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Vidéo de question : Évaluation de l’intégrale définie d’une fonction constante Mathématiques

Calculez ∫ _ (- 3) ^ (3) −5𝑒 d𝑥.

04:19

Transcription de vidéo

Calculez l’intégrale définie, de moins trois à trois, de moins cinq 𝑒, par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande d’évaluer une intégrale définie. Et nous le ferons en utilisant ce que nous savons du théorème fondamental de l’analyse. Nous allons donc commencer par rappeler le théorème fondamental de l’analyse. En fait, nous ne rappellerons que la partie sur l’évaluation des intégrales définies. Nous savons que si 𝑓 minuscule est continue sur un intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏 et que 𝐹 majuscule prime de 𝑥 est égale à 𝑓 minuscule de 𝑥, alors l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝐹 majuscule évaluée en 𝑏 moins 𝐹 majuscule évaluée en 𝑎.

En d’autres termes, si l’intégrande est continue sur l’intervalle d’intégration, alors nous pouvons évaluer l’intégrale définie en trouvant une primitive de l’intégrande. Et 𝐹 majuscule de 𝑥 est notre primitive. Nous connaissons de nombreuses méthodes différentes pour trouver des primitives. Mais avant de faire cela, nous devons vérifier que notre intégrande est continue sur l’intervalle d’intégration. Premièrement, pour l’intégrale définie qui nous est donnée dans la question, notre limite inférieure d’intégration est moins trois et notre limite supérieure est trois. Nous avons donc fixé 𝑎 égal à moins trois et 𝑏 égal à trois.

Nous devons donc montrer que notre intégrande moins cinq 𝑒 est continue sur l’intervalle fermé de moins trois à trois. Dans ce cas, notre intégrande est une fonction constante. Et nous savons que les fonctions constantes sont continues pour toutes les valeurs réelles. Donc, en particulier, elle sera continue sur l’intervalle fermé de moins trois à trois. Cela signifie que nous sommes autorisés à évaluer cette intégrale définie en utilisant le théorème fondamental de l’analyse. Nous avons juste besoin de trouver notre primitive, 𝐹 majuscule de 𝑥.

Et en fait, nous connaissons plusieurs façons différentes de trouver cette primitive. Par exemple, nous savons que la dérivée de moins cinq 𝑒 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins cinq 𝑒. Nous le savons en utilisant la règle de puissance pour la dérivation ou en remarquant qu’il s’agit d’une fonction linéaire. Cela signifie que moins cinq 𝑒 𝑥 est un exemple de notre primitive.

Ce n’est pas la seule méthode que nous avons pour trouver des primitives. Nous pouvons également utiliser ce que nous savons des intégrales indéfinies. Par exemple, en utilisant la règle de puissance pour l’intégration, nous savons que l’intégrale indéfinie de moins cinq 𝑒 par rapport à 𝑥 est égale à moins cinq 𝑒 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. Et cela nous donne des primitives pour toute valeur de 𝐶. Nous appelons cela la forme générale de la primitive.

Nous pouvons utiliser la méthode que nous préférons. Et en fait, nous pouvons utiliser n’importe quelle valeur de 𝐶 dans notre primitive, mais il est généralement plus facile de choisir 𝐶 égale zéro. Nous allons donc choisir pour primitive 𝐹 de 𝑥 moins cinq 𝑒 𝑥. Nous sommes prêts à appliquer le théorème fondamental de l’analyse. Mais avant de commencer à substituer 𝑏 et 𝑎 dans notre primitive, nous allons passer en revue la notation. Nous pourrions simplement substituer directement nos limites d’intégration dans notre primitive. Cependant, nous écrivons normalement ceci en utilisant la notation suivante. Nous écrivons notre primitive à l’intérieur des crochets, puis avons nos limites supérieures et inférieures d’intégration à l’extérieur. Ceci est juste utilisé pour nous aider à garder les choses propres et rangées.

Nous sommes prêts à évaluer notre primitive aux limites de l’intégration. Rappelez-vous, nous avons besoin de 𝐹 majuscule de 𝑏 moins 𝐹 majuscule de 𝑎. Cela nous donne moins cinq 𝑒 fois trois moins moins cinq 𝑒 fois moins trois. Et nous pouvons alors simplifier. Moins cinq fois trois dans notre premier terme est moins 15. Et dans notre deuxième terme, moins un fois moins cinq multiplié par moins trois se simplifie pour nous donner moins 15. Ainsi, notre intégrale définie simplifiée pour nous donner moins 15𝑒 moins 15𝑒, ce qui est égal à moins 30𝑒. Et voici notre réponse finale.

Par conséquent, en utilisant le théorème fondamental de l’analyse, nous avons pu montrer que l’intégrale définie de moins trois à trois de moins cinq 𝑒 par rapport à 𝑥 est égale à moins 30𝑒.

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