Vidéo : Les formules de dérivation des fonctions trigonométriques réciproques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques, en mettant l’accent sur les fonctions cotangente, sécante et cosécante.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à déterminer la dérivée des fonctions trigonométriques, en mettant l’accent sur les fonctions cotangente, sécante et cosécante. Nous commencerons par récapituler les règles dont nous avons besoin pour déterminer ces dérivées avant de compléter la dérivation, puis nous verrons comment ces résultats standard peuvent nous aider à déterminer les dérivées de fonctions plus compliquées.

Commençons par récapituler la dérivée des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente. La dérivée de sin de 𝑎𝑥 est 𝑎 cos de 𝑎𝑥. La dérivée de cos 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sin 𝑎𝑥. Et la dérivée de tan 𝑎𝑥 est 𝑎 sec au carré 𝑎𝑥. Nous allons également devoir utiliser la règle de produit. Et ceci si nous avons deux fonctions dérivables, 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur produit, 𝑢 fois 𝑣, est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. De même, nous utiliserons la règle du quotient. Et cette fois, nous déterminons la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables, 𝑢 et 𝑣, en déterminant 𝑣 fois d𝑢 par d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Nous ferons référence à chacun de ces éléments tout au long de la vidéo. Allons donc voir le premier exemple.

Si 𝑦 égale moins deux sec de deux 𝑥, alors déterminez le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 égale 11𝜋 sur six.

Rappelez-vous que lorsque nous trouvons le taux de variation de quelque chose, c’est la dérivée qui nous intéresse. Nous allons donc déterminer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 et l’évaluer au point où 𝑥 égale 11𝜋 sur six. Alors, comment dérivons-nous cette fonction ? Eh bien, nous commençons par utiliser la définition de la fonction sécante. Nous savons que sec 𝑥 égale un sur cos 𝑥. Et nous pouvons écrire 𝑦 comme étant égale à moins deux sur cos de deux 𝑥. Et puis, il y a plusieurs choses que nous pourrions faire. Nous pourrions réécrire ceci sous la forme de moins deux fois cos deux 𝑥 à la puissance moins un, et appliquer la règle de dérivation en chaîne. Ou puisque ceci est écrit sous la forme d’une fraction, nous pouvons appliquer la règle du quotient. Rappelez-vous, cela signifie que si 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables, la dérivée de ce quotient est 𝑣 fois d𝑢 par d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Le numérateur de notre fraction est