Vidéo de la leçon: Factoriser en utilisant le plus grand commun diviseur Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à factoriser les expressions algébriques en identifiant le plus grand commun diviseur. Avant de parler du plus grand commun diviseur, rappelons-nous ce que sont les diviseurs. Nous pouvons écrire des nombres comme un produit de leurs diviseurs. Par exemple, si nous avons 12, nous pouvons l’écrire comme deux fois six. Donc, nous disons que deux et six sont des diviseurs de 12. Mais nous savons aussi que six est égal à deux fois trois, nous pourrions donc dire que 12 égale deux fois deux fois trois. Recommençons cela avec le nombre 18. Deux fois neuf égale 18. Et trois fois trois égale neuf. Et donc, nous pourrions dire que 18 égale deux fois deux [trois] fois trois.

Et lorsque nous comparons deux nombres, il est parfois utile d’identifier les diviseurs communs. Et les diviseurs communs sont les diviseurs communs aux deux nombres. Dans ce cas, 12 et 18 ont tous deux un diviseur de deux et un diviseur de trois. Ce sont des diviseurs communs. Mais souvent, lorsque nous comparons des nombres, nous ne nous intéressons pas aux diviseurs communs. Ce qui nous intéresse, c’est le plus grand commun diviseur. Vous pouvez voir cette abréviation comme étant le PGCD. Vous pouvez aussi voir que c’est le plus grand commun diviseur ou le PGCD. Le plus grand commun diviseur sera le plus grand nombre entier qui est un diviseur des deux. Il sera également le produit de tous les facteurs premiers communs.

Ici, nous voyons que 12 égale deux fois six, et 18 égale trois fois six. Six est le plus grand entier diviseur de ces deux valeurs. Ainsi, nous dirions que le PGCD de 12 et 18 est égal à six. Mais qu’est-ce que nous aurons si nous essayons de comparer ces deux valeurs, deux 𝑥 au carré 𝑦 et quatre 𝑥𝑦 ? Quel est le plus grand commun diviseur ici ? Tout d’abord, séparons les diviseurs. Nous pourrions dire que cela équivaut à deux fois 𝑥 au carré 𝑦. Et les diviseurs de 𝑥 au carré 𝑦 sont 𝑥 au carré et 𝑦. 𝑥 au carré a deux diviseurs, 𝑥 et 𝑥. Et donc, deux 𝑥 au carré 𝑦 peuvent être décomposés en ses diviseurs, deux fois 𝑥 fois 𝑥 fois 𝑦. Et nous faisons la même chose pour quatre 𝑥𝑦, quatre fois 𝑥𝑦. Le quatre peut être décomposé en deux diviseurs de deux. Et le 𝑥𝑦 est 𝑥 fois 𝑦, ce qui signifie que nous avons quatre 𝑥𝑦 égal à deux fois deux fois 𝑥 fois 𝑦.

Ces deux valeurs ont des diviseurs de deux, 𝑥 et 𝑦. Ainsi, le plus grand commun diviseur est deux 𝑥𝑦. Nous utilisons le plus grand commun diviseur pour simplifier certaines expressions. Mais avant de voir cela, il y a une autre propriété dont il faut se souvenir, et c’est la distributivité. Celle-là nous dit que 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑐 égale 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑎 fois 𝑐. Nous pourrions dire que 𝑎 est ici le plus grand commun diviseur des valeurs 𝑎 fois 𝑏 et 𝑎 fois 𝑐. Simplifier en utilisant le plus grand commun diviseur c’est alors la non distribution du plus grand commun diviseur des termes. Voyons donc l’exemple qui se trouvait sur l’écran d’ouverture. Nous allons simplifier l’expression en utilisant le plus grand commun diviseur.

En utilisant le diagramme, factorisez quatre 𝑥 plus 12.

Ce diagramme comporte des images qui représentent quatre 𝑥 et 12. Le diagramme de droite a combiné les deux images. Et il a pris la barre de taille 12 et l’a divisée en quatre parties de même taille. Nous savons que 12 divisé par quatre égale trois. Ce diagramme a enlevé un diviseur de quatre au 12 et au quatre 𝑥. 12 divisé par quatre égale trois. Et quatre 𝑥 divisé par quatre égale 𝑥.

Nous voyons que quatre fois 𝑥 plus quatre fois trois égale quatre 𝑥 plus 12. Ce sont des expressions équivalentes. Et donc, nous pouvons dire que quatre 𝑥 plus 12 est égal à quatre fois 𝑥 plus trois. Nous pouvons également dire que le plus grand commun diviseur de quatre 𝑥 et 12 est quatre. Nous avons inversé la distribution du plus grand commun diviseur de ces deux expressions pour obtenir quatre fois 𝑥 plus trois.

Voici un autre exemple.

Factorisez 15𝑒 plus 15𝑓 complètement.

