Vidéo question :: Déterminer la somme d’une suite géométrique connaissant ses premier et dernier termes et sa raison. Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans une suite géométrique, le premier terme est noté 𝑎, la raison 𝑟 et, le dernier terme 𝑙. Calculez la somme de tous les termes de la suite pour 𝑎 égale 1408, 𝑟 égale un demi et 𝑙 égale 88.

Rappelons deux formules à utiliser pour les suites géométriques. Premièrement, le terme de rang 𝑛 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 multiplié par 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un. Deuxièmement, la somme des 𝑛 premiers termes 𝑆 𝑛 est égale à 𝑎 multiplié par un moins 𝑟 à la puissance 𝑛 le tout divisé par un moins 𝑟. On nous indique dans la question que 𝑙 est égal à 88. Étant donné qu’il s’agit du dernier terme, celui-ci sera égal à 𝑎 𝑛. En substituant nos valeurs de 𝑎 et 𝑟, nous obtenons l'équation 88 égale 1408 multiplié par une demi à la puissance 𝑛 moins un.

Si nous divisons les deux côtés de l'équation par 1408, nous avons un sur 16 égale un demi à la puissance 𝑛 moins un. Nous pouvons remarquer ici qu'un demi à la puissance quatre correspond à un sur 16. En effet, quand nous mettons une fraction à une puissance, cela signifie que nous mettons séparément le numérateur et le dénominateur à cette puissance. Dans notre cas, un à la puissance quatre est égal à un et deux à la puissance quatre est égal à 16. Ce qui signifie que 𝑛 moins un doit être égal à quatre. Si nous ajoutons un aux deux côtés de cette équation, nous obtenons 𝑛 égale cinq. Ainsi, il y a cinq termes dans la suite géométrique.

Au cas où nous aurions ignoré qu'un demi puissance quatre égal un sur 16, nous aurions pu utiliser le logarithme. En effet, nous savons que si 𝑎 égale 𝑏 à la puissance 𝑥, alors 𝑥 égale le logarithme de base 𝑏 de 𝑎. Autrement dit, dans notre question, 𝑛 moins un égale logarithme de base un demi d'un sur 16. Ceci est égal à quatre. Encore une fois, 𝑛 moins un est égal à quatre et donc, 𝑛 est égal à cinq. Nous pouvons alors calculer la somme des cinq termes de la suite géométrique. Celle-ci est égale à 1408 multiplié par un moins un demi à la puissance cinq, le tout divisé par un moins un demi. En saisissant cela sur la calculatrice, nous obtenons 2728.

La somme de la suite géométrique avec 𝑎 égale 1408, 𝑟 égale un demi et 𝑙 égale 88 est 2728.