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Vidéo de question : Identifier les unités du pouvoir de dispersion d’un prisme Physique

Le pouvoir dispersif d’un prisme est défini comme le rapport de la différence entre les angles de déviation maximaux pour les longueurs d’onde les plus petites et les plus grandes qui le traversent, et l’angle de déviation maximal pour la longueur d’onde moyenne de la lumière qui le traverse. Laquelle des unités suivantes serait l’unité du pouvoir dispersif ? [A] rad/m [B] m/rad [C] W⋅rad [D] W/rad [E] Le pouvoir dispersif est une constante sans unité

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Transcription de vidéo

Le pouvoir dispersif d’un prisme est défini comme le rapport de la différence entre les angles de déviation maximaux pour les longueurs d’onde les plus petites et les plus grandes qui le traversent, et l’angle de déviation maximal pour la longueur d’onde moyenne de la lumière qui le traverse. Laquelle des unités suivantes serait l’unité du pouvoir dispersif ? (A) radians par mètre, (B) mètres par radian, (C) watt fois radians, (D) watts par radian, (E) le pouvoir dispersif est une constante sans unité.

Donc, puisque cette question nous interroge sur l’unité du pouvoir dispersif d’un prisme, commençons par rappeler ce qu’est exactement le pouvoir dispersif. Le pouvoir dispersif d’un prisme est une mesure de l’aptitude du prisme a disperser des lumières de différentes couleurs. Plus un prisme disperse les différentes couleurs de lumière, plus son pouvoir dispersif est grand. Par exemple, si nous considérons ces deux prismes ici, le prisme de droite aura un plus grand pouvoir dispersif car il disperse les différentes lumières coulorées plus que le prisme de gauche.

Mais pour cette question, nous n’essayons pas de calculer le pouvoir dispersif d’un prisme particulier. Nous voulons simplement déterminer les unités du pouvoir dispersif. Donc, pour calculer ces unités, commençons par écrire l’équation du pouvoir dispersif d’un prisme. Pour cette question, nous n’avons même pas besoin de mémoriser l’équation du pouvoir dispersif par cœur, car on nous dit exactement comment le pouvoir dispersif est défini dans l’énoncé de la question.

Cette définition inclut les angles de déviation pour différentes longueurs d’onde de la lumière se propageant à travers le prisme. Nous savons que les longueurs d’onde les plus petites traversant un prisme subiront le plus grand écart et que les longueurs d’onde les plus grandes traversant un prisme subiront le moins de déviation. Alors dessinons un croquis de notre prisme pour voir exactement à quoi cela ressemble.

Disons que ce triangle représente notre prisme et que cette flèche épaisse représente la lumière blanche entrant dans le prisme. Traçons également cette ligne en pointillés, qui représente la direction dans laquelle se propageait la lumière lorsqu’elle est entrée dans le prisme. Nous le faisons afin que nous puissions voir plus facilement à quel point les différentes couleurs de la lumière ont été déviées par le prisme. De toutes les couleurs de la lumière visible, la lumière rouge a la plus grande longueur d’onde. Et nous savons que ce sera la moins déviée de toutes les couleurs par le prisme.

Cet angle ici entre la direction dans laquelle la lumière se déplaçait lorsqu’elle est entrée dans le prisme et la direction dans laquelle la lumière se propage lorsqu’elle traverse le prisme est appelée angle de déviation pour cette longueur d’onde. Il s’agit donc de l’angle de déviation pour la lumière rouge, la plus grande longueur d’onde traversant le prisme. Et nous savons que ce sera l’angle de déviation minimum rencontré par toute couleur de lumière traversant le prisme. Alors donnons un nom à cet angle, et nous l’appellerons 𝛼 min, 𝛼 pour nous rappeler que c’est un angle et min parce que nous savons que c’est l’angle de déviation minimum qu’une lumière subira de ce prisme.

Ajoutons maintenant la longueur d’onde la plus petite à notre croquis, et ce sera la lumière bleue. Puisque la lumière bleue a la longueur d’onde la plus petite de toutes les couleurs de la lumière visible, elle subira la plus grande déviation de la part du prisme. Et nous pouvons voir que son angle de déviation est beaucoup plus grand que l’angle de déviation de la lumière rouge. Nous appellerons l’angle de déviation pour la lumière bleue 𝛼 max pour nous rappeler qu’il s’agit de l’angle de déviation maximal subit par toute couleur de lumière traversant le prisme.