On nous donne l’expression 15𝑒 plus 15𝑓. On sait que 15𝑒 est égal à 15 fois 𝑒, et on sait que 15𝑓 est égal à 15 fois 𝑓. Ces deux valeurs ont un diviseur commun de 15, ce qui signifie que 15 est le plus grand commun diviseur. Et si nous inversons la distribution de ce 15, nous pouvons écrire 15𝑒 plus 15𝑓 comme ceci. 15 fois 𝑒 plus 𝑓. Nous savons que cela est correct en se basant sur la distributivité, qui nous dit que 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑐 égale 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑎 fois 𝑐. Comme on ne nous donne aucune autre information, cette expression est factorisée comme 15 fois 𝑒 plus 𝑓.

Voyons un exemple où nous déterminons le plus grand commun diviseur de deux termes qui comportent des variables.

Déterminez le plus grand commun diviseur des deux termes dans cette expression, quatre 𝑥 à la puissance quatre moins 18𝑥 au cube.

Notre expression est quatre 𝑥 à la puissance quatre moins 18𝑥 au cube. Et voici les deux termes. Nous essayons de trouver le plus grand commun diviseur. Le premier terme a comme diviseurs quatre et 𝑥 à la puissance quatre. Le second terme a comme diviseurs 18 et 𝑥 au cube. Mais quatre n’est pas un diviseur de 18. Mais nous reconnaissons que quatre et 18 sont des nombres pairs, donc nous savons qu’ils ont tous deux comme diviseur deux. Quatre est deux fois deux, et 18 est deux fois neuf. Donc, les deux ont comme diviseur deux.

Mais maintenant, nous devons réfléchir à la façon dont nous traiterons 𝑥 à la puissance quatre et 𝑥 au cube. On pourrait dire que 𝑥 à la puissance quatre est égal à 𝑥 à la puissance un fois 𝑥 au cube. Ainsi, nous voyons que ces deux termes ont comme diviseur 𝑥 au cube. Ainsi, nous pouvons réécrire quatre fois 𝑥 à la puissance quatre comme deux fois 𝑥 au cube fois deux 𝑥. Et 18𝑥 au cube peut être réécrit comme deux 𝑥 au cube fois neuf, ce qui montre que deux 𝑥 au cube est le plus grand commun diviseur de ces deux termes.

Jusqu’à présent, nous avons vu la comparaison de deux nombres ou expressions qui ne comportent que deux termes. Nous allons maintenant déterminer le plus grand commun diviseur d’une expression qui comporte trois termes. Et le processus sera le même quel que soit le nombre de termes d’une expression.

Factorisez complètement l’expression six 𝑝 au carré plus trois 𝑝 moins six 𝑝𝑞.

Étant donnée l’expression six 𝑝 au carré plus trois 𝑝 moins six 𝑝𝑞, nous devons trouver le plus grand commun diviseur. Les coefficients des trois termes sont divisibles par trois. Nous savons que nous pourrions alors inverser la distribution du trois. Pour le premier terme, six 𝑝 au carré serait égal à trois fois deux 𝑝 au carré. Pour le deuxième terme, si nous enlevons le diviseur trois, il nous restera 𝑝 car trois fois 𝑝 égale trois 𝑝. Pour le troisième terme, nous aurons trois fois moins deux 𝑝𝑞, car trois fois moins deux 𝑝𝑞 égale moins six 𝑝𝑞.

Toutefois, nous n’avons pas encore supprimé le plus grand commun diviseur. Nous le savons parce que nous voyons un diviseur qui existe toujours dans tous les trois termes. Les trois termes ont au moins comme diviseur un 𝑝. Maintenant, nous voulons inverser la distribution de ce diviseur 𝑝, c’est-à-dire un diviseur 𝑝 à la puissance un. Pour supprimer un diviseur 𝑝 à puissance un, il nous restera deux 𝑝. Le terme du milieu est le plus délicat. Pour enlever le diviseur 𝑝, nous devons penser à 𝑝 à la puissance un fois un nombre qui donne 𝑝 à la puissance un. Et ce serait un. 𝑝 divisé par 𝑝 égale un.

Et enfin, pour enlever un diviseur 𝑝 à moins deux 𝑝𝑞, il nous resterait moins deux 𝑞, ce qui signifie que nous avons trois 𝑝 fois deux 𝑝 plus un moins deux 𝑞 comme expression factorisée. Si nous voulions vérifier et voir si cela est vrai, nous redistribuerions trois 𝑝 sur les trois termes. Trois 𝑝 fois deux 𝑝 égale six 𝑝 au carré. Trois 𝑝 fois un égale trois 𝑝. Et trois 𝑝 fois moins deux 𝑞 égale moins six 𝑝𝑞. C’est l’expression avec laquelle nous avons commencé, et nous avons donc trouvé la forme factorisée. Trois 𝑝 fois deux 𝑝 plus un moins deux 𝑞.

Prenons un autre exemple.

Factorisez complètement 𝑎 moins dix fois 𝑎 plus huit moins deux fois 𝑎 plus huit.

