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Vidéo de question : Trouver l’équation d’une droite sous forme générale Mathématiques

Écrivez l’équation de la droite de pente 3/2 et d’intersection avec l’axe des ordonnées (0 ; 3) sous la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.

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Transcription de vidéo

Écrivez l’équation de la droite de pente trois demis et d’intersection avec l’axe des ordonnées (0 ; 3) sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro.

Dans cette question, on nous demande de trouver l’équation d’une droite. On nous demande de donner notre réponse sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. Et ce type d’équation pour une droite a un nom spécial. Cela s’appelle la forme générale de l’équation d’une droite. Donc, pour trouver cela, nous allons voir quelles informations nous sont données sur notre droite. On nous dit que la valeur de la pente de notre droite est de trois demis. Et on nous donne aussi l’intersection de notre droite avec l’axe des ordonnées. C’est le point zéro, trois.

Et nous connaissons une expression de droite qui utilise à la fois la pente et l’ordonnée de l’intersection avec l’axe des 𝑦. C’est ce qu’on appelle la forme réduite de l’équation d’une droite. C’est l’équation 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑘, où 𝑚 est la pente de notre droite et 𝑘 est la valeur de l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des 𝑦. Et il convient de souligner quelque chose ici. Habituellement, sous la forme réduite, la valeur 𝑘 est écrite comme 𝑏 ou 𝑐. Cependant, dans ce cas, nous avons utilisé 𝑏 et 𝑐 pour la forme générale de l’équation de notre droite, nous allons donc simplement renommer ce 𝑘.

Et en fait, nous savons déjà que la pente de notre droite est de trois demis. On nous dit cela dans la question. Et on nous donne aussi le point d’intersection avec l’axe des 𝑦. C’est le point zéro, trois. Donc, l’ordonnée de notre point d’intersection sera égale à trois. Donc, dans la forme réduite de notre droite, nous allons définir 𝑚 comme égal à trois demis et 𝑘 comme égal à trois. Cela nous donne l’équation 𝑦 égale trois demis de 𝑥, plus trois. Mais rappelez-vous, on nous demande de donner notre réponse sous la forme générale de l’équation d’une droite. C’est la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro.

Nous avons donc quelques options. Nous allons commencer par multiplier notre équation par deux. Cela n’est pas techniquement nécessaire. Cependant, cela simplifiera notre équation. Nous devons multiplier chaque terme de cette équation par deux. Trois sur deux fois deux donne trois, et trois fois deux donne six. Nous obtenons donc deux 𝑦 égale trois 𝑥 plus six. Maintenant, nous allons simplement soustraire deux 𝑦 des deux côtés de cette équation. Et cela nous donne notre réponse finale de trois 𝑥 moins deux 𝑦 plus six égale zéro.

Cependant, il y a quelque chose qui mérite d’être souligné. Ce n’est pas la seule réponse que nous aurions pu donner. Lorsque nous avions deux 𝑦 égal à trois 𝑥 plus six, nous avons soustrait deux 𝑦 des deux côtés de l’équation. Mais nous aurions également pu soustraire trois 𝑥 et soustraire six des deux côtés de notre équation. Cela nous donnerait alors l’équation moins trois 𝑥 plus deux 𝑦 moins six est égale zéro. Et c’est de la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égale zéro, et cela représente la même droite.

Et en fait, nous pouvons voir que ces deux équations représentent la même droite car si nous multiplions l’une par moins un, nous obtenons l’autre. En fait, nous pouvons multiplier chaque équation par une constante non nulle, et nous obtiendrons une équation pour la même droite sous la forme générale. Mais, une règle de base est d’essayer de donner nos valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sous forme d’entiers et de rendre notre valeur de 𝑎 positive.

Mais toute autre solution de cette forme est également valable. Par conséquent, nous avons pu montrer que l’équation de la droite de pente trois demis et d’intersection avec l’axe des 𝑦 en zéro, trois, sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro est donnée par trois 𝑥 moins deux 𝑦 plus six égale zéro.

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