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Vidéo de question : Déterminer les valeurs maximale et minimale absolues d’une fonction définie par morceaux dans un intervalle donné Mathématiques

Déterminez les extrema globaux sur l’intervalle [−1, 2] pour la fonction définie par 𝑓 (𝑥) = 4𝑥² + 3𝑥 - 7 si 𝑥 ≤ 1 et 𝑓 (𝑥) = 6𝑥 - 5 si 𝑥 > 1. Arrondissez les résultats au centième près.

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Transcription de vidéo

Déterminez les extrema globaux sur l’intervalle fermé de moins un à deux pour la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 au carré plus trois 𝑥 moins sept si 𝑥 est inférieur ou égal à un, et 𝑓 de 𝑥 égale six 𝑥 moins cinq si 𝑥 est strictement supérieur à un. Arrondissez les résultats au centième près.

Afin de trouver les valeurs maximales et minimales absolues d’une fonction, nous devons considérer deux choses. Nous devons d’abord rechercher tous les points critiques de la fonction. Rappelez-vous, ce sont des points où la dérivée première est égale à zéro. Un point critique peut indiquer un maximum relatif et un minimum relatif. Et ceux-ci pourraient aussi être des extrema absolus. Nous devons également considérer les extrémités de la fonction.

Donc, ce que nous allons faire, c’est commencer par trouver la dérivée première de notre fonction. Il se trouve que notre fonction est définie par morceaux. Nous allons donc dériver chaque expression par rapport à 𝑥. Commençons par l’expression quatre 𝑥 au carré plus trois 𝑥 moins sept. La dérivée de quatre 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est deux fois quatre 𝑥, soit huit 𝑥. La dérivée de trois 𝑥 est trois. Et la dérivée de moins sept est zéro. Et cela est admis pour des valeurs de 𝑥 inférieures ou égales à un.

Ensuite, nous dérivons six 𝑥 moins cinq par rapport à 𝑥. Eh bien, la dérivée de six 𝑥 moins cinq est simplement six. Nous voyons donc que la dérivée première est égale à huit 𝑥 plus trois si 𝑥 est inférieur ou égale à un ou six si 𝑥 est supérieur à un. Et en fait, si nous regardons attentivement, nous voyons que l’expression six ne peut pas être égale à zéro pour toutes les valeurs de 𝑥. Cela nous indique qu’il n’y a pas de points critiques dans cette partie de la fonction. Mais nous allons poser huit 𝑥 plus trois égal à zéro et résoudre pour 𝑥. En soustrayant trois des deux côtés, puis en divisant par huit, nous trouvons que 𝑥 est égal à moins trois huitièmes. Nous avons donc un point critique lorsque 𝑥 est égal à moins trois huitièmes.

Nous allons donc poursuivre notre analyse. D’abord, évaluons la fonction à ce point critique. Soit 𝑓 de moins trois huitièmes. Ensuite nous l’évaluerons aux extrémités inférieure et supérieure de notre intervalle. C’est 𝑓 de moins un et 𝑓 de deux. Et nous allons l’évaluer ici lorsque 𝑥 est égal à un. Ceci est le point final de chaque morceau de la fonction. Lorsque 𝑥 est égal à moins trois huitièmes, il est en effet inférieur ou égal à un. Nous utilisons donc le premier morceau de notre fonction pour évaluer 𝑓 de moins trois huitièmes. C’est quatre fois moins trois huitièmes au carré plus trois fois moins trois huitièmes moins sept. C’est moins 7,5625.

Lorsque 𝑥 est égal à moins un, nous utilisons le même morceau de la fonction. Nous obtenons donc quatre fois moins un carré plus trois fois moins un moins sept, soit moins six. Alors, moins six est plus grand que moins 7,5625. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à moins un, nous ne pouvons absolument pas avoir un minimum absolu. Mais nous pourrions toujours avoir un maximum absolu. Nous allons donc évaluer 𝑓 de deux. Lorsque 𝑥 est égal à deux, cela est évidemment supérieur à un. Nous allons donc utiliser la deuxième partie de notre fonction. C’est six fois deux moins cinq, ce qui équivaut à sept.

Enfin, il suffit de vérifier quand 𝑥 est égal à un. Nous revenons à la première partie de notre fonction car celle-ci est définie pour des valeurs de 𝑥 inférieures ou égales à un. Nous obtenons quatre fois un carré plus trois fois un moins sept, ce qui est égal à zéro. Eh bien, si nous regardons attentivement, nous voyons que la plus petite valeur que nous ayons sur notre intervalle est moins 7,5625. Et la plus grande valeur que nous obtenons est sept. Nous arrondissons moins 7,5625 au centième près.

Et nous constatons que la valeur maximale absolue de notre fonction est sept. Et le minimum absolu est moins 7,56.

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