Vidéo : Dérivation des fonctions trigonométriques inverses

Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques, en nous concentrant sur les dérivées des fonctions cotangente, sécante et cosécante.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à déterminer la dérivée des fonctions trigonométriques, en mettant l’accent sur les fonctions cotangente, sécante et cosécante. Nous commencerons par récapituler les règles dont nous avons besoin pour déterminer ces dérivées avant de compléter la dérivation, puis nous verrons comment ces résultats standard peuvent nous aider à déterminer les dérivées de fonctions plus compliquées.

Commençons par récapituler la dérivée des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente. La dérivée de sin 𝑎𝑥 est 𝑎 cos 𝑎𝑥. La dérivée de cos 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sin 𝑎𝑥. Et la dérivée de tan 𝑎𝑥 est 𝑎 sec au carré 𝑎𝑥. Nous allons également devoir utiliser la règle du produit. Et c’est lorsque nous avons deux fonctions dérivables, 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur produit, 𝑢 fois 𝑣, est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. De même, nous utiliserons la règle du quotient. Et cette fois, nous déterminons la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables, 𝑢 et 𝑣, en calculant 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Nous ferons référence à chacune de ces règles tout au long de la vidéo. Voyons donc le premier exemple.

Si 𝑦 égale moins deux sec de deux 𝑥, alors déterminez le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 vaut 11𝜋 sur six.

Rappelez-vous que lorsque nous cherchons le taux de variation d’une quantité, c’est la dérivée qui nous intéresse. Nous allons donc déterminer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 et l’évaluer en le point où 𝑥 égale 11𝜋 sur six. Alors, comment dérivons-nous cette fonction ? Eh bien, nous commençons par utiliser la définition de la fonction sécante. Nous savons que sec 𝑥 égale un sur cos 𝑥. Et nous pouvons écrire 𝑦 comme étant égale à moins deux sur cos deux 𝑥. Et puis, il y a plusieurs choses que nous pourrions faire. Nous pourrions réécrire ceci sous la forme de moins deux fois cos deux 𝑥 à la puissance moins un, et appliquer la règle de dérivation en chaîne. Ou puisque ceci est écrit sous la forme d’une fraction, nous pouvons appliquer la règle du quotient. Rappelez-vous, cela signifie que si 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables, la dérivée de ce quotient est égale à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Le numérateur de notre fraction vaut moins deux. Donc, on considère 𝑢 égal à moins deux. Et ainsi 𝑣 égal à cos deux 𝑥.

Pour utiliser la règle du quotient, nous devrons déterminer la dérivée de chacune d’elles. La dérivée d'une constante est égale à zéro. Donc, d𝑢 sur d𝑥 égale zéro. Et ensuite, nous citons un résultat classique pour la dérivée de cos 𝑎𝑥. Et nous voyons que d𝑣 sur d𝑥 est égale à moins deux fois sin deux 𝑥. Nous pouvons substituer tout ce que nous connaissons dans la formule de la règle du quotient. Et nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à cos deux 𝑥 fois zéro moins moins deux fois moins deux sin deux 𝑥 le tout sur cos deux 𝑥 au carré. Cela se simplifie en moins quatre sin deux 𝑥 sur cos au carré deux 𝑥. Maintenant, nous pouvons séparer ceci et l’écrire sous la forme moins quatre sin deux 𝑥 sur cos deux 𝑥 fois un sur cos deux 𝑥. Et nous rappelons l’identité sin 𝑥 sur cos 𝑥 est égale à tan 𝑥. Et nous trouvons que nous avons le résultat général pour la dérivée de la fonction sécante.

Rappelez-vous cependant que nous cherchions à déterminer le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 vaut 11𝜋 sur six. Donc, en fait, nous allons substituer 𝑥 égale 11𝜋 sur six dans notre expression de la dérivée. Et nous ferions mieux de la laisser ici en fonction de sinus et de cosinus. Nous substituons 𝑥 égale 11𝜋 sur six. Et nous obtenons moins quatre sin deux fois 11𝜋 sur six sur cos au carré de deux fois 11𝜋 sur six, ce qui donne huit racine de trois. Le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 vaut 11𝜋 sur six est huit racine de trois.

