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Vidéo de la leçon : Trouver l’écart-type des valeurs dans un tableau des effectifs

Apprenez à calculer l’écart-type d’une série statistique donné dans un tableau des effectifs. Comparez entre répertorier les données individuellement et utiliser la formule standard et étendre le tableau des effectifs et utiliser la formule des effectifs groupés.

09:30

Transcription de vidéo

Avant de regarder cette vidéo, vous devez déjà être familiarisés avec l’écart-type et la méthode de le calculer à partir d’une liste de valeurs. Nous avons une autre vidéo couvrant cela si vous n’êtes pas sûr. Cette vidéo porte sur le calcul de l’écart-type d’un ensemble de valeurs présentées sous la forme d’un tableau des effectifs.

N’oubliez pas que l’écart-type est un nombre qui vous indique la quantité de variabilité dans un ensemble de nombres. Il s’agit de l’écart quadratique moyen par rapport à la moyenne, et il est égal à Σ. Ce petit symbole drôle qui est contenu dans cette formule ici. La somme de chaque score individuel moins le carré moyen divisé par 𝑛. Puis, nous prenons la racine carrée de la somme entière.

Toutefois, nous avons en fait une autre formule qui peut être plus facile à utiliser. Et nous la résumons comme la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. Puis, nous prenons la racine carrée de tout cela. Donc, si vous avez une liste simple de nombres dont vous souhaitez calculer l’écart-type, alors c’est un processus relativement simple, quoique parfois un peu long.

Par exemple, si vous voulez calculer l’écart-type de trois, sept, huit, 10 et 11, nous pouvons simplement appeler ces valeurs de 𝑥 et les écrire, puis les mettre au carré. Et si vous additionnez les valeurs de 𝑥 dans ce cas, vous obtenez 39. Et si vous additionnez les valeurs de 𝑥 au carré dans ce cas, vous obtenez 343. Vous remarquerez également que nous avons cinq morceaux de données car on nous avait donné cinq nombres en premier lieu. Donc, pour calculer l’écart-type, il nous suffit de poser certaines de ces valeurs dans notre formule.

Eh bien, la somme des 𝑥 au carré est 343, 𝑛 était cinq, et la somme des 𝑥 était 39. Et tout cela se simplifie en 194 sur 25. Donc, notre réponse serait que l’écart-type pour cette série statistique est 2,79, arrondi au centième près.

Brillant, mais ce n’est pas le sujet de cette vidéo.

Disons que l’on nous donne des données dans un tableau des effectifs. Comment calculer alors l’écart-type ? Par exemple, nous avons ici une série de prix et leurs effectifs. Ainsi, trois articles avaient un prix de peut-être 10 dollars, deux articles avaient un prix de 20 dollars et quatre articles avaient un prix de 30 dollars. Quel est l’écart-type des prix ?

Eh bien, nous pourrions simplement écrire les données dans une grande liste et utiliser la méthode que nous connaissons déjà. Donc, ce serait trois fois 10, deux fois 20 et quatre fois 30. Autrement dit, nous avons neuf morceaux de données au total. Et si nous les additionnons tous, nous obtiendrons 190. Donc, maintenant, continuons et notons les valeurs de 𝑥 au carré. Et bien sûr, 10 au carré vaut 100, 20 au carré est égal à 400 et 30 au carré égale 900. Puis, la somme des 𝑥 au carré est 4700. Et nous pouvons insérer ces nombres dans notre formule. Donc, nous devons calculer 4700 divisé par neuf moins 190 sur neuf au carré, puis prendre la racine carrée de cette réponse. Et le résultat est égal à 8,75, arrondi au centième près.

Maintenant, on a pu aboutir à la solution rapidement en utilisant la méthode expliquée dans la vidéo, mais pouvez-vous imaginer si ces effectifs étaient beaucoup plus élevés. Nous aurions alors eu ici une longue liste de nombres. Et il aurait fallu beaucoup de temps pour faire ce calcul. Heureusement, il existe une formule alternative qui peut nous faire gagner un peu de temps.

En effet, si nous appelons 𝑓 les effectifs et les prix, dans ce cas, 𝑥, ce sont tous les scores individuels, Σ sera égal à la somme de 𝑓 fois 𝑥 au carré divisée par la somme de 𝑓, le nombre de morceaux de données que j’ai obtenus, moins la somme des 𝑓𝑥 divisée par la somme des effectifs, le tout au carré. Puis, prenez la racine carrée de cela. Eh bien, effectuons cette opération maintenant.

Eh bien, d’abord, je vais ajouter une autre ligne à notre tableau. Donc, ça va être les 𝑥 au carré. Donc, c’est 10 au carré, 20 au carré et 30 au carré, qui valent 100, 400 et 900. Maintenant, je vais ajouter une ligne pour 𝑓 fois 𝑥, les effectifs fois le score 𝑥. Donc, pour la première colonne, ça va être trois, l’effectif de ce score, 10 fois, le score 𝑥. La deuxième colonne va être deux fois 20. Et la troisième va être quatre fois 30, ce qui nous donne 30, quarante et 120.