Étant donnée l’expression 𝑎 moins 10 fois 𝑎 plus huit moins deux fois 𝑎 plus huit, pour pouvoir factoriser, nous avons besoin d’un diviseur commun aux deux termes. Voici les deux termes. Le premier terme a comme diviseurs 𝑎 moins 10 et 𝑎 plus huit. Et le second terme a comme diviseurs moins deux et 𝑎 plus huit, ce qui signifie que les deux termes ont un diviseur commun de 𝑎 plus huit. Cela signifie que nous pouvons inverser la distribution du diviseur 𝑎 plus huit. Dans notre premier terme, si nous retirons le diviseur 𝑎 plus huit, le diviseur restant sera 𝑎 moins 10.

Au deuxième terme, si nous retirons le diviseur 𝑎 plus huit, il nous restera le diviseur moins deux. Nous avons maintenant réécrit notre expression originale comme 𝑎 plus huit fois 𝑎 moins 10 moins deux. Et entre ces parenthèses, nous pouvons faire une simplification. Comme il n’y a qu’une addition ou une soustraction à l’intérieur des parenthèses, nous pouvons supprimer les parenthèses. Ainsi, nous avons 𝑎 plus huit fois 𝑎 moins 10 moins deux. Et 𝑎 moins 10 moins deux égale 𝑎 moins 12. Une forme entièrement factorisée de l’expression originale serait ainsi. 𝑎 plus huit fois 𝑎 moins 12.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir une autre expression comportant plusieurs variables.

En retirant le PGCD, factorisez l’expression 14𝑥 à la puissance cinq 𝑦 au carré moins quatre 𝑥 au cube 𝑦 plus huit 𝑥 au carré 𝑦.

On nous donne l’expression 14𝑥 à la puissance cinq 𝑦 au carré moins quatre 𝑥 au cube 𝑦 plus huit 𝑥 au carré 𝑦, et nous avons besoin du PGCD, le plus grand commun diviseur. Nous allons commencer par envisager le plus grand commun diviseur des coefficients de ces trois termes. 14 égale deux fois sept. Quatre égale deux fois deux. Et huit égale deux fois quatre. Le diviseur commun ici est deux. C’est vrai que huit et quatre ont un diviseur commun de quatre, mais 14 n’est pas divisible par quatre. Et donc, nous disons que le diviseur commun pour les trois coefficients est deux. Et cela signifie que nous allons réécrire l’expression comme deux fois sept 𝑥 à la puissance cinq 𝑦 au carré moins deux 𝑥 au cube 𝑦 plus quatre 𝑥 au carré 𝑦.

À partir de là, nous considérons le diviseur commun de 𝑥. Le troisième terme a le plus petit diviseur de 𝑥, 𝑥 au carré, ce qui signifie que 𝑥 au carré est le plus grand diviseur de 𝑥 que nous pouvons retirer. Nous allons donc inverser la distribution du diviseur 𝑥 au carré de ces trois termes. 𝑥 à la puissance cinq divisé par 𝑥 au carré égale 𝑥 au cube. Et nous laissons 𝑦 au carré. 𝑥 au cube divisé par 𝑥 au carré égale 𝑥 à la puissance un. Et quatre 𝑥 au carré 𝑦 divisé par 𝑥 au carré sera égal à quatre 𝑦. Nous avons maintenant une deuxième expression équivalente. Cependant, nous n’avons toujours pas notre plus grand commun diviseur. Et nous le savons parce que nos trois termes ont au moins un diviseur 𝑦. Le plus petit diviseur de 𝑦 ici est 𝑦 à la puissance un. Et cela signifie que c’est le maximum que nous pouvons retirer de nos trois termes. Nous inversons la distribution de 𝑦 à la puissance un aux trois termes.

Notre premier terme devient sept 𝑥 au cube 𝑦 à la puissance un. Notre deuxième terme devient alors moins deux 𝑥 à la puissance un. Lorsque nous retirons le diviseur 𝑦 à la puissance un de notre troisième terme, il ne nous reste plus que quatre. Nous voyons maintenant qu’il n’y a pas de diviseurs communs entre les parenthèses. Et cela signifie que le plus grand commun diviseur est celui que nous avons retiré. En inversant la distribution du plus grand commun diviseur deux 𝑥 au carré 𝑦, nous avons une expression entièrement factorisée, deux 𝑥 au carré 𝑦 fois sept 𝑥 au cube 𝑦 moins deux 𝑥 plus quatre. Si vous vouliez vérifier si cela est vrai, vous multiplieriez le plus grand commun diviseur par les trois termes restants, ce qui vous donnerait l’expression avec laquelle vous avez commencé.

Pour résumer ce que nous avons vu, le plus grand commun diviseur, PGCD, est le plus grand diviseur commun lors de la comparaison des diviseurs de deux ou plusieurs nombres. Nous utilisons la distributivité qui nous dit que 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑐 égale 𝑎 fois 𝑏 plus 𝑎 fois 𝑐. Et par factorisation, nous pouvons retirer le PGCD en utilisant la distributivité pour simplifier les expressions.