Et cet exemple a illustré un résultat général. Nous constatons que la dérivée de sec 𝑎𝑥 est égale à 𝑎 sec 𝑎𝑥 fois tan 𝑎𝑥. Nous allons maintenant effectuer un processus similaire pour nous aider à déterminer la dérivée de la fonction cotangente.

Déterminez d𝑦 sur d𝑥 sachant que 𝑦 égale moins trois cos quatre 𝑥 plus trois cot de quatre 𝑥.

Pour déterminer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, on peut dériver séparément moins trois cos quatre 𝑥 et trois cot de quatre 𝑥. Nous savons que la dérivée de cos 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sin 𝑎𝑥. Nous voyons donc que la dérivée de moins trois cos quatre 𝑥 est égale à moins trois fois moins quatre sin quatre 𝑥, ce qui correspond tout simplement à 12 sin quatre 𝑥. Mais qu'en est-il de la dérivée de trois cot de quatre 𝑥 ? Eh bien, cot de 𝑥 est égal à un sur tan 𝑥. Et tan 𝑥 égale sin 𝑥 sur cos 𝑥. On peut donc dire que cot de quatre 𝑥 est égale à un sur tan de quatre 𝑥 ou un sur sin quatre 𝑥 sur cos quatre 𝑥. Et nous obtenons que trois cot de quatre 𝑥 est donc égal à trois sur sin quatre 𝑥 sur cos quatre 𝑥, ce qui peut bien sûr être écrit sous la forme trois cos quatre 𝑥 sur sin quatre 𝑥.

Donc, nous devons en fait dériver trois cos quatre 𝑥 sur sin quatre 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous allons utiliser la règle du quotient pour la dériver. Soit 𝑢 égale trois cos quatre 𝑥. Et 𝑣 égale sin quatre 𝑥. Nous savons que la dérivée de cos quatre 𝑥 est moins quatre sin quatre 𝑥. Donc, d𝑢 sur d𝑥 est moins 12 sin de quatre 𝑥. Nous pouvons également utiliser le résultat général pour la dérivée de la fonction sinus. Et nous obtenons d𝑣 sur d𝑥 qui est égale à quatre cos quatre 𝑥. Nous pouvons maintenant substituer tout ce que nous connaissons de notre fonction dans la dérivée. Et nous nous retrouvons sin quatre 𝑥 fois moins 12 sin quatre 𝑥 moins trois cos quatre 𝑥 fois quatre cos quatre 𝑥 le tout sur sin au carré quatre 𝑥. Cela se simplifie en moins 12 sin au carré de quatre 𝑥 moins 12 cos au carré de quatre 𝑥 sur sin au carré de quatre 𝑥.

Mais si nous factorisons moins 12, nous voyons que le numérateur de cette fraction est le même que moins 12 fois sin carré quatre 𝑥 plus cos carré quatre 𝑥. Et nous pouvons donc utiliser l'identité cos carré 𝑥 plus sin carré 𝑥 égale à un pour trouver que la dérivée de trois cot de quatre 𝑥 est égale à moins 12 sur sinus au carré de quatre 𝑥. Il y a une autre identité que nous pouvons utiliser. Nous savons que un sur sin 𝑥 est égale à cosec de 𝑥. Et nous pouvons écrire moins 12 sur sin au carré de quatre 𝑥 comme étant moins 12 cosec au carré de quatre 𝑥. d𝑦 sur d𝑥 est la somme de ces deux résultats. Donc cela équivaut à 12 sin quatre 𝑥 moins 12 cosec au carré de quatre 𝑥.

Dans cet exemple, nous avons démontré un résultat qui pourrait être généralisé. Nous avons vu que la dérivée de trois cot de quatre 𝑥 était moins 12 cosec au carré de quatre 𝑥. De la même manière, on peut généraliser le résultat pour la dérivée de cot 𝑎𝑥. C’est moins 𝑎 cosec au carré de 𝑎𝑥. Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment déterminer la dérivée de la fonction cosécante, avant d’envisager comment nos résultats généralisés peuvent nous aider à trouver les dérivées de fonctions plus compliquées.

Sachant que 𝑦 égale moins 13 cosec de 𝜋 plus cinq 𝑥, trouvez d𝑦 sur d𝑥.

Pour trouver la dérivée de la fonction cosécante, nous allons commencer par rappeler sa définition. Nous savons que cosec de 𝑥 est égale à un sur sin 𝑥. Cela signifie qu’il existe plusieurs méthodes qui nous permettent de déterminer la dérivée de notre 𝑦. Nous pourrions utiliser la formule d’addition trigonométrique. Nous pourrions dériver cosec de cinq 𝑥, puis considérer la transformation qui associe cosec de cinq 𝑥 avec moins 13 cosec de 𝜋 plus cinq 𝑥. Ou bien, nous pourrions utiliser la règle de dérivation en chaîne. Celle-ci dit que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et que 𝑢 est elle-même une fonction de 𝑥, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Considérons 𝑦 égale moins 13 sur sin 𝑢, où 𝑢 égale 𝜋 plus cinq 𝑥. d𝑢 sur d𝑥 vaut simplement cinq. Mais nous allons devoir utiliser la règle du quotient pour déterminer d𝑦 sur d𝑢.

Nous dérivons 𝑦 par rapport à 𝑢. Je vais donc redéfinir la règle du quotient en utilisant les fonctions 𝑝 et 𝑞 en fonction de 𝑢. Et nous voyons que la dérivée de 𝑝 sur 𝑞 par rapport à 𝑢 est égale à 𝑞 fois d𝑝 sur d𝑢 moins 𝑝 fois d𝑞 sur d𝑢 sur 𝑞 au carré. Cela signifie que, dans notre cas, on pose 𝑝 égal à moins 13 et 𝑞 égal à sin 𝑢. La dérivée de 𝑝 par rapport à 𝑢 est simplement zéro. Et nous savons que la dérivée de sin 𝑢 par rapport à 𝑢 est cos 𝑢. Donc, la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 est sin 𝑢 fois zéro moins 13 fois cos 𝑢 sur sin carré 𝑢, ce qui se simplifie en 13 cos 𝑢 sur sin au carré 𝑢. Je vais écrire ceci comme 13 cos 𝑢 sur sin 𝑢 fois un sur sin 𝑢. Et cela signifie que d𝑦 sur d𝑢 peut également être écrite sous la forme 13 cot 𝑢 cosec 𝑢.

Remplaçons tout ce que nous avons dans la formule de la règle de dérivation en chaîne. C’est 13 cot 𝑢 cosec 𝑢 fois cinq ou 65 cot 𝑢 cosec 𝑢. Nous remplaçons 𝑢 par 𝜋 plus cinq 𝑥. Et nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 égale 65 cot de 𝜋 plus cinq 𝑥 fois cosec de 𝜋 plus cinq 𝑥.

Les exemples que nous avons vus jusqu’à présent donnent les résultats suivants pour les dérivées des fonctions trigonométriques inverses cotangente, sécante et cosécante. Il est utile de les garder en mémoire. Mais il faut aussi être conscient de leur dérivation et être prêt à l'appliquer si nécessaire. Nous allons maintenant voir comment ces résultats peuvent nous aider à trouver la dérivée de fonctions plus compliquées.

Sachant que 𝑦 égale 𝑥 plus trois fois neuf 𝑥 plus cosec 𝑥, déterminez d𝑦 sur d𝑥.

Ici, nous avons une expression qui est le produit de deux fonctions. Nous allons donc utiliser la règle du produit pour calculer d𝑦 sur d𝑥. Celle-ci dit que la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Posons donc 𝑢 égal à 𝑥 plus trois et 𝑣 égal à neuf 𝑥 plus cosec 𝑥. La dérivée de 𝑥 plus trois est simplement un. Mais qu'en est-il de d𝑣 sur d𝑥 ? Eh bien, nous savons que la dérivée de neuf 𝑥 est neuf. Et la dérivée de cosec 𝑥 est moins cosec 𝑥 cot 𝑥. Donc, d𝑣 sur d𝑥 est égale à neuf moins cosec 𝑥 cot 𝑥. Remplaçons ce que nous avons dans la formule de la règle du produit. Nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 est égale à 𝑥 plus trois fois neuf moins cosec 𝑥 cot 𝑥 plus neuf 𝑥 plus cosec 𝑥 fois un. Nous distribuons nos parenthèses puis nous regroupons les termes similaires. Et nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 égale 18𝑥 moins 𝑥 plus trois fois cosec 𝑥 cot 𝑥 plus cosec 𝑥 plus 27.

Si 𝑦 égale moins neuf tan huit 𝑥 sec huit 𝑥, calculez d𝑦 sur d𝑥.

Nous avons ici une fonction qui est elle-même le produit de deux fonctions dérivables. Nous allons donc utiliser la règle du produit. Celle-ci dit que la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous allons donc considérer 𝑢 égale moins neuf tan huit 𝑥, et 𝑣 égale sec huit 𝑥. Nous citons ensuite le résultat général de la dérivée de tan 𝑎𝑥 qui est 𝑎 sec au carré 𝑎𝑥. Et cela signifie que la dérivée de moins neuf tan huit 𝑥 est égale à moins neuf fois huit sec au carré huit 𝑥, ce qui donne 72 sec au carré huit 𝑥.

Nous citons également le résultat général pour la dérivée de sec 𝑎𝑥. C'est 𝑎 sec 𝑎𝑥 fois tan 𝑎𝑥, ce qui signifie que d𝑣 sur d𝑥 vaut huit sec huit 𝑥 fois tan huit 𝑥. Nous pouvons maintenant substituer tout ce que nous savons dans la formule de la règle du produit. C’est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥, ce qui donne moins 72 tan au carré huit sec huit 𝑥 moins 72 sec au cube huit 𝑥.

Nous allons voir une dernière illustration de l’utilisation des résultats des dérivées des fonctions trigonométriques inverses.

Sachant que 𝑦 égale sept cot cinq 𝑥 plus trois cosec six 𝑥 à la puissance moins un, déterminez d𝑦 sur d𝑥.

Dans cet exemple, nous avons une fonction inverse. Nous pourrions l’écrire sous la forme d’une fraction et appliquer la règle du quotient. Alternativement, nous pourrions utiliser la règle de dérivation en chaîne. Voyons comment nous pourrions utiliser la règle de dérivation en chaîne. Celle-ci dit que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et que 𝑢 est elle-même une fonction de 𝑥, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous poserons 𝑢 égale sept cot cinq 𝑥 plus trois cosec six 𝑥. Cela signifie que 𝑦 égale 𝑢 à la puissance moins un. La dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 est assez simple. C’est moins un fois 𝑢 à la puissance moins deux. Ensuite, nous citons la dérivée de cot 𝑎𝑥 qui est moins 𝑎 cosec au carré 𝑎𝑥, et la dérivée de cosec 𝑎𝑥 qui est moins 𝑎 cosec 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥. Nous voyons donc que d𝑢 sur d𝑥 est égale à moins 35 cosec au carré cinq 𝑥 moins 18 cosec six 𝑥 cot six 𝑥.

La dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est le produit de ces deux-là. Et nous rappelons que nous pouvons écrire moins 𝑢 à la puissance moins deux comme étant un sur moins 𝑢 au carré. Nous divisons ensuite par moins un et remplaçons 𝑢 par sept cot cinq 𝑥 plus trois cosec six 𝑥. Et nous avons obtenu que d𝑦 sur d𝑥 égale 35 cosec au carré cinq 𝑥 plus 18 cosec six 𝑥 cot six 𝑥 sur sept cot cinq 𝑥 plus trois cosec six 𝑥 le tout au carré.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser la règle du quotient pour déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques inverses, cot 𝑥, sec 𝑥 et cosec 𝑥. Nous avons vu que la dérivée de cot 𝑎𝑥 plus 𝑏 est moins 𝑎 cosec carré 𝑎𝑥 plus 𝑏. Nous avons appris que la dérivée de sec 𝑎𝑥 plus 𝑏 est 𝑎 sec 𝑎𝑥 plus 𝑏 fois tan 𝑎𝑥 plus 𝑏. Et la dérivée de cosec 𝑎𝑥 plus 𝑏 est moins 𝑎 cosec 𝑎𝑥 plus 𝑏 fois cot 𝑎𝑥 plus 𝑏. Et nous avons vu comment nous pouvons utiliser ces résultats classiques en combinaison avec les formules de dérivation pour déterminer les dérivées d’un grand nombre de fonctions.

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