Vidéo question :: Déterminer la valeur d’un terme dans une suite arithmétique Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez 𝑐 dans la suite arithmétique 𝑎, 37, 𝑏, 61, 𝑐.

Étant donnée la suite arithmétique 𝑎, 37, 𝑏, 61, 𝑐, réfléchissons à certaines propriétés des suites arithmétiques. Dans une suite arithmétique, les valeurs comprises entre 𝑎 un et 𝑎 𝑛, c'est-à-dire les valeurs comprises entre le premier terme et le terme de rang 𝑛 sont appelées les 𝑛 moyennes arithmétiques. Ainsi, le deuxième terme est la moyenne arithmétique des premier et troisième termes. Cela signifie que 𝑎 un plus 𝑎 trois divisé par deux sera égal à 𝑎 deux. Le deuxième terme est à mi-chemin entre le premier et le troisième terme. Et cela signifie que 𝑏 est à mi-chemin entre 37 et 61. 𝑏 est la moyenne arithmétique de 37 et de 61.

Ainsi 37 plus 61 divisé par deux doit être égal à 𝑏, ce qui fait que 𝑏 vaut 49. Si nous savons que le troisième terme est 49 et que le quatrième terme est 61, nous savons aussi que le quatrième terme est la moyenne arithmétique entre le troisième et le cinquième termes. Nous disons que 61 est à mi-chemin entre 𝑏 et 𝑐, ce qui signifie que 𝑏 plus 𝑐 divisé par deux doit être égal à 61. Si nous posons cette équation avec 𝑏 égale 49, en multipliant les deux membres de l’équation par deux, nous obtenons 49 plus 𝑐 égale 122. Et en soustrayant 49 des deux côtés, nous obtenons que 𝑐 est égal à 73.

La première méthode que nous avons appliquée pour résoudre ce problème consiste à utiliser les moyennes arithmétiques. Nous pourrions également le résoudre en utilisant la raison. Si nous prenons les cinq termes de la suite qui nous a été donnée, en sachant qu’ils forment une suite arithmétique, nous savons que la suite a une raison. Autrement dit, la différence entre deux termes consécutifs sera le même partout. Pour passer de 𝑎 à 37, nous ajoutons la raison r. Mais on peut aussi dire que pour passer de 37 à 61, il faut ajouter deux fois la raison r. Cela signifie que nous pouvons écrire 37 plus deux 𝑑 est égal à 61. Cela nous permet de déterminer la raison.

Pour ce faire, nous soustrayons 37 des deux membres, et nous constatons que deux fois la raison égale 24. Et en divisant les deux membres par deux, nous obtenons que la raison vaut 12. Nous cherchons la valeur de 𝑐. Et, 𝑐 est égal à 61 plus la raison. Si 61 plus 𝑑 est égal à 𝑐 et que nous savons que la raison est 12, alors 𝑐 est égal à 73. Les deux méthodes fonctionnent. Elles s’appuient simplement sur différentes propriétés des suites arithmétiques. En fin de compte, les deux prouvent que, pour cette suite, 𝑐 doit être égal à 73.