ces sous-matrices. Le premier est égal à 15. Le deuxième vaut six. Le troisième vaut 25. Nous calculons donc zéro multiplié par 15, plus un multiplié par six, plus quatre multiplié par 25. Cela nous donne 106. Ainsi, Δ est égal à 106.
Nous avons maintenant tous les éléments dont nous avons besoin pour utiliser la méthode de Cramer. Nous avons Δ 𝑥, Δ 𝑦, Δ 𝑧, et Δ. Nous pouvons donc maintenant substituer ces valeurs dans la solution unique de la méthode de Cramer pour déterminer les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Commençons par 𝑥 est égal à Δ 𝑥 sur Δ : puisque nous avons trouvé que Δ 𝑥 vaut moins 636 et que Δ vaut 106, 𝑥 est donc égal à moins 636 sur 106. Puisque 636 vaut six fois 106, cela donne juste moins six. La méthode de Cramer nous dit également que 𝑦 est égal à Δ 𝑦 sur Δ. Cela donne 530 sur 106. Puisque 530 divisé par 106 donne cinq, nous avons que 𝑦 est égal à cinq. Enfin, nous trouvons 𝑧 en faisant Δ 𝑧 sur Δ. Cela nous donne 742 sur 106. 742 divisé par 106 est égal à sept.
Notre réponse finale est donc 𝑥 est égal à moins six, 𝑦 est égal à cinq et 𝑧 est égal à sept.