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Vidéo question :: Différences des racines cubiques de l’unité Mathématiques • Troisième secondaire

Evaluez (𝜔 - 𝜔²)¹⁴ où 𝜔 est une racine cubique complexe de l'unité.

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Transcription de la vidéo

Evaluez oméga moins oméga au carré le tout à la puissance 14 où oméga est une racine cubique complexe de l'unité.

On rappelle d'abord qu'il existe trois racines cubiques de l'unité. L'une de ces trois racines est un, que l'on appelle la racine cubique triviale de l’unité. Et les deux autres racines sont appelées les racines cubiques non triviales de l’unité. Si on considère le cycle de multiplication des racines cubiques de l'unité, on voit que oméga au cube égale un. Il en découle également que oméga égale oméga puissance quatre, oméga puissance sept, et ainsi de suite. Et les expressions équivalentes à oméga au carré et oméga au cube sont les suivantes.

Dans cette question, il nous faut simplifier puis trouver une valeur de oméga moins oméga au carré le tout à la puissance 14. À l'aide des lois des puissances, nous pouvons réécrire cela comme oméga moins oméga carré le tout au carré le tout à la puissance sept. Examinons l'expression à l'intérieur des crochets. En utilisant la méthode standard de multiplication de deux binômes, on peut élever au carré oméga moins oméga carré. C’est égal à oméga carré moins oméga cube moins oméga cube plus oméga puissance quatre, ce qui se simplifie en oméga carré moins deux oméga cube plus oméga puissance quatre.

On doit élever ce résultat à la puissance sept, mais avant cela, on peut simplifier certains des termes. On peut remplacer oméga puissance quatre par oméga, et on sait que oméga au cube égale un. L'expression à l'intérieur des parenthèses devient donc oméga au carré plus oméga moins deux fois un, donc l'expression globale est égale à oméga au carré plus oméga moins deux, le tout à la puissance sept.

Rappelons ensuite l'une des propriétés des racines cubiques de l'unité, à savoir oméga au carré plus oméga plus un égale zéro. En soustrayant un des deux côtés, on voit que oméga au carré plus oméga égale moins un. Ce qui signifie que notre expression se simplifie en moins un moins deux tout à la puissance sept. Ce qui est égal à moins trois puissance sept, soit moins 2 187. L'expression oméga moins oméga au carré le tout à la puissance 14, où oméga est une racine cubique complexe de l'unité, donne une valeur de moins 2 187.

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