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Dans cette leçon, nous allons apprendre comment calculer l’énergie cinétique d’une particule en mouvement de masse 𝑚 qui se déplace à une vitesse 𝑣.
Un objet qui se déplace est dit d’avoir une énergie cinétique. Plus cet objet se déplace rapidement et plus son énergie cinétique augmente. Il convient de noter que l’énergie cinétique peut être augmentée ou diminuée en effectuant un travail sur l’objet. Si une force agit sur un objet pendant que cet objet se déplace le long de la trajectoire, nous disons que la force effectue un travail. Et si cette force provoque l’accélération de l’objet, alors la vitesse de l’objet augmente. Ainsi, son énergie cinétique augmentera également.
De même, si la force qui agit sur l’objet agit dans le sens opposé à son mouvement, l’objet décélérera. La vitesse de l’objet diminuera, de même que son énergie cinétique. Imaginez, par exemple, lancer une boule de bowling sur la piste d’un bowling. Lorsque vous lancez la boule, vous exercez une force dessus, cette force provoque une accélération de la boule. Par conséquent, elle effectue un travail sur la boule et augmente son énergie cinétique.
Alors, quelle est la formule que nous utilisons pour calculer l’énergie cinétique ? Supposons que nous ayons un objet avec une masse 𝑚 se déplaçant avec un vecteur vitesse 𝐯, où la norme de ce vecteur est simplement 𝑣. Ensuite, son énergie cinétique, qui peut être notée en utilisant la lettre 𝑇, est un demi 𝑚 fois la norme de 𝐯 au carré, ou simplement un demi 𝑚𝑣 au carré. Puisque la norme de la vitesse au carré est équivalente au produit scalaire du vecteur vitesse avec lui-même, alors l’énergie cinétique peut être alternativement exprimée comme un demi 𝑚 fois 𝐯 point 𝐯.
Et à partir de cette définition, il est tout à fait clair que l’énergie cinétique d’une particule est une quantité scalaire positive. Et si le vecteur vitesse est nul, alors l’énergie cinétique est également nulle. Selon la définition, l’énergie cinétique d’une particule peut changer d’un instant à un autre pendant le mouvement de la particule par rapport à la norme de son vecteur vitesse. Donc, dans cet esprit, montrons comment calculer l’énergie cinétique d’un corps dont la vitesse est donnée en quantité vectorielle.
Un corps de masse de 500 grammes se déplace à une vitesse constante 𝐯 égale deux 𝐢 moins trois 𝐣 centimètres par seconde, où 𝐢 et 𝐣 sont deux vecteurs unitaires perpendiculaires. Trouvez son énergie cinétique.
Commençons par nous rappeler la formule de l’énergie cinétique d’un corps dont la masse est 𝑚 et dont le vecteur vitesse est 𝐯. L’énergie cinétique de ce corps est donnée par 𝑇 égale un demi 𝑚 fois 𝐯 point 𝐯. Maintenant, nous avons généralement tendance à calculer l’énergie cinétique en joules. Dans ces cas, la masse de l’objet est donnée en kilogrammes, tandis que sa vitesse ou son vecteur vitesse serait donné en mètres par seconde.
Ici, on nous a dit que la masse 𝑚 est de 500 grammes, tandis que le vecteur vitesse est en centimètres par seconde ; c’est deux 𝐢 moins trois 𝐣. Et c’est tout à fait correct. Ce que cela signifie, c’est que l’énergie cinétique du corps sera en ergs. Dans cet esprit, remplaçons tout ce que nous savons de ce corps dans la formule. Lorsque nous le faisons, nous constatons que l’énergie cinétique est un demi fois 500 fois le produit scalaire de deux 𝐢 moins trois 𝐣 avec lui-même. Alors, quel est le produit scalaire de cette paire de vecteurs ?
En fait, trouver le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même équivaut en fait à trouver le carré de sa norme. Ici, c’est deux fois deux. Et puis, nous trouvons la somme de moins trois fois moins trois. Deux fois deux font quatre, et moins trois fois moins trois valent neuf. Quatre plus neuf font 13. Et donc, nous trouvons que le produit scalaire de 𝐯 par lui-même est égal à 13.
Par conséquent, l’énergie cinétique de ce corps est donnée par un demi fois 500 fois 13, soit 3250. Et rappelez-vous, nous avons dit que les unités ici étaient des ergs. Ainsi, l’énergie cinétique du corps est de 3250 ergs. Maintenant, si nous avions converti nos valeurs initiales en kilogrammes et en mètres par seconde, ou considéré une conversion directement de ergs en joules, nous aurions pu calculer de manière équivalente l’énergie cinétique de l’objet à 3,25 fois 10 à la puissance moins quatre joules.
