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Vidéo de la leçon : Le théorème de Pythagore en 3D

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes tridimensionnels.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes tridimensionnels. Nous allons commencer par récapituler ce qu’est le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore stipule que, pour un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse, ce côté le plus long du triangle, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si on représente l’hypoténuse avec la lettre 𝑐 et les deux autres côtés comme 𝑎 et 𝑏, alors on peut écrire le théorème de Pythagore comme 𝑐 au carré égale 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Lorsqu’on utilise le théorème de Pythagore en trois dimensions, on peut toujours utiliser cette formule. Mais on doit faire attention à trouver un triangle bidimensionnel et identifier qu’il s’agit d’un triangle rectangle. Par exemple, si on veut calculer la longueur de la diagonale de cette face sur un pavé droit ou prisme rectangulaire, alors puisqu’on a un prisme, on sait que ceci est un angle droit. Et par conséquent, on peut utiliser les deux autres côtés, 𝑎 et 𝑏, pour calculer la longueur de la diagonale d’une face. Alternativement, si on voulait calculer la longueur de la diagonale qui traverse ce pavé droit, alors ce triangle rectangle aurait une longueur qui est la diagonale de la face de la base du pavé droit. Avant d’utiliser le théorème de Pythagore, examinons d’abord une question dans laquelle on identifie les diagonales d’un pavé droit.

Identifiez une paire de points entre lesquels on peut tracer la diagonale du pavé droit suivant. Option (A) 𝐴 et 𝐶, option (B) 𝐸 et 𝐷, option (C) 𝐹 et 𝐶, option (D) 𝐺 et 𝐷, option (E) 𝐴 et 𝐺.

Ici, on a un pavé droit, qui est souvent considéré comme un prisme rectangulaire. Quand on nous demande de tracer une diagonale de ce pavé droit, nous cherchons un segment qui passe à l’intérieur du pavé droit, souvent appelée diagonale intérieure. Notez qu’elle est différente de la diagonale d’une face, qui est une diagonale qui ne passe pas à l’intérieur du pavé droit, mais seulement sur une face. Alors supposons qu’on trace un segment entre 𝐷 et 𝐵. Nous avons créé une diagonale du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷. Cependant, puisque ce rectangle n’est pas intérieur au pavé droit, c’est une diagonale d’une face que nous avons créée. Par conséquent, ce segment ne peut être une diagonale du pavé droit. De la même manière, on peut tracer le segment entre 𝐻 et 𝐶. Cependant, encore une fois, c’est une diagonale d’une face, cette fois 𝐶𝐷𝐻𝐺. Et par conséquent, la diagonale est une diagonale d’une face mais pas une diagonale du pave droit.

Alors, à quoi ressemblerait une diagonale du pavé droite ? Supposons qu’on commence par le sommet 𝐻 et on crée une diagonale à partir de là. Lorsqu’on trace un segment jusqu’au sommet 𝐶 on a une diagonale d’une face. Donc, si on se déplace plutôt à l’intérieur du pavé droit on atteint le sommet 𝐵. On peut donc dire que 𝐻𝐵 est la diagonale du pavé droit. Une diagonale du pavé droit à partir du sommet 𝐷 qui passe à l’intérieur de celui-ci nous amènerait au sommet 𝐹.

Et donc 𝐷𝐹 est aussi une diagonale du pavé droit. En fait, un pavé droit a, en tout, quatre diagonales. Bien que ce soit un peu compliqué à visualiser sur cette figure, le segment qui relie 𝐶 et 𝐸 est une diagonale. Et enfin, 𝐴𝐺 est la quatrième diagonale. Parmi les options de réponse (A) à (E) qui nous ont été données, la seule qui est une paire de points entre lesquels on peut tracer une diagonale est l’option (E), 𝐴 et 𝐺. Les quatre autres options ici créeraient toutes des diagonales de face.

Il est important de noter que lorsqu’on a affaire aux diagonales des formes tridimensionnelles, par exemple, si on utilise le théorème de Pythagore, alors les diagonales de face auront une longueur différente des diagonales de la figure. Par exemple, la diagonale 𝐵𝐻 sera plus longue que la diagonale d’une face 𝐵𝐸.

Voyons maintenant quelques questions dans lesquelles on applique le théorème de Pythagore en trois dimensions.

𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime est un cube. Déterminez les longueurs 𝐴 prime 𝐵 et 𝐴𝐶.

