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Pour une série statistique donnée, la somme de 𝑥 égale 47, la somme de 𝑦 égale 45.75, la somme de 𝑥 au carré égale 329, la somme de 𝑦 au carré égale 389.3125, la somme de 𝑥𝑦 égale 310.25 et 𝑛 égale huit. Calculez la valeur du coefficient de régression 𝑏 dans le modèle de régression linéaire des moindres carrés 𝑦 égale 𝑎 plus 𝑏𝑥. Donnez votre réponse au millième près.
Commençons par nous rappeler du modèle de régression des moindres carrés 𝑦 égale 𝑎 plus 𝑏𝑥. Cela donne l'équation de la droite qui correspond le mieux à un nuage de points d'un ensemble de données 𝑥𝑦. On choisira les valeurs de 𝑎 et 𝑏 afin de minimiser la somme des carrés des résidus. Il s'agit des différences entre la vraie valeur de 𝑦 pour un point de données et la valeur prédite par le modèle.
Pour calculer les valeurs de 𝑎 et 𝑏, nous pouvons appliquer des formules standard. Tout d'abord, 𝑏 égale 𝑆𝑥𝑦 sur 𝑆𝑥𝑥, où 𝑆𝑥𝑦 et 𝑆𝑥𝑥 sont donnés ci-dessous. Quant à 𝑎, même si on ne nous le demande pas ici, cette valeur est égale à 𝑦 barre - soit la moyenne des valeurs 𝑦 - moins 𝑏 multiplié par 𝑥 barre - la moyenne des valeurs 𝑥. Nous constatons que si nous comparons notre modèle de régression des moindres carrés à l'équation générale d'une droite, alors, la valeur 𝑏 représente le coefficient directeur de cette droite et la valeur 𝑎 représente son ordonnée 𝑦 à l’origine.
On ne nous a pas donné les données originales, mais plutôt les indicateurs statistiques de cet ensemble de données. Cela suffit donc pour calculer les valeurs de 𝑆𝑥𝑦 et 𝑆𝑥 et donc calculer 𝑏. Tout d'abord, pour 𝑆𝑥𝑦, nous utilisons la somme de 𝑥𝑦, qui est de 310.25. Nous utilisons la somme de 𝑥 qui vaut 47, la somme de 𝑦 qui vaut 45.75 et la valeur de 𝑛, le nombre de paires de données, qui vaut huit. Nous avons que 𝑆𝑥𝑦 égale 310.25 moins 47 multiplié par 45.75 sur huit. Ceci donne exactement 41.46875.
Avant de calculer 𝑆𝑥𝑥, il faut bien comprendre la différence entre les deux notations. La somme de 𝑥 au carré revient à mettre au carré chacune des valeurs 𝑥 individuellement et à trouver leur somme. Tandis que la somme de 𝑥 le tout au carré indique que nous trouvons d'abord la somme des valeurs 𝑥 et qu'ensuite nous mettons cette somme au carré. Ce point est particulièrement important si nous devons calculer nous-mêmes ces indicateurs statistiques sur la base des données originales. Ainsi, pour calculer cela, nous avons besoin de la somme de 𝑥 au carré, qui est 329. Nous prenons ensuite la somme de 𝑥, qui est 47, nous la mettons au carré et nous la divisons par 𝑛, qui vaut huit. En évaluant cela sur une calculatrice, nous obtenons exactement 52,875.
Pour déterminer la valeur du coefficient de régression 𝑏, nous prenons la valeur de 𝑆𝑥𝑦 et nous la divisons par la valeur de 𝑆𝑥𝑥. Nous obtenons alors la valeur décimale 0,78427 etc. Puisqu’on nous a demandé de donner notre réponse au millième près, si nous arrondissons cette valeur, nous obtenons 0,784. Pour interpréter cette valeur, rappelez-vous que 𝑏 correspond au coefficient directeur de la droite de régression des moindres carrés. Alors, la valeur 0,784 signifie que la droite a une pente positive. Ainsi, pour chaque unité d'augmentation de la variable 𝑥, le modèle prédit une augmentation de 0,784 unités de la variable 𝑦. On ne nous a pas demandé de trouver la valeur de 𝑎 dans cette question. Cependant, si nous devions la calculer, nous pourrions utiliser la valeur de 𝑏 que nous venons de trouver et les valeurs de 𝑥 barre et 𝑦 barre, qui peuvent être déterminées en divisant la somme de 𝑥 et celle de 𝑦 par 𝑛.
Le coefficient de régression 𝑏 dans le modèle de régression des moindres carrés 𝑦 égal à 𝑎 plus 𝑏𝑥 vaut 0,784 au millième près.
