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Vidéo de la leçon : Simplification des monômes : règle du quotient Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment diviser des monômes contenant une ou plusieurs variables.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment diviser des monômes contenant une ou plusieurs variables. En particulier, nous nous concentrerons sur la simplification du quotient des termes monômes.

Pour commencer, rappelons la définition d’un monôme. Un monôme est un terme algébrique où chaque variable est élevée à une puissance entière non négative. Pour voir comment simplifier le quotient des monômes, nous pouvons commencer par un exemple. Disons que nous voulons simplifier le quotient de 𝑥 au cube et 𝑥 au carré. Nous simplifions ce quotient en rappelant que les exposants ou les puissances sont définis comme une multiplication répétée. Ainsi, 𝑥 au cube est égal à 𝑥 fois 𝑥 fois 𝑥, et 𝑥 au carré est égal à 𝑥 fois 𝑥. Nous pouvons l’utiliser pour réécrire le quotient.

À ce stade, il est important de noter que 𝑥 représente un nombre non nul. Sinon, le quotient serait indéfini. La raison pour laquelle 𝑥 ne peut pas être égale à zéro est parce que nous savons que nous ne pouvons pas diviser par zéro. Et de la même manière, nous ne pouvons pas annuler les facteurs communs de 𝑥 si 𝑥 est nul. Mais lorsque 𝑥 n’égal pas à zéro, nous pouvons annuler les facteurs communs de 𝑥. Cela nous laisse avec 𝑥 sur un, ou juste 𝑥.

Nous pouvons généraliser ce processus pour le quotient de deux monômes. Pour faire cela, commençons par le quotient des monômes 𝑥 à la puissance 𝑚 et 𝑥 à la puissance 𝑛 pour les entiers positifs 𝑚 et 𝑛, avec 𝑚 supérieur ou égal à 𝑛. Ensuite, nous écrivons le produit avec 𝑚 facteurs au numérateur et 𝑛 facteurs au dénominateur. Puisque 𝑚 est supérieur ou égal à 𝑛, les facteurs restants non annulés seront dans le numérateur. Le nombre de facteurs non annulés sera donc 𝑚 moins 𝑛. Par conséquent, nous avons 𝑥 à la puissance 𝑚 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑛 égale 𝑥 à la puissance 𝑚 moins 𝑛. Ceci est connu comme la règle du quotient pour les puissances.

La règle du quotient pour les puissances stipule que pour tous entiers 𝑚 et 𝑛 avec 𝑚 supérieur ou égal à 𝑛 et toute valeur non nulle de 𝑥, nous avons 𝑥 à la puissance 𝑚 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑛 égale 𝑥 à la puissance de 𝑚 moins 𝑛. Nous pouvons appliquer cette règle pour trouver le quotient de deux monômes, comme nous le verrons dans notre premier exemple.

Simplifiez 𝑥 à la puissance sept sur 𝑥 à la puissance six.

Puisqu’on nous demande de simplifier le quotient de deux monômes, nous pouvons commencer par rappeler la règle du quotient pour les puissances, qui stipule que pour tous entiers 𝑚 et 𝑛 tel que 𝑚 est supérieur ou égal à 𝑛 et toute valeur non nulle de 𝑥, nous avons 𝑥 à la puissance 𝑚 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑛 égale 𝑥 à la puissance 𝑚 moins 𝑛.

Dans ce cas, nous avons 𝑚 égal à sept et 𝑛 égal à six. Ainsi, lorsque nous substituons ces valeurs dans la règle du quotient pour les puissances, nous obtenons 𝑥 à la puissance sept moins six, ce qui équivaut à 𝑥 à la puissance un. Enfin, nous rappelons qu’élever un nombre à la puissance un le laisse inchangé. Ainsi, 𝑥 à la puissance sept sur 𝑥 à la puissance six est égal à 𝑥.

Il convient de noter que nous pouvons également résoudre ce problème à partir des méthodes primitives en écrivant tout le produit avec sept facteurs au numérateur et six facteurs au dénominateur. Nous pouvons alors annuler les six facteurs communs au numérateur et au dénominateur, ce qui nous laisse avec un seul facteur de 𝑥.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment cette règle peut être appliquée pour répondre à une question avec un modèle d’aire.

Déterminez la longueur du côté manquant du rectangle suivant.

Nous commençons par rappeler que l’aire d’un rectangle est donnée par sa longueur multipliée par sa largeur. Sur la figure, nous avons l’aire du rectangle 24𝑥 au carré et la largeur du rectangle est quatre 𝑥. Si nous appelons la longueur du rectangle 𝑙, nous devons avoir 24𝑥 au carré égal à 𝑙 fois quatre 𝑥.

Notez que 𝑥 ne peut pas être égal à zéro puisque la largeur et l’aire du rectangle sont non nulles. Ainsi, nous pouvons diviser les deux membres de l’équation par quatre 𝑥. Sur le membre droit de l’équation, nous annulons les facteurs communs de quatre 𝑥 pour obtenir 24𝑥 au carré sur quatre 𝑥 égale 𝑙. Nous voyons que le numérateur et le dénominateur de la fraction résultante contiennent chacun un monôme. Un monôme est un terme algébrique où chaque variable est élevée à une puissance entière non négative.

Sur le membre gauche, nous avons un quotient de monômes, qui peut être simplifié en utilisant la règle du quotient pour les puissances. Cette règle stipule que pour tous entiers 𝑚 et 𝑛 tel que 𝑚 est supérieur ou égal à 𝑛 et toute valeur non nulle de 𝑥, nous avons 𝑥 à la puissance 𝑚 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑛 égale 𝑥 à la puissance 𝑚 moins 𝑛. Il peut être utile de diviser le quotient en le produit de deux quotients, où les facteurs de base 𝑥 sont regroupés.