Puisqu’on nous dit qu’il s’agit d’un cube, la première chose à noter est que toutes les dimensions seront de 97 centimètres. Regardons la première longueur qu’on nous demande de trouver, 𝐴 prime 𝐵. Il s’agit de la diagonale d’une face qui relie 𝐴 prime et 𝐵. Puisqu’il s’agit d’un cube, nous savons que nous aurons des angles droits dans le coin de cette face. Nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre ce problème. Le théorème de Pythagore stipule que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dessiner le triangle en deux dimensions peut être utile pour travailler un peu plus facilement. Et lorsqu’on dessine le triangle, il est particulièrement utile d’étiqueter les sommets.

On peut voir que la longueur de la base est 𝐴𝐵 et la hauteur de notre triangle est le segment qui relie 𝐴 et 𝐴 prime. On peut noter les dimensions des côtés comme étant 97 centimètres. Et on peut désigner la longueur que nous souhaitons déterminer, 𝐴 prime 𝐵, par la lettre 𝑥. Lorsqu’on utilise le théorème de Pythagore, on doit faire attention à identifier quelle longueur est l’hypoténuse. C’est généralement facile à identifier car c’est à l’opposé de l’angle droit. On peut ensuite compléter les valeurs dans le théorème de Pythagore sous la forme 𝑐 au carré égale 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Avec l’hypoténuse comme 𝑥 et les deux autres côtés comme 97 chacun, on a 𝑥 au carré est égal à 97 au carré plus 97 au carré.

Lorsqu’on évalue les carrés, on a 𝑥 au carré est égal à 9409 plus 9409, qui est 18818. Lorsqu’on évalue la racine carrée des deux côtés on obtient 𝑥 est égal à la racine carrée de 18818 centimètres. On peut ensuite simplifier cette réponse de deux manières. On pourrait évaluer cela avec une calculatrice, ce qui nous donne une valeur décimale qu’on peut arrondir. Alternativement, on pourrait simplifier cette réponse dans sa forme de racine carrée. On peut rendre cela un peu plus facile si on réécrit cette ligne ci. Si 𝑥 au carré est égal à 9409 plus 9409, alors on peut également écrire ceci comme 𝑥 au carré est égal à deux fois 9409.

Donc, quand il s’agit d’évaluer la racine carrée, on évalue la racine carrée de deux fois 9409. C’est équivalent à la racine carrée de deux fois la racine carrée de 9409. Cela peut ne pas sembler plus facile jusqu’à ce qu’on se rappelle qu’on connait la racine carrée de 9409. Qui est en fait 97. Donc 𝑥 est égal à la racine carrée de deux fois 97, ou plus simplement 97 racine de deux centimètres. Alors maintenant, nous avons trouvé la valeur de 𝑥. Cela signifie que nous avons trouvé la valeur de 𝐴 prime 𝐵, 97 racine de deux centimètres.

Considérons la deuxième partie de la question, déterminer la longueur 𝐴𝐶. On peut appliquer le même principe. On a un angle droit dans le triangle 𝐴𝐵𝐶. Ainsi, on peut dessiner le triangle bidimensionnel et ajouter les valeurs de 97 centimètres et 97 centimètres, en utilisant, disons, 𝑦 pour désigner la longueur 𝐴𝐶 que nous voulons déterminer. Toutefois, on pourrait remarquer que la longueur des deux autres côtés de notre triangle était de 97 centimètres. Ainsi, lorsqu’on utilise le théorème de Pythagore pour déterminer nos valeurs, on peut voir que 𝑦 et 𝑥 ont la même valeur. Ainsi, la longueur 𝐴𝐶 est aussi égale à 97 racine de deux centimètres. En fait, toutes les diagonales de face d’un cube ont la même longueur. Mais ici, nous pouvons noter notre réponse, 𝐴 prime 𝐵 et 𝐴𝐶 sont 97 racine de deux centimètres.

Considérons une autre question.

Le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 a pour dimensions 𝐴𝐵 égale 25 et 𝐵𝐶 égale 36. Supposons que les segments perpendiculaires 𝐵𝐻 et 𝐴𝑂 soient toutes deux de longueur 27. Quelle est l’aire de 𝐶𝐷𝑂𝐻 ?

