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Vidéo de question : Déterminer la parité d’une fonction polynomiale Mathématiques

La fonction définie par 𝑓 (𝑥) = −𝑥⁵ - 3𝑥³ - 8𝑥, ∀ 𝑥 ∈ ℝ est-elle paire, impaire ou ni paire ni impaire ?

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Transcription de vidéo

La fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 à la puissance cinq moins trois 𝑥 au cube moins huit 𝑥, pour toutes les valeurs réelles de 𝑥, est-elle paire, impaire, ou ni paire ni impaire ?

Rappelons que toute fonction réelle est paire si 𝑓 de moins 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥. En revanche, une fonction est impaire si 𝑓 de moins 𝑥 est égale à moins 𝑓 de 𝑥. Pour déterminer si notre fonction moins 𝑥 à la puissance cinq moins trois 𝑥 au cube moins huit 𝑥 est paire ou impaire, nous devons trouver une expression de 𝑓 de moins 𝑥. Nous le faisons ainsi en remplaçant chaque 𝑥 dans notre fonction par moins 𝑥.

Nous savons que le produit de deux termes négatifs est positif. Ainsi, moins 𝑥 au carré donne 𝑥 au carré. Moins 𝑥 le tout au cube donne moins 𝑥 au cube, vu que nous multiplions un positif par un négatif. Ce principe se poursuit de sorte que moins 𝑥 à la puissance quatre est égal à 𝑥 à la puissance quatre et moins 𝑥 le tout à la puissance cinq est égal à moins 𝑥 à la puissance cinq.

De manière générale, si nous mettons moins 𝑥 à une puissance quelconque, si la puissance est paire, notre réponse sera positive, alors que si elle est impaire, la réponse sera négative. Cela veut dire que le premier terme de notre expression est moins 𝑥 à la puissance cinq. Les deux négatifs deviennent alors un positif. Ainsi, il nous restera 𝑥 à la puissance cinq.

Notre deuxième terme est moins trois multiplié par moins 𝑥 au cube. Cela correspond à trois 𝑥 au cube. Enfin, moins huit multiplié par moins 𝑥 est égal à huit 𝑥. Ainsi, la fonction 𝑓 de moins 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance cinq plus trois 𝑥 au cube plus huit 𝑥.

Nous constatons que ces trois termes sont de signe opposé à 𝑓 de 𝑥. Nous pourrions donc mettre en facteur ou factoriser par moins un. Cela pourrait être écrit comme moins 𝑥 à la puissance cinq moins trois 𝑥 au cube moins huit 𝑥. L'expression qui est à l'intérieur des parenthèses est la même que 𝑓 de 𝑥.

Nous pouvons donc conclure que 𝑓 de moins 𝑥 est égale à moins 𝑓 de 𝑥. Ceci signifie que la fonction est impaire pour toutes les valeurs réelles de 𝑥.

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