L’angle final mentionné dans la définition du pouvoir dispersif est celui de la longueur d’onde moyenne de la lumière traversant le prisme. Maintenant, la longueur d’onde moyenne de la lumière visible est une lumière de couleur verte. Ajoutons donc cela à notre croquis. Cette lumière verte sera déviée d’une valeur comprise entre les angles de déviation maximal et minimal. Et appelons l’angle de déviation pour la lumière verte 𝛼 moyen.

En remarque, nous pouvons en fait écrire 𝛼 moyen comme la moyenne des angles de déviation maximal et minimal du prisme. Donc, cela signifie que nous pourrions écrire que 𝛼 moyen est égale à 𝛼 max plus 𝛼 min le tout divisé par deux. Mais pour cette question, il est en fait plus facile pour nous de le laisser simplement écrit comme 𝛼 moyen.

Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour écrire l’équation du pouvoir dispersif d’un prisme, que nous désignons généralement par le symbole 𝜔 indice 𝛼, où cet indice 𝛼 nous rappelle que nous l’écrivons en fonction de ces angles de déviation. Puisque la question nous dit que le pouvoir dispersif est défini comme un rapport, nous savons que nous allons devoir l’écrire comme une sorte de fraction. On nous dit alors que le numérateur de cette fraction, est la différence entre l’angle de déviation pour la plus petite longueur d’onde de la lumière, que nous venons d’appeler 𝛼 max, et l’angle de déviation pour la plus grande longueur d’onde, que nous venons d’appeler 𝛼 min. Mathématiquement, nous écrivons les différences avec un signe moins. Le numérateur de cette fraction est donc 𝛼 max moins 𝛼 min.

On nous dit alors qu’en le bas de la fraction, au dénominateur, nous avons l’angle de déviation pour la longueur d’onde moyenne de la lumière passant par le prisme, ce qui est précisément ce que nous avons appelé 𝛼 moyen. Cela nous donne l’équation complète du pouvoir dispersif d’un prisme 𝜔 𝛼, qui est égale à 𝛼 max moins 𝛼 min le tout divisé par 𝛼 moyen. Afin de trouver les unités du pouvoir dispersif 𝜔 𝛼, regardons les unités de chaque terme sur le côté droit et voyons comment elles se combinent.

Faisons donc un peu d’espace à l’écran pour continuer, mais rappelons-nous que notre objectif est de trouver l’unité du pouvoir dispersif. Le membre droit de notre équation pour le pouvoir dispersif implique trois termes : 𝛼 max, 𝛼 min et 𝛼 moyen. Et nous savons que chacun de ces termes est un angle, et les angles ont tous des unités de radians, écrit rad. Donc, chacun de ces angles est un certain nombre de radians. Ainsi, par exemple, nous pourrions écrire 𝛼 max comme un nombre, appelons-le 𝑥, radians, où 𝑥 est juste un nombre et les unités de 𝛼 max sont des radians. De même, nous pouvons écrire 𝛼 min comme un autre nombre, 𝑦, radians. Nous pouvons également écrire 𝛼 moyen comme un certain nombre de radians, et nous appellerons ce nombre 𝑧.

Remplaçons maintenant dans ces nouvelles expressions ces angles dans l’équation du pouvoir dispersif. Cela nous donne une nouvelle équation pour le pouvoir dispersif, qui donne 𝑥 radians moins 𝑦 radians, qui était auparavant 𝑥 max moins 𝑥 min, divisé par 𝑧 radians, qui était auparavant 𝛼 moyen. Remarquons maintenant que puisque les deux termes du numérateur ont les mêmes unités de radians, nous pouvons en fait factoriser ces unités et simplifier le numérateur. Nous pouvons réécrire 𝑥 radians moins 𝑦 radians simplement comme 𝑥 moins 𝑦 radians. Cela permet de voir facilement que le numérateur et le dénominateur sont tous deux exprimé en radians. Et cela signifie en fait que les radians s’annulent à partir de la fraction.

Et il nous reste une expression pour le pouvoir dispersif 𝜔 𝛼 qui donne simplement 𝜔 𝛼 est égal à 𝑥 moins 𝑦 divisé par 𝑧. Et puisque 𝑥, 𝑦 et 𝑧 ne sont que des nombres sans unité, nous savons maintenant que le pouvoir dispersif 𝜔 𝛼 n’a pas non plus d’unité. Et cela nous donne notre réponse à cette question. Et notre réponse est (E) le pouvoir dispersif est une constante sans unité.

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