Vidéo : Introduction à l’addition et à la soustraction d’expressions rationnelles

Comprendre l’addition et la soustraction d’expressions rationnelles numériques, puis nous passons à des expressions linéaires simples en numérateurs ou dénominateurs.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment ajouter et soustraire des expressions rationnelles. Ce sont des fractions avec des polynômes au numérateur ou au dénominateur ou les deux et certaines qui les appellent des fractions algébriques. Nous l’avons donc appelé l’introduction parce que nous allons examiner des exemples plus simples et simplement présenter quelques idées pour vous aider sur la route.

Mais d’abord, rappelons-nous simplement comment ajouter des fractions simples ayant différents dénominateurs. Et nous allons être très attentifs à la façon dont nous discutons de notre travail et à la façon dont nous mettons tout cela sur la page. Ce sont donc des dénominateurs différents : un sixième est plus petit que un demi, nous avons donc un petit morceau de quelque chose plus un morceau légèrement plus grand de quelque chose. La seule façon dont nous pouvons raisonnablement travailler avec cela est d’obtenir un dénominateur commun. Donc, ce que nous recherchons, ce sont des fractions équivalentes pour un sixième et demi, mais ils ont de vrais dénominateurs différents. Donc, le moyen le plus rapide que nous pouvons trouver pour ce faire est de prendre ce dénominateur ici, et nous pouvons multiplier le haut et le bas de l’autre fraction par ce dénominateur. Donc, ce que nous faisons, c’est que nous prenons un sixième et que nous le multiplions par, eh bien deux divisés par deux est un. Et quand vous multipliez quoi que ce soit par un, vous gardez la même chose. Donc, ce morceau de calcul ici est toujours un sixième, mais ce n’est qu’un sixième mais écrit légèrement différemment. Et nous prendrons également le dénominateur sur la première fraction six, et nous multiplierons le haut et le bas de l’autre fraction par cela. Donc, encore une fois six fois six divisé par six est une fois et demie, c’est juste un demi. Maintenant, si vous tenez vos mains avec horreur parce que vous pouvez voir un moyen plus rapide et plus simple de le faire, ne vous inquiétez pas. Je reviendrai et en parlerai dans une seconde. Suivons simplement cet exemple. Nous avons donc deux fois un sur douze plus une fois six sur douze. Et nous pouvons combiner cela en une fraction assez importante, donc deux fois un est deux et une fois six est six. Nous avons donc deux plus six sur douze, soit huit sur douze. Maintenant, nous pouvons y diviser le haut et le bas par quatre. Huit divisé par quatre, c’est deux. Douze divisé par quatre, c’est trois. Cela nous donne donc une réponse des deux tiers.

Récapitulons donc ce que nous y avons fait. Tout d’abord, nous avons trouvé un dénominateur commun pour ces fractions. Et c’était la méthode que nous avons fait cela ; nous avons pris ce dénominateur ici et multiplié le haut et le bas de l’autre fraction par. Nous avons pris ce dénominateur ici et multiplié le haut et le bas de l’autre fraction par lui. Ensuite, nous avons réussi à les combiner en une fraction. Et puis finalement, nous avons ajouté les numérateurs ensemble. Et nous avons pu annuler dans ce cas en divisant par quatre, nous simplifions donc notre réponse finale. Maintenant, c’est essentiellement la technique que nous utilisons. Même si nous avons des polynômes, nous avons des fractions algébriques. Maintenant, comme je l’ai dit, nous allons tout simplement recommencer et le faire un peu différemment cette fois. Les nombres que nous avions ici étaient très faciles à utiliser. Ce n’était donc pas un gros problème, mais il existe une autre façon légèrement différente de voir le problème et qui nous aidera lorsque nous aborderons les expressions rationnelles algébriques plus compliquées. Donc, ce que nous aurions pu faire pour commencer, c’est simplement factoriser ce premier dénominateur. Donc six est égal à trois fois deux. Maintenant, lorsque nous recherchons un dénominateur commun, ce dénominateur est un multiple de deux et ce dénominateur est également un multiple de deux. Donc, tout ce que nous devons faire est de prendre ces trois à partir d’ici, et nous allons multiplier le haut et le bas de l’autre fraction par trois. Donc, trois sur trois, c’est encore un. Donc, ce même principe s’applique avant.

