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Vidéo de question : Déterminer la valeur d'une inconnue dans une fonction du second degré à partir de son graphique Mathématiques

La fonction ci-dessous représente la fonction du second degré 𝑓 (𝑥) = −𝑥² + 3𝑥 + 𝑘 - 2 qui coupe l’axe des 𝑥 aux points 𝐴 et 𝐵. Déterminez la valeur de 𝑘 sachant que 𝑂𝐵 = 4𝑂𝐴.

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Transcription de vidéo

La fonction ci-dessous représente la fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus 𝑘 moins deux qui coupe l’axe des 𝑥 aux points 𝐴 et 𝐵. Déterminez la valeur de 𝑘 sachant que 𝑂𝐵 = 4𝑂𝐴.

Nous avons une fonction du second degré avec un coefficient dominant négatif. Cela nous donne cette parabole inversée. On nous dit aussi que 𝑂𝐵 est égale à quatre fois 𝑂𝐴. Définissons donc la distance OA comme 𝑎 unités. Par conséquent, la distance OB est égale à quatre a unités. Maintenant, cela signifie en fait que la coordonnée 𝐴 peut être représentée comme le point moins 𝑎 ; zéro, alors que la coordonnée 𝐵 doit être quatre 𝑎 ; zéro. Nous allons donc essentiellement travailler à l'envers pour trouver la valeur de 𝑎 et, par la suite, de 𝑘. Les racines de notre équation sont moins 𝑎 et quatre 𝑎. Ainsi, si nous factorisons l'expression de 𝑓 de 𝑥 et la mettons égale à zéro, nous devrions obtenir quelque chose du type moins 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑥 moins quatre 𝑎.

Maintenant, la raison pour laquelle j'ai choisi moins 𝑥 et 𝑥 est que je sais que le coefficient de 𝑥 au carré est négatif. Si je devais revenir en arrière et résoudre cette équation, je dirais que moins 𝑥 moins 𝑎 égale zéro ou 𝑥 moins quatre 𝑎 est égal à zéro. Lorsque je résous chacune de ces équations pour 𝑥, j'obtiens 𝑥 égale moins 𝑎, notre première solution, et 𝑥 égale quatre a, qui est notre deuxième solution comme requis. Nous pouvons donc affirmer que notre fonction doit ressembler à ceci lorsqu'elle est factorisée. Soit moins 𝑥 moins 𝑎 fois 𝑥 moins quatre 𝑎. Distribuons ces parenthèses. Nous multiplions le premier terme de chaque expression, moins 𝑥 fois 𝑥 donne moins 𝑥 au carré. Puis, nous multiplions les termes extérieurs, moins 𝑥 fois moins quatre 𝑎 donne quatre 𝑥𝑎.

En multipliant les termes internes, nous obtenons moins 𝑥𝑎 et, en multipliant les derniers termes, nous obtenons quatre 𝑎 au carré. Nous rassemblons les termes similaires, et nous voyons que cela se simplifie en moins 𝑥 au carré plus trois 𝑥𝑎 plus quatre 𝑎 au carré. Cependant, bien sûr, la question nous indique que notre fonction est égale à moins 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus 𝑘 moins deux. Égalisons donc les coefficients et voyons si nous pouvons trouver la valeur de 𝑎 et, par conséquent, la valeur de 𝑘. Nous commencerons par égaliser les coefficients de 𝑥 ou 𝑥 à la puissance un. Sur le membre gauche, le coefficient de 𝑥 est trois 𝑎. Sur le membre droit, le coefficient vaut trois. Si trois 𝑎 est égale à trois, alors 𝑎 doit être égale à un. Bien évidemment, nous pourrions résoudre cette équation de manière plus formelle en divisant les deux membres par trois.

Nous allons maintenant égaliser les constantes. Soit le coefficient de 𝑥 à la puissance zéro. Sur le membre gauche, nous avons quatre 𝑎 au carré. Sur le membre droit, notre constante est 𝑘 moins deux. Bien sûr, nous venons de montrer que 𝑎 est égale à un. Nous avons donc quatre fois un au carré est égal à 𝑘 moins deux ou simplement quatre égale 𝑘 moins deux. Nous résolvons cette équation, en 𝑘, en ajoutant deux à chaque côté. Nous constatons que 𝑘 est égale à six. Ainsi, en considérant la fonction moins 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus 𝑘 moins deux tels que 𝑂𝐵 est égale à quatre 𝑂𝐴, nous trouvons 𝑘 égale à six.

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