Puisque 𝑥 est égal à 𝑥 à la puissance un, nous pouvons appliquer la règle du quotient avec 𝑚 égal à deux et 𝑛 égal à un. Et nous trouvons que 𝑥 à la puissance deux divisé par 𝑥 à la puissance un est égal à 𝑥. Ensuite, nous simplifions 24 sur quatre, ce qui donne six. Par conséquent, la longueur manquante du rectangle est donnée par six 𝑥.

Jusqu’à présent, nous n’avons traité que du quotient des monômes à une variable. Cependant, nous pouvons appliquer le même processus pour trouver le quotient des monômes à plusieurs variables, comme nous le verrons dans notre exemple suivant.

Simplifiez moins 12𝑥 à la puissance six fois 𝑦 à la puissance cinq sur six 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑦.

Nous remarquons que le numérateur et le dénominateur contiennent tous deux des monômes à plusieurs variables. Nous rappelons qu’un monôme est un terme algébrique où chaque variable est élevée à une puissance entière non négative. Dans ce cas, les termes monômes comprennent les variables 𝑥 et 𝑦. Pour simplifier le quotient donné, nous pouvons le réécrire comme moins 12 fois 𝑥 à la puissance six fois 𝑦 à la puissance cinq sur six fois 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑦.

Ensuite, nous pouvons utiliser les propriétés de la multiplication des nombres rationnels pour réécrire la division en facteurs avec la même base. Le premier quotient se simplifie en moins deux. Ensuite, nous pouvons simplifier les deux derniers quotients en utilisant la règle du quotient pour les puissances, qui dit que pour tous entiers 𝑚 et 𝑛 tels que 𝑚 est supérieur ou égal à 𝑛 et toute valeur non nulle de 𝑥, nous avons 𝑥 à la puissance de 𝑚 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑚 moins 𝑛.

Pour simplifier ces quotients, nous devons supposer que 𝑥 et 𝑦 sont non nuls. Et nous notons que 𝑦 est égal à 𝑦 à la puissance un. Ensuite, selon la règle du quotient, 𝑥 à la puissance six sur 𝑥 à la puissance quatre égale 𝑥 à la puissance six moins quatre. Et 𝑦 à la puissance cinq sur 𝑦 à la puissance un est égale à 𝑦 à la puissance cinq moins un.

En conclusion, moins 12𝑥 à la puissance six fois 𝑦 à la puissance cinq sur six 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑦 se simplifie en moins deux 𝑥 au carré fois 𝑦 à la puissance quatre.

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons ce processus pour simplifier le produit et le quotient des monômes.

Simplifiez 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑦 à la puissance quatre multiplié par 𝑥 au carré fois 𝑦 à la puissance quatre sur 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑦 au cube.

Nous remarquons d’abord que le numérateur de cette expression est le produit de deux monômes. Un monôme est un terme algébrique où chaque variable est élevée à une puissance entière non négative. Pour simplifier l’expression entière, nous devrons d’abord simplifier le numérateur en utilisant la règle du produit pour les puissances, qui dit que pour tout nombre rationnel 𝑥 et les entiers non négatifs 𝑚 et 𝑛, nous avons 𝑥 à la puissance 𝑚 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑚 plus 𝑛.

Premièrement, en utilisant la propriété de commutativité de la multiplication, nous réécrivons le numérateur comme 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑥 au carré multiplié par 𝑦 à la puissance quatre fois 𝑦 à la puissance quatre. Selon la règle du produit pour les puissances, nous pouvons additionner les puissances des deux facteurs avec une base 𝑥, puis additionner les puissances des facteurs avec une base 𝑦. En même temps, le dénominateur est toujours 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑦 au cube.

Ensuite, après avoir simplifié le numérateur en utilisant la commutativité et la règle du produit, nous avons 𝑥 à la puissance six fois 𝑦 à la puissance huit sur 𝑥 à la puissance quatre fois 𝑦 au cube. Le résultat est le quotient de deux monômes. Nous rappelons que nous pouvons simplifier le quotient de deux monômes en réorganisant d’abord le quotient pour réécrire les facteurs de même base.

Nous pouvons alors simplifier les deux derniers quotients en utilisant la règle du quotient pour les puissances, qui dit que pour tous entiers 𝑚 et 𝑛 tels que 𝑚 est supérieur ou égal à 𝑛 et toute valeur non nulle de 𝑥, nous avons 𝑥 à la puissance 𝑚 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑛 égale 𝑥 à la puissance 𝑚 moins 𝑛. Nous supposons que 𝑥 et 𝑦 sont non nuls, puis appliquons cette règle pour obtenir 𝑥 à la puissance deux fois 𝑦 à la puissance cinq. C’est la simplification du produit initial et du quotient des monômes.

Terminons en récapitulant quelques points clés de cette vidéo. Premièrement, nous devons pouvoir reconnaître un monôme comme un terme algébrique où chaque variable est élevée à une puissance entière non négative. Lorsqu’un quotient de monômes doit être simplifié, nous utilisons la règle du quotient pour les puissances. Cette règle dit que pour tous entiers 𝑚 et 𝑛 tel que 𝑚 est supérieur ou égal à 𝑛 et toute valeur non nulle de 𝑥, nous avons 𝑥 à la puissance 𝑚 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑛 égale 𝑥 à la puissance 𝑚 moins 𝑛.

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