La première chose à faire dans une telle question est d’esquisser un diagramme. On nous dit qu’il s’agit d’un rectangle. Et d’ici, il y aura deux droites perpendiculaires. Par conséquent, c’est un problème tridimensionnel. Il peut donc être utile de dessiner notre rectangle comme celui-ci, prêt à ajouter les perpendiculaires. Notre premier segment perpendiculaire commence au point 𝐵 et monte jusqu’au point 𝐻. Notre second segment perpendiculaire commence à 𝐴 et monte jusqu’au point 𝑂. On nous dit que ces segments perpendiculaires sont chacun de longueur 27. Ils ont donc avoir la même longueur. On peut ensuite ajouter les dimensions à notre diagramme.

Il convient de noter qu’il y a plusieurs diagrammes différents qu’on aurait pu dessiner. L’objectif du diagramme, c’est pour nous aider dans nos calculs. Ici, on nous demande de calculer l’aire de 𝐶𝐷𝑂𝐻. 𝐶𝐷𝑂𝐻 ressemblerait à ceci sur notre diagramme, et ce serait un rectangle. Afin de déterminer l’aire de ce rectangle, 𝐶𝐷𝑂𝐻, nous aurions besoin de connaître la longueur et la largeur, que nous pourrions multiplier ensemble pour trouver l’aire. La largeur ici serait le segment 𝐴𝐵, ce qui signifie qu’elle mesure 25 unités. Et ici, nous devons déterminer la longueur, le segment 𝑂𝐷.

Sachant que 𝑂𝐴 est un segment perpendiculaire, cela implique que 𝑂𝐴𝐷 est un triangle rectangle. Nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore, qui stipule que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Il est souvent utile de dessiner les triangles que nous allons utiliser. Nous savons que la longueur 𝑂𝐴 est de 27 et la longueur 𝐴𝐷 sera la même que la longueur 𝐵𝐶, soit 36. On veut déterminer la longueur 𝑂𝐷, qu’on peut définir comme n’importe quelle longueur, mais ici on peut l’appeler 𝑥. Lorsqu’on introduit les valeurs dans le théorème de Pythagore, on a l’hypoténuse comme 𝑥 et les deux autres côtés sont 27 et 36. Et l’ordre dans lequel on les écrit importe peu. On peut donc écrire 𝑥 au carré est égal à 1296 plus 729. Donc, 𝑥 au carré est égal à 2025. Pour trouver 𝑥, on prend la racine carrée des deux côtés, donc 𝑥 est égal à la racine carrée de 2025.

Généralement, on garde la réponse sous forme de racine carrée. Mais en réalité, 2025 est un carré parfait. Donc 𝑥 est égal à 45 unités. Alors, nous avons obtenu que cette longueur 𝑂𝐷 est égale à 45. Nous pouvons maintenant calculer l’aire. Lorsqu’on multiplie les valeurs 45 et 25, on obtient que l’aire de 𝐶𝐷𝑂𝐻 est égale à 1125. On ne nous a donné aucune unité dans la question, mais si on devait mettre des unités ici, on sait que pour l’aire on a des unités carrées.

Dans la question suivante, nous allons voir comment on peut étendre le théorème de Pythagore et en faire un théorème tridimensionnel.

Déterminez la longueur de la diagonale d’un pavé droit dont les côtés mesurent trois centimètres, quatre centimètres et six centimètres.

On peut comment par dessiner un pavé droit. On nous demande de trouver la longueur de la diagonale du pavé droit. On cherche donc le segment qui passe à l’intérieur du pavé droit. En fait, il y aura en tout quatre de ces diagonales. Ces diagonales auront toutes la même longueur, et nous allons voir pourquoi à la fin de cette question.

Commençons par déterminer la longueur de cette diagonale orange. Il peut être utile d’étiqueter les sommets du cube pour faciliter le référencement des segments. Nous pouvons commencer par remarquer que la diagonale 𝐹𝐶 sera plus longue que les diagonales des faces. Par exemple, elle sera plus long que la diagonale 𝐴𝐶. Alors, pour calculer la longueur 𝐹𝐶, on doit tracer un triangle rectangle dans le pavé droit. Puisqu’il s’agit d’un pavé droit, nous savons que l’angle 𝐴 sera un angle droit. On peut ensuite utiliser le théorème de Pythagore, qui stipule que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

On peut voir que la longueur 𝐴𝐹 est de trois centimètres. Cependant, nous ne connaissons pas la longueur de cette diagonale de face 𝐴𝐶. On doit résoudre cela avant de déterminer la longueur de notre diagonale 𝐹𝐶. On peut tracer un autre triangle rectangle, le triangle 𝐴𝐵𝐶. Lorsqu’on travaille en trois dimensions, il est souvent utile de redessiner les triangles en deux dimensions pour faciliter les calculs. On peut voir que la longueur 𝐴𝐵 est de quatre centimètres car elle est la même que la longueur 𝐸𝐻, que nous avons marquée comme quatre centimètres. La longueur 𝐵𝐶 est de six centimètres, et on peut étiqueter la longueur 𝐴𝐶, qu’on veut déterminer, avec n’importe quelle lettre. Mais ici, utilisons 𝑝.