Ensuite, je vais ajouter une ligne pour les 𝑓 fois 𝑥 au carré. Ainsi, les effectifs vont être les mêmes que ceux utilisés dans nos calculs de la première ligne, mais cette fois-ci plutôt que de multiplier chaque effectif par sa valeur correspondante de 𝑥, nous multiplions par ses valeurs correspondantes 𝑥 au carré. Donc, c’est 100, 400 et 900. Et quand je termine ces calculs, mes scores 𝑓𝑥 au carré vont être 300, 800 et 3600.

Ensuite, je dois faire un peu d’addition. La somme des effectifs, trois plus deux plus quatre font neuf. La somme des 𝑓 𝑥, c’est-à-dire 30 plus 40 plus 120, est 190. Et la somme des 𝑓𝑥 au carré, donc 300 plus 800 plus 3600, est 4700. Donc, maintenant, j’ai juste besoin de poser ces nombres dans ma formule. Ainsi, la somme des 𝑓𝑥 au carré est de 4700. Et la somme des 𝑓 est de neuf. Puis, nous soustrayons la somme des 𝑓𝑥, à savoir 190, divisée par la somme des 𝑓, donc neuf, le tout au carré. Et nous prenons la racine carrée de tout cela.

Et heureusement, on obtient exactement la même réponse. Maintenant, dans cet exemple particulier, comme les effectifs étaient si bas, il a probablement fallu un peu plus de temps pour appliquer cette deuxième méthode que pour la méthode originale en écrivant tous les scores individuels. Mais vous pouvez imaginer que si tous ces effectifs étaient beaucoup plus élevés, écrire toutes les scores individuels aurait pris beaucoup plus de temps. Donc, cette deuxième méthode aurait certainement permis de gagner du temps.

Bon, alors, passons en revue un dernier exemple avant de terminer la vidéo.

Calculez l’écart-type des données suivantes. Donc, nos scores étaient un, deux, trois, quatre et cinq. Et trois personnes ont eu un, neuf personnes ont eu deux, douze personnes ont eu trois, cinq personnes ont eu quatre et quatre personnes ont eu cinq.

Donc, la première chose que nous devrons faire est d’ajouter trois lignes, une pour les valeurs de 𝑥 au carré, une pour les valeurs 𝑓 fois 𝑥, et une pour les valeurs 𝑓 fois 𝑥 au carré. Alors, tout d’abord, nous allons calculer les valeurs de 𝑥 au carré. Donc, un au carré est un, deux au carré est quatre, trois au carré est neuf, quatre au carré est 16 et cinq au carré est 25. Maintenant, nous pouvons remplir la colonne 𝑓𝑥. Donc, les effectifs sont trois, neuf, 12, cinq et quatre, rappelez-vous. Donc, trois fois un est trois, neuf fois deux est 18, 12 fois trois est 36, cinq fois quatre est 20 et quatre fois cinq est 20.

Alors, nous pouvons remplir la ligne 𝑓𝑥 au carré. Trois fois un est à nouveau trois, neuf fois quatre est 36, 12 fois neuf est 108, cinq fois 16 cette fois est 80, puis quatre fois 25 est 100. Et maintenant, nous allons devoir calculer la somme des 𝑓, la somme des 𝑓 fois 𝑥, et la somme des 𝑓 fois 𝑥 au carré. Eh bien, additionner les nombres dans la ligne 𝑓, trois plus neuf plus 12 plus cinq plus quatre, nous donne 33. Additionner les nombres dans la ligne 𝑓𝑥, trois plus 18 plus 36 plus 20 plus 20 est égal à 97. Et ajouter le 𝑓𝑥 au carré, trois plus 36 plus 108 plus 80 plus 100 est 327.

Et juste pour récapituler notre formule pour Σ, l’écart-type est la racine carrée de la somme des 𝑓𝑥 au carré divisée par la somme des 𝑓 moins la somme des 𝑓𝑥 divisée par la somme des 𝑓, le tout au carré. Donc, juste en remplissant ces valeurs-là, la somme des 𝑓𝑥 au carré est 327, la somme des 𝑓 était 33. Donc, nous allons écrire cela ici et ici. Et la somme des 𝑓 était de 97. Et le fait de saisir toutes ces valeurs dans la calculatrice et de les arrondir au centième près nous donne une réponse de 1,13.

J’espère donc que ce dernier exemple met en évidence le fait que lorsque les effectifs sont un peu plus élevés, nous utilisons cette formule, sinon nous aurions dû écrire 33 nombres. Il aurait donc été beaucoup plus difficile de poser cette question si nous n’avions pas utilisé notre formule des effectifs groupés.

Donc, pour résumer ce que nous avons appris, pour les valeurs données dans un tableau des effectifs où 𝑥 est le score individuel et 𝑓 l’effectif de ce score, l’écart-type Σ est égal à la racine carrée de la somme des 𝑓𝑥 au carré divisée par la somme des 𝑓 moins la somme des 𝑓𝑥 divisée par la somme des 𝑓, le tout au carré.

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