Voyons maintenant comment trouver l’énergie cinétique d’une particule lorsqu’on lui donne sa vitesse, c’est-à-dire, la norme de son vecteur vitesse plutôt que son vecteur vitesse sous forme vectorielle.
Un corps de masse de 940 grammes se déplace à quatre mètres par seconde. Déterminez son énergie cinétique.
Rappelez-vous que l’énergie cinétique du corps est liée à la fois à sa masse et à son vecteur vitesse. Plus précisément, supposons que nous avons un corps avec une masse 𝑚 et que la norme de son vecteur vitesse, en d’autres termes, sa vitesse, est 𝑣. Dans ce cas, l’énergie cinétique est un demi 𝑚𝑣 carré. Et avant de poursuivre, examinons plus en détail les unités de cette question.
Le corps a une masse donnée en grammes, tandis que la vitesse est donnée en mètres par seconde. Ce que nous allons faire, c’est convertir la masse en l’unité SI le kilogramme. Nous le faisons en divisant par 1000. Ainsi, la masse de l’objet est en fait de 0,94 kilogramme. Si nous travaillons en kilogrammes et en mètres par seconde, nous pouvons alors donner notre énergie en l’unité SI joules. Donc, définissons 𝑚 pour être 0,94 kilogrammes et 𝑣 pour être quatre mètres par seconde.
Ensuite, nous pouvons remplacer tout ce que nous savons de ce corps dans la formule de l’énergie cinétique. Nous obtenons un demi fois 0,94 fois quatre au carré, en d’autres termes, un demi fois 0,94 fois 16. Et ça fait 7,52. Maintenant, bien sûr, les unités ici sont en fait des kilogrammes mètres carrés par seconde carrée. Et c’est la même chose, comme nous l’avons dit, comme l’unité standard pour l’énergie c’est le joule, qui porte le symbole J. Ainsi, l’énergie cinétique de cet objet est de 7,52 joules.
Maintenant, il s’ensuit que bien que nous puissions utiliser cette équation assez facilement pour calculer l’énergie cinétique, nous pouvons également l’utiliser pour calculer la vitesse ou la masse d’un objet étant donné son énergie cinétique. Et si la quantité est un scalaire, comme dans cette question, il s’agit simplement de substituer et de résoudre l’équation résultante. Nous allons démontrer ce que nous ferions si on nous donne des quantités vectorielles.
Un corps se déplace à une vitesse constante 𝐯 égale 250𝐢 moins 250𝐣 centimètres par seconde, où 𝐢 et 𝐣 sont deux vecteurs unitaires perpendiculaires. Étant donné que l’énergie cinétique du corps est de 4,8 joules, trouvez la masse du corps.
Supposons que nous ayons un corps avec une masse 𝑚 et un vecteur vitesse 𝐯. L’énergie cinétique, que nous pouvons désigner 𝑇, est donnée par un demi 𝑚 fois le produit scalaire de 𝐯 avec lui-même. Cela équivaut en fait à trouver un demi 𝑚 fois la norme de 𝐯 au carré. Alors, substituons ce que nous savons de notre vecteur dans cette formule.
Nous avons 𝐯 est 250𝐢 moins 250𝐣 centimètres par seconde, et l’énergie cinétique est de 4,8 joules. Mais en fait, si nous travaillons en joules, nous voulons travailler avec des mètres par seconde. Donc, nous allons diviser chaque composante du vecteur pour 𝐯 par 100 pour y parvenir. Ainsi, le vecteur vitesse est de 2,5𝐢 moins 2,5𝐣 mètres par seconde. Et maintenant que nous travaillons en unités SI, nous savons que la masse sera en kilogrammes. Ensuite, en substituant tout ce que nous savons dans la formule, nous obtenons 4,8 est égal à un demi 𝑚 fois le carré de la norme de 𝐯.
Maintenant, la norme d’un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Donc, la norme de 𝐯 ici est racine 2,5 au carré plus moins 2,5 au carré. Et si nous mettons une racine carrée au carré, nous obtenons simplement l’expression à l’intérieur de la racine carrée. À l’intérieur de notre racine, nous avons 2,5 au carré plus moins 2,5 au carré, soit 12,5. Et donc, nous avons 4,8 est un demi 𝑚 fois 12,5. Pour trouver 𝑚, nous allons multiplier par deux et diviser par 12,5. Cela nous donne 0,768. Et donc, nous trouvons que la masse du corps est de 0,768 kilogramme, ce qui équivaut, bien sûr, à 768 grammes.