Donc, ce que nous avons fait dans cette première étape, c’est que nous avons en quelque sorte réduit la quantité de travail que nous avons à faire sans avoir à multiplier ce premier terme par quoi que ce soit. Nous prenons simplement le-le facteur manquant si vous voulez du dénominateur commun, et nous créons une autre version du deuxième terme, qui a ce même dénominateur. Donc, bien sûr, une fois trois est trois, nous avons donc une fois plus de trois fois deux plus trois plus de trois fois deux ou deux fois trois. Et nous pouvons combiner cela en une fraction, car ils ont tous les deux le même dénominateur, ce qui nous donne quatre sur trois fois deux. Mais je peux diviser le haut par deux, donc quatre divisé par deux, c’est deux. Je peux le faire en bas par deux, ce qui annule pour en faire un. J’ai donc la même réponse qu’auparavant : les deux tiers. Mais tout au long, nous avons traité des nombres légèrement plus petits que la dernière fois. Encore une fois, ces chiffres étaient faciles, pas un gros problème. Mais sur les questions plus compliquées, cela pourrait en fait s’avérer être un réel avantage pour nous. C’est donc la technique de base. Regardons maintenant quelques fractions algébriques ou quelques expressions rationnelles.

Donc, dans ce premier, nous devons simplifier 𝑥 sur trois plus 𝑥 sur cinq. Maintenant, trois est un nombre premier, cinq est un nombre premier, donc nous ne pourrons pas factoriser aucun des dénominateurs. Alors allons-y et écrivons ceci. Pour obtenir notre dénominateur commun, je vais multiplier ces deux fractions par une. Mais la version de celle que je vais multiplier la première est de cinq sur cinq, car c’était le dénominateur de l’autre fraction. Et la version que je vais multiplier la deuxième fraction est de trois sur trois. Donc, en combinant ceux-ci en une seule grande fraction, parce que nous avons ici le dénominateur commun cinq fois trois, nous avons cinq fois 𝑥 est cinq 𝑥, 𝑥 fois trois est trois 𝑥. Nous ajoutons donc ces deux ensemble en tout cinq fois trois en bas, ce qui va être quinze. Et cinq 𝑥 plus trois 𝑥 font huit 𝑥. Maintenant, huit et quinze n’ont plus de facteurs communs. Donc en fait huit 𝑥 sur quinze va être une réponse finale dans ce cas. C’est comme travailler avec des fractions comme nous l’avons fait auparavant. Mais dans ce cas, nous avons quelques lettres dans le mélange, ce qui rend le tout un peu plus compliqué.

D’accord, augmentons le niveau d’un tout petit peu. C’est très légèrement plus difficile que le précédent, mais pas massivement difficile.

Simplifiez deux 𝑥 sur cinq plus trois 𝑥 sur quatre. Encore une fois, ces dénominateurs n’ont pas de facteurs communs autres qu’un, donc je vais devoir multiplier les deux fractions par une version pour obtenir des fractions équivalentes. Et je vais multiplier la deuxième fraction par cinq sur cinq, et je vais multiplier la première fraction par quatre sur quatre. Et maintenant, j’ai des dénominateurs communs de quatre sur quatre fois cinq dans chaque cas. Et parce que j’ai ces dénominateurs communs, je peux fusionner ces deux fractions en une seule. J’ai donc quatre fois deux 𝑥 plus cinq fois trois 𝑥 en tout quatre fois cinq, alors évaluons certains d’entre eux. Eh bien, quatre fois deux 𝑥 est huit 𝑥, cinq fois trois 𝑥 est quinze 𝑥, nous ajoutons donc quinze 𝑥, et quatre fois cinq en bas, c’est vingt. Et huit 𝑥 plus quinze 𝑥 font vingt-trois 𝑥. Rien n’annule, c’est notre réponse.

Maintenant, pour cet exemple, je vais le faire de deux manières différentes. Premièrement, je vais juste entrer aveuglément et suivre la méthode dont nous avons parlé jusqu’à présent, puis nous allons la ré-exécuter et voir si nous pouvons repérer des moyens légèrement plus efficaces de le faire.

Nous allons donc simplifier un sur trois 𝑥 plus deux sur huit 𝑥. Eh bien, je vais prendre le premier dénominateur et je vais multiplier le haut et le bas de l’autre fraction par cela. Et je vais prendre le deuxième dénominateur et je vais multiplier le haut et le bas de la première fraction par cela. Ensuite, si je les combine en une fraction, j’ai un lot de huit 𝑥 plus deux fois trois 𝑥 sur le numérateur et le dénominateur commun de huit 𝑥 fois trois 𝑥 sur le fond. Donc cela me donne huit 𝑥 plus six 𝑥 au sommet, puis trois fois huit font vingt-quatre. Et 𝑥 fois 𝑥 est 𝑥 au carré. Maintenant, huit 𝑥 plus six 𝑥 font quatorze 𝑥. J’ai donc quatorze 𝑥 sur vingt-quatre 𝑥 au carré, mais maintenant je peux faire un peu d’élimination. Quatorze et vingt-quatre peuvent être divisés par deux. Donc quatorze divisé par deux est sept, vingt-quatre divisé par deux est douze. 𝑥 peut être divisé par 𝑥 pour n’en faire qu’un, et 𝑥 au carré peut être divisé par 𝑥 juste pour faire 𝑥. Donc en haut, j’en ai sept fois une, c’est-à-dire sept. Et en bas, j’ai douze fois 𝑥, ce qui n’est que douze 𝑥. Voilà donc la réponse que nous avons.

