Transcription de la vidéo
Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs un, 𝑎 et sept. Sachant que 𝑋 possède la fonction de distribution de probabilité 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus deux sur 18, déterminez la variance de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.
Nous rappelons tout d'abord que la variance d’une variable aléatoire discrète 𝑋 est la mesure de la dispersion avec laquelle les valeurs de la variable diffèrent de l’espérance. Cette variance est calculée à l'aide de la formule suivante : l’espérance de X au carré moins l’espérance de X le tout au carré. Soyons clairs sur la différence de notation ici. Dans le second terme, nous avons le carré de l’espérance de X, alors que dans le premier terme, nous avons l’espérance des carrés des valeurs de X. Ainsi, nous calculons le carré de chaque valeur de 𝑥, puis nous déterminons leurs espérance.
Nous rappelons également les formules permettant de calculer l’espérance de 𝑋 et l’espérance de 𝑋 au carré. Pour déterminer l’espérance de 𝑋, nous calculons la somme des valeurs de 𝑥 que la variable aléatoire peut prendre multipliées par 𝑓 de 𝑥, leurs probabilités. Pour déterminer l’espérance de 𝑋 au carré, nous calculons la somme des valeurs de 𝑥 au carré multipliées par leurs probabilités correspondantes. Nous avons l’expression de la fonction de distribution de probabilité 𝑓 de 𝑥. Soit 𝑥 plus deux sur 18. Cette variable aléatoire peut prendre les valeurs : un, 𝑎 et sept.
Avant de pouvoir calculer la variance de X, il faut d'abord déterminer la valeur de l'inconnue 𝑎. Nous savons que la somme de toutes les probabilités est égale à un. Nous pouvons alors déterminer la probabilité de 𝑥 égale un et 𝑥 égale sept, ainsi qu'une expression pour la probabilité lorsque 𝑥 est égale à 𝑎. Avant tout, 𝑓 de un est égal à un plus deux sur 18, ce qui équivaut à trois sur 18. Pour l'instant, nous ne simplifions pas cette fraction. 𝑓 de 𝑎 est 𝑎 plus deux sur 18. 𝑓 de sept est égale à sept plus deux sur 18, soit neuf sur 18.
Puisque la somme de ces trois probabilités est égale à un, nous obtenons l'équation suivante : trois sur 18 plus 𝑎 plus deux sur 18 plus neuf sur 18 égalent un. Puisque nous n'avons simplifié aucune des fractions pour qu'elles aient un dénominateur commun de 18, nous pouvons les additionner en ajoutant les numérateurs, ce qui donne 𝑎 plus 14 sur 18 égale un. Nous pouvons ensuite multiplier chaque côté de cette équation par 18 pour obtenir 𝑎 plus 14 égal 18, puis soustraire 14 de chaque côté nous donne 𝑎 est égale à quatre. Nous avons donc déterminé la valeur de cette inconnue 𝑎. Nous savons également que 𝑓 de un est trois sur 18. 𝑓 de 𝑎, qui est maintenant 𝑓 de quatre, est 𝑎 plus deux sur 18. Soit six sur 18. 𝑓 de sept est égale à neuf sur 18.
Nous allons maintenant représenter notre fonction de distribution de probabilité dans un tableau. Les valeurs de la variable aléatoire discrète sont écrites sur la première ligne, suivies de leurs probabilités correspondantes sur la deuxième ligne. Pour trouver l’espérance de X, on multiplie chaque valeur 𝑥 par sa valeur 𝑓 de 𝑥. Pour ce faire, il est utile d’ajouter une ligne au tableau. Cela donne trois sur 18, 24 sur 18 et 63 sur 18. Pour l'instant, nous garderons toutes ces fractions sous une forme non simplifiée. L’espérance de X est alors la somme de ces trois valeurs, soit 90 sur 18, ce qui donne cinq.
Nous avons donc trouvé l’espérance de de 𝑋. Nous devons ensuite calculer l’espérance de X au carré. Pour faire ceci, il est utile d’ajouter une ligne au tableau qui calcule le carré de chaque valeur de X. Il s'agit des carrés de un, quatre et sept, qui sont égaux à un, 16 et 49. La probabilité de chaque valeur x au carré est la même que la probabilité de la valeur de x. Nous ajoutons donc une autre ligne à notre tableau, en multipliant chaque valeur de x au carré par la valeur de f de x correspondante. Nous obtenons ainsi trois sur 18, 96 sur 18 et 441 sur 18. Chacune de ces fractions peut être simplifiée pour avoir un dénominateur commun de six, ce qui donne un sixième, 32 sur six et 147 sur six. L’espérance de X au carré est la somme de ces trois valeurs, soit 180 divisé par six, ce qui donne 30.
Enfin, nous calculons la variance de 𝑋. Elle est égale à l’espérance de X au carré, soit 30, moins l’espérance de X le tout au carré. Ainsi, nous soustrayons cinq au carré. Nous avons 30 moins 25, qui est égal à cinq. On nous a demandé de donner la réponse au centième près. Le résultat dans ce cas est un entier, mais nous pouvons l’écrire comme 5.00. Par conséquent, nous avons trouvé que la variance de X au centième près est 5.00, ou simplement cinq.