Maintenant, en pratique, nous pourrions rencontrer des systèmes impliquant plus d’un objet en mouvement. Lorsque vous travaillez avec de tels systèmes, il est réellement utile d’utiliser à la place des vitesses relatives. Et dans ce cas, la formule de l’énergie cinétique se comporte comme prévu. Dans certains cas, cela peut même réduire les calculs, car la recherche de l’énergie cinétique d’un objet en mouvement par rapport à un autre objet mobile peut donner une image plus claire de l’énergie qui peut être transférée si deux objets entrent en collision. Voyons un exemple.
Un canon a tiré un obus de masse de 16 kilogrammes à 285 mètres par seconde vers un réservoir qui se déplaçait à 72 kilomètres par heure en ligne droite directement vers le canon. Déterminez l’énergie cinétique de l’obus par rapport au mouvement du réservoir.
Rappelez-vous que lorsque nous calculons l’énergie cinétique, nous nous intéressons à la masse et à la vitesse de notre objet. Dans ce cas, cependant, nous allons devoir commencer par trouver la vitesse relative de l’obus. L’obus et le réservoir se rapprochent. Dans ce cas, la norme de la vitesse relative sera en fait égale à la somme des normes de leurs vecteurs vitesse. Mais bien sûr, les vitesses ici sont données en différentes unités. Ce sont les mètres par seconde et les kilomètres par heure. Convertissons la vitesse du réservoir, 72 kilomètres par heure, en mètres par seconde.
Puisqu’il y a 1000 mètres dans un kilomètre, nous pouvons commencer par simplement multiplier par 1000. Et nous constatons que la vitesse du réservoir est de 72000 mètres par heure. Ensuite, nous pouvons diviser par 60 fois 60, et cela passera de mètres par heure en mètres par seconde. 60 fois 60 est 3600. Donc, cela équivaut à 20 mètres par seconde. Et donc, nous avons déterminé que la vitesse relative de l’obus vers le réservoir doit être de 285 plus 20, ce qui correspond à 305 mètres par seconde.
Dans cet esprit, nous pouvons simplement utiliser la formule de l’énergie cinétique pour la norme de la vitesse pour trouver l’énergie cinétique de l’obus par rapport au réservoir. Supposons que nous ayons un objet de masse 𝑚 dont la vitesse, c’est-à-dire la norme de son vecteur vitesse, est 𝑣. Ensuite, l’énergie cinétique, notée 𝑇, est un demi 𝑚𝑣 au carré.
Maintenant, bien sûr, nous trouvons l’énergie cinétique de l’obus par rapport au réservoir. Donc, nous avons besoin de la masse de cet obus ; c’est 16 kilogrammes. La vitesse relative est de 305 mètres par seconde. Maintenant, puisque nous travaillons en kilogrammes et en mètres par seconde, l’énergie va en fait être en joules. L’énergie cinétique est un demi fois 16 fois 305 au carré. Cela nous donne une valeur de 744200. Et donc, nous avons calculé l’énergie cinétique de l’obus par rapport au mouvement du réservoir. C’est 744200 joules.
Maintenant que nous avons démontré les différentes formules qui peuvent être utilisées pour calculer l’énergie cinétique d’un objet en mouvement et considéré cela dans un certain nombre d’exemples, regardons les points clés de cette leçon.
Dans cette leçon, nous avons appris que l’énergie cinétique est une quantité scalaire positive. Et elle disparaît – elle devient nulle - si le vecteur vitesse de l’objet est nul. Nous avons vu qu’un objet avec une masse 𝑚 et un vecteur vitesse 𝐯 a une énergie cinétique égale à un demi 𝑚 fois la norme du vecteur vitesse au carré. Et nous avons vu que cela peut être représenté de manière équivalente comme un demi 𝑚 fois le produit scalaire de 𝐯 par lui-même.
Nous avons également vu que si nous travaillons uniquement avec des quantités scalaires où la norme du vecteur vitesse est simplement 𝑣, alors l’énergie cinétique est un demi 𝑚𝑣 carré. Et enfin, nous avons vu qu’étant donné l’énergie cinétique et la vitesse d’un objet, nous pouvons trouver sa masse. Mais étant donné l’énergie cinétique et la masse, nous pouvons trouver sa vitesse. Cependant, nous ne pouvons pas trouver le vecteur vitesse car nous ne pouvons calculer que des quantités scalaires et nous ne pouvons pas obtenir la direction du mouvement.