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Vidéo de question : Détermination de la valeur maximale impliquant une fonction rationnelle à l’aide de la règle du quotient Mathématiques

Le volume d’un ballon augmente suivant l’équation horaire V (𝑡) = (7000𝑡 / (𝑡² + 49)) + 4000, où le temps est mesuré en heure. Déterminez le volume maximal.

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Transcription de vidéo

Le volume d’un ballon augmente suivant l’équation horaire V de 𝑡 égale 7000𝑡 sur 𝑡 au carré plus 49, plus 4000, où le temps est mesuré en heure. Déterminez le volume maximal.

Nous avons alors reçu une équation qui régit la croissance de ce ballon à air chaud. Et on nous demande de déterminer son volume maximum. Eh bien, cela se produira lorsque le volume du ballon à air chaud n’augmente plus, ce qui signifie que le taux de variation de ce volume par rapport au temps sera égal à zéro. Nous savons que le taux de variation d’une quantité est donné par sa dérivée première. Donc, afin de déterminer le volume maximum, nous devons d’abord déterminer le temps auquel V prime de 𝑡, la dérivée première de cette fonction, est égale à zéro.

Nous pouvons utiliser la dérivation pour trouver une expression pour V prime de 𝑡. En regardant notre fonction V de 𝑡, nous voyons que c’est un quotient de deux fonctions dérivables plus une constante. Nous allons donc devoir utiliser la règle du quotient pour nous aider à nous dériver. La règle du quotient nous dit que, pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur quotient, 𝑢 sur 𝑣, est égale à 𝑣𝑢 prime moins 𝑢𝑣 prime sur 𝑣 au carré.

Nous allons donc faire 𝑢 égal à la fonction au numérateur du quotient, soit 7000𝑡, et 𝑣 égal à la fonction au dénominateur. C’est 𝑡 carré plus 49. Nous devons trouver chacune de leurs dérivées individuelles par rapport à 𝑡, ce que nous pouvons faire en utilisant la règle de dérivation des puissances. La dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑡, 𝑢 prime, est égale à 7000. Et la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡, 𝑣 prime, est égale à deux 𝑡.

Ensuite, nous pouvons remplacer dans la formule de la règle du quotient. On a V prime de 𝑡 est égale à 𝑣𝑢 prime, soit 𝑡 au carré plus 49 multiplié par 7000, moins 𝑢𝑣 prime. Soit 7000𝑡 multiplié par deux 𝑡. Et tout cela est divisé par 𝑣 au carré. C’est 𝑡 au carré plus 49 le tout au carré. Ensuite, rappelez-vous, cela donne juste la dérivée de la première partie de notre fonction V de 𝑡. Nous devons également nous rappeler de dériver cette constante de 4000. Mais comme la dérivée d’une constante est zéro, elle n’apporte aucune contribution à notre dérivée. Nous pouvons ensuite distribuer les parenthèses au numérateur et collecter les termes similaires, pour donner V prime de 𝑡 égale 343000 moins 7000 𝑡 au carré sur 𝑡 au carré plus 49 au carré.

Rappelez-vous, pourtant, que nous avons dit que le volume maximal de ce ballon à air chaud serait atteint lorsque son taux de variation par rapport au temps est égal à zéro. Donc, ensuite, nous allons définir notre expression pour la dérivée première égale à zéro et résoudre pour 𝑡. Nous avons alors l’équation, 343000 moins 7000 𝑡 au carré sur 𝑡 au carré plus 49 au carré est égal à zéro. Pour qu’un quotient soit égal à zéro, il doit être vrai que le numérateur du quotient est égal à zéro. Donc, en fait, nous pouvons simplifier notre équation. Nous allons avoir 343000 moins 7000 𝑡 au carré est égal à zéro. Ajouter 7000 𝑡 au carré de chaque côté, puis diviser par 7000, donne 𝑡 au carré est égal à 49.

Nous pouvons résoudre cette équation en prenant la racine carrée des deux côtés. Et comme 𝑡 représente le temps, nous allons seulement prendre la valeur positive. La racine carrée positive de 49 est sept. Nous avons donc que le volume maximum de la montgolfière sera atteint lorsque 𝑡 est égal à sept. C’est après sept heures. Ensuite, nous devons déterminer quel est le volume maximum. Et nous pouvons le faire en substituant 𝑡 égale sept dans notre équation V de 𝑡. Nous obtenons 7000 multiplié par sept sur sept au carré plus 49, plus 4000. Cela équivaut à 49000 sur 98 plus 4000, ce qui équivaut à 4500. Nous avons alors constaté que le volume maximum de la montgolfière est de 4500 unités cubiques.

Alors, nous n’avons trouvé qu’une seule valeur pour 𝑡 lorsque la résolution de V prime de 𝑡 est égale à zéro. Donc, c’est le seul point critique de notre fonction V de 𝑡. Mais nous devons confirmer qu’il s’agit bien d’un maximum. Et nous pouvons le faire en utilisant le test de la dérivée première. Ce que nous allons faire, c’est considérer la forme de la courbe autour de ce point critique en évaluant la pente de la courbe. On a vu qu’un point critique est survenu lorsque 𝑡 était égal à sept. Nous allons donc choisir des valeurs de 𝑡 de chaque côté de cela. Choisissons six et huit. Nous savons que lorsque 𝑡 est égal à sept, la dérivée première de la pente est égale à zéro. Lorsque 𝑡 est égal à six, la dérivée première est égale à 343000 moins 7000 multiplié par six au carré sur six au carré plus 49 au carré, ce qui est égal à 12,595. Nous constatons donc que la pente de la courbe est positive lorsque 𝑡 est égal à six.

De l’autre côté du point critique, lorsque 𝑡 est égal à huit, la dérivée première est égale à 343000 moins 7000 multiplié par huit au carré sur huit au carré plus 49 au carré, ce qui est égal à moins 8,223. La pente de la courbe est donc négative de ce côté du point critique. Ainsi, la pente passe de positive à zéro à négative. Et nous pouvons donc voir à partir d’un schéma que le point critique en 𝑡 égal à sept est en effet un maximum local.

Nous avons alors résolu le problème. Nous avons trouvé que le volume maximum de la montgolfière est de 4500 unités cubiques. Et en utilisant le test de la dérivée première, nous avons confirmé qu’il s’agit bien d’un maximum local.

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