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Vidéo de question : Déterminer l’aire d’un segment circulaire en fonction de la longueur du rayon de son cercle et de la longueur de son arc Mathématiques

Le rayon d’un cercle est égal à 40 cm et la longueur d’arc d’un segment est égale à 18 cm. Déterminez l’aire du segment en arrondissant au centième près.

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Transcription de vidéo

Le rayon d’un cercle est égal à 40 centimètres et la longueur d’arc d’un segment est égale 18 centimètres. Déterminez l’aire du segment en arrondissant au centième près.

Voici un diagramme du secteur de notre cercle. Nous savons que son rayon est de 40 centimètres et sa longueur d’arc de 18 centimètres. Maintenant, nous essayons de trouver l’aire du segment. C’est cette petite partie hachurée. Et donc, nous rappelons que, pour trouver l’aire du segment, nous trouvons l’aire de tout le secteur, puis soustrayons l’aire de ce triangle. Le problème est que, pour trouver l’aire du secteur et du triangle, nous devons calculer l’angle thêta. Et pour ce faire, nous allons commencer par utiliser l’information selon laquelle la longueur d’arc du segment est de 18 centimètres.

Maintenant, si nous travaillons avec des degrés, la formule que nous utilisons pour trouver la longueur de l’arc est pi fois le diamètre multiplié par thêta sur 360. En gros, nous trouvons une proportion de la circonférence complète du cercle. Lorsque nous travaillons avec des radians, cependant, les choses sont beaucoup plus simples. La formule que nous utilisons est 𝑟 thêta. Nous multiplions la longueur du rayon par l’angle thêta en radians. Nous savons que la longueur de l’arc de notre segment est de 18 centimètres et le rayon du cercle de 40. Donc, en remplaçant ce que nous savons dans notre formule, nous obtenons que 18 est égal à 40 fois thêta. Et puis nous divisons les deux côtés par 40. Donc, thêta vaut 18 sur 40, ou neuf vingtièmes, en radians.

Et maintenant, nous connaissons l’angle thêta en radians. Nous sommes prêts à calculer l’aire du secteur. Lorsque thêta est mesuré en radians, l’aire est un demi de 𝑟 au carré fois thêta. Dans ce cas, l’aire de notre secteur est un demi fois 40 fois neuf vingtièmes. Cela fait 360 centimètres carrés. Mais qu’en est-il de l’aire du triangle ? Eh bien, nous allons utiliser la formule trigonométrique un demi de 𝑎𝑏 fois le sinus de l’angle en 𝑐, où 𝑐 est le sommet qui se trouve au centre de notre cercle. L’aire de notre triangle est un demi fois 40 fois 40 fois le sinus de neuf vingtièmes. Ce qui fait 347,972, et nous travaillons toujours, bien sûr, en centimètres carrés.

Nous savons que l’aire du segment est l’aire du secteur moins l’aire du triangle. Donc, c’est 360 moins 347,972. Soit 12,0275. Arrondi à deux décimales près, cela donne à 12,03. Et nous voyons alors que l’aire du segment de notre cercle est de 12,03 centimètres carrés.

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