Lorsqu’on substitue ces valeurs dans le théorème de Pythagore, on obtient 𝑝 au carré égale quatre au carré plus six au carré. Puisque quatre au carré égale 16 et six au carré égale 36, on a 𝑝 au carré égale 52. Pour trouver 𝑝, on prend la racine carrée des deux côtés, ce qui nous donne 𝑝 est égal à la racine carrée de 52 centimètres. Puisque ce calcul n’est pas encore fini, on peut laisser cette réponse sous forme de racine carrée. Maintenant, nous avons trouvé la valeur de 𝐴𝐶. Nous pouvons continuer avec ce triangle rectangle 𝐹𝐴𝐶. Nous savons que la longueur 𝐹𝐴 est de trois centimètres, la longueur 𝐴𝐶 est racine de 52 centimètres, et nous pouvons désigner la longueur 𝐹𝐶 par n’importe quelle lettre. Mais ici, utilisons la variable 𝑡.

Lorsqu’on applique le théorème de Pythagore, on a 𝑡 au carré est égal à trois au carré plus racine de 52 au carré. Sachant que la racine carrée de 52 au carré est égale à 52, on a 𝑡 au carré égale neuf plus 52, soit 61. Pour trouver 𝑡, on prend la racine carrée des deux côtés. On a donc 𝑡 est égal à la racine carrée de 61 centimètres. Notre valeur 𝑡 était la longueur 𝐹𝐶, qui était une diagonale du pavé droit. Ainsi, la solution est racine de 61 centimètres.

Cependant, il existe une autre façon d’aborder ce problème. On peut observer que notre réponse, racine de 52 qui est la valeur de 𝑝 a été obtenue en évaluant la racine carrée de quatre au carré plus six au carré. Donc, quand il faut calculer la valeur de 𝑡, 𝑡 au carré est égale à trois au carré plus quatre au carré plus six au carré. Donc, on obtient la valeur de 𝑡, la diagonale du pavé droit, en évaluant la racine carrée de trois au carré plus quatre au carré plus six au carré. Et il s’agit là des dimensions de notre pavé droit : trois centimètres, quatre centimètres et six centimètres.

Et cela nous amène à une extension ou une analogie du théorème de Pythagore en trois dimensions. Si on veut calculer la longueur de cette diagonale marquée 𝑐, on a 𝑐 au carré égale 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré, où 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les dimensions du pavé droit. Si on applique cette méthode à notre pavé droit, on a 𝑐 au carré égale quatre au carré plus six au carré plus trois au carré. 𝑐 au carré est égal à 16 plus 36 plus neuf. Donc, 𝑐 au carré est égal à 61. Et donc, 𝑐 est égal à racine de 61 centimètres, confirmant notre réponse précédente pour la diagonale du pavé droit.

Lorsqu’on examine cette extension du théorème de Pythagore, on peut également voir pourquoi toutes les diagonales d’un pavé droit ont la même longueur. Chaque diagonale doit prendre en compte chacune des trois longueurs 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Puisque l’ordre dans lequel on additionne, évalue le carré des dimensions et ensuite la racine carrée du résultat n’a pas d’importance, alors on obtient la même réponse. Nous pouvons noter notre réponse pour la diagonale du pavé droit ici comme racine de 61 centimètres.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu comment on peut appliquer le théorème de Pythagore à des triangles rectangles dans des objets tridimensionnels. Nous avons vu que parfois on doit utiliser le théorème de Pythagore deux fois pour déterminer certaines longueurs. Une astuce pratique à cet égard est de garder le résultat du premier calcul sous forme de racine carrée, ce qui signifie que la réponse de la deuxième partie sera plus précise. Et enfin, nous avons vu comment on peut étendre le théorème de Pythagore en trois dimensions en utilisant la formule 𝑐 au carré égale 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré.

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