Bon, recommençons alors. Mais maintenant, nous pouvons remarquer que dans la question, ce deuxième mandat, deux sur huit 𝑥, j’aurais pu diviser le haut par deux et j’aurais pu aussi diviser le bas par deux pour en faire quatre. J’ai donc un sur trois 𝑥 plus un sur quatre 𝑥. Maintenant, en regardant ces dénominateurs, cela a un facteur 𝑥 et cela a également un facteur 𝑥. Donc en fait, ce que je vais multiplier chacune de ces fractions n’est pas quatre 𝑥 et trois 𝑥, mais je ne vais multiplier que par le facteur manquant dans ce dénominateur commun. Donc, pour la deuxième fraction ici. Je vais multiplier par trois en haut et trois en bas. Et pour la première fraction ici, je vais seulement multiplier par quatre en haut et quatre en bas. Donc, le premier mandat ici était quatre fois un, le deuxième mandat ici est une fois trois. Donc quand je les combine pour faire une fraction, le dénominateur est quatre fois trois fois 𝑥. Et quand j’évalue ceux-ci, quatre fois un est quatre, une fois trois est trois et quatre fois trois fois 𝑥 est douze 𝑥. Eh bien, quatre plus trois font sept. Donc, sept sur douze 𝑥 est notre réponse, car aucun de ceux-ci n’annule. Donc, en examinant la question un peu plus attentivement en premier lieu et en faisant un peu plus attention à la façon dont nous avons créé un dénominateur commun, nous pouvons voir que ce deuxième calcul ici était en fait beaucoup plus facile à faire que notre premier calcul là-bas..

D’accord.

Simplifiez quatre sur 𝑥 plus trois plus deux sur 𝑥 moins deux. Eh bien, cela semble un peu plus compliqué, mais le processus que nous allons suivre est exactement le même que ce que nous venons de faire. Maintenant, la seule chose que je recommanderais est de mettre des parenthèses autour de vos dénominateurs, car cela va rendre la vie un peu plus facile pendant que nous passons ici et nous assurer que nous ne faisons aucune erreur. Nous allons donc prendre notre premier dénominateur et multiplier le haut et le bas de l’autre fraction par cette valeur. Et nous prendrons le deuxième dénominateur et multiplierons le haut et le bas de la première fraction par cette valeur. Donc, le principe reste valable, 𝑥 moins deux divisé par 𝑥 moins deux n’est qu’un. Nous avons donc encore une fois la première fraction, c’est donc toujours la première fraction. Et 𝑥 plus trois divisé par 𝑥 plus trois est toujours un. Nous avons donc une fois la deuxième fraction. Il ne reste donc que deux sur 𝑥 moins deux. Bon, multiplions ça. Eh bien, nous les combinons en une fraction ici. Nous avons quatre fois 𝑥 moins deux plus deux fois 𝑥 plus trois partout dans le dénominateur commun de 𝑥 moins deux fois 𝑥 plus trois. Alors maintenant, nous allons faire quatre fois 𝑥 et quatre fois moins deux et nous allons ajouter deux fois 𝑥 et deux fois plus trois. Donc, quatre fois 𝑥 sont quatre 𝑥 et quatre fois moins deux est égal à huit. Deux fois 𝑥 sont plus deux 𝑥 et deux fois trois sont plus six. Maintenant, je ne multiplie pas le dénominateur à ce stade, car nous n’avons pas fini de ranger le numérateur. Qui sait ? Les choses pourraient se factoriser et quelque chose pourrait s’annuler. Si je multiplie le dénominateur, je ne pourrais pas le voir.

Eh bien quatre 𝑥 plus deux 𝑥 est six 𝑥 et moins huit plus six est moins deux. Nous avons donc six 𝑥 moins deux sur 𝑥 moins deux fois 𝑥 plus trois. Mais en fait, si nous regardons attentivement le numérateur, nous pouvons voir que cela factorisera. Six et deux ont obtenu un facteur commun de deux. Alors, que dois-je multiplier par deux pour obtenir six 𝑥 ? Eh bien, ce serait trois 𝑥. Et que dois-je multiplier par deux pour obtenir moins deux ? Eh bien, ce serait moins un. Alors voilà. Maintenant, ce que nous avons fini avec l’intérieur des parenthèses n’est pas le même que n’importe lequel des supports du bas. Donc, rien ne va s’éliminer, mais c’est un bon format factorisé de notre réponse. Maintenant, si j’avais multiplié le dénominateur et que je n’avais pas pris en compte le numérateur, c’est la solution que j’aurais obtenue et qui serait toujours une réponse parfaitement correcte. Mais les gens ont tendance à le laisser dans ce format factorisé plutôt que dans ce format multiplié.

À droite, donc et l’exemple suivant est un exemple de soustraction.

Simplifiez deux sur trois 𝑥 moins un sur cinq 𝑥. Nous allons donc aborder cela de la même manière que nous l’avons fait auparavant. Mais au lieu d’ajouter les deux fractions, nous allons soustraire la seconde de la première. Nous pouvons donc voir qu’ils ont tous deux obtenu un 𝑥 en commun sur les dénominateurs pour ces deux fractions. Donc, les facteurs manquants sont les choses que nous allons utiliser pour trouver des fractions équivalentes, donc trois. On va multiplier le haut et le bas de la deuxième fraction par trois et les cinq, on va multiplier le haut et le bas de la première fraction par cinq. Donc, cela nous laisse avec cinq fois deux moins une fois trois sur cinq fois trois fois 𝑥 lorsque nous combinons cela en une fraction. Cela nous donne donc dix moins trois sur quinze 𝑥, soit sept sur quinze 𝑥. Et cela ne fera plus d’annulation, alors voici notre réponse. Donc, la soustraction comme l’addition, mais vous devez retirer les choses plutôt que de les ajouter.

Bon un dernier alors.

Nous allons simplifier trois sur trois moins 𝑥 moins six sur six moins 𝑥, alors faisons ce que nous avons fait auparavant. Et c’est de mettre des parenthèses autour des dénominateurs et ensuite nous devons trouver des fractions équivalentes, de sorte que nous nous retrouvons avec un dénominateur commun. Nous allons donc prendre ces trois moins 𝑥 et multiplier la deuxième fraction en haut et en bas par cette valeur. Et nous allons prendre les six moins 𝑥 et nous allons multiplier le haut et le bas de la première fraction par cette valeur. Nous avons donc trois fois six moins 𝑥 comme numérateur pour la première fraction et six fois trois moins 𝑥 pour le deuxième numérateur. Nous allons donc rassembler ces termes pour former une seule fraction. Voilà ce que nous avons. et nous devons être très très prudents lorsque nous multiplions ces parenthèses, parce que ce deuxième terme sur le numérateur est moins le tout. Voyons donc comment cela fonctionne. Nous allons donc avoir trois fois six et trois fois moins 𝑥. Maintenant, trois fois six font dix-huit et trois fois moins 𝑥 est égal à moins trois 𝑥, mais maintenant nous en retirons six fois trois. Et nous supprimons six fois moins 𝑥, donc six fois moins 𝑥 moins six 𝑥. Si nous retirons moins six 𝑥, cela signifie que nous ajoutons six 𝑥. En regardant ce numérateur, nous avons dix-huit à soustraire, ce qui est égal à zéro. Et nous avons moins trois 𝑥 ajouter six 𝑥, ce qui est positif trois 𝑥. Et aucun de ces termes n’annulera, donc nous nous retrouvons avec notre réponse de trois 𝑥 en tout six moins 𝑥 fois trois moins 𝑥.

Donc, la chose à laquelle il fallait vraiment prêter attention était cette étape ici. Quand nous avions à effectuer des soustractions de choses. Rappelez-vous que nous avons dû retirer toute cette expression ici, ce qui signifiait être très prudent avec les signes que nous nous sommes retrouvés ici. C’est l’endroit le plus courant où les gens se trompent lorsqu’ils posent ces questions. Alors faites vraiment attention à cela.

Alors récapitulons à nouveau tout le processus. Parce que si nous faisons l’addition ou la soustraction de ces fractions, ces expressions rationnelles, le processus est le même. Tout d’abord, nous avons dû essayer de trouver des dénominateurs communs, ce qui signifiait trouver des fractions équivalentes pour chacun d’eux en utilisant très soigneusement ces dénominateurs pour multiplier les autres fractions. J’utilise ce dénominateur ici pour multiplier cette fraction. Parfois, nous devions multiplier par le dénominateur entier, parfois nous pouvions simplement multiplier par l’un des facteurs. Nous avons un moyen d’obtenir des dénominateurs communs. Une fois que nous avons les dénominateurs communs, nous pouvons combiner ces deux fractions en une seule grande fraction, une grande expression ici, partout dans le dénominateur commun. Et enfin, nous évaluons ce numérateur, et parfois nous obtenons quelque chose qui peut être pris en compte. Parfois, ce n’est pas possible. Parfois, cela s’annulera avec quelque chose sur le dénominateur ici-bas, mais nous devons examiner tous ces processus et essayer de simplifier autant que possible cette expression lorsque nous arriverons à la fin. Ce un, deux, trois est le même pour toutes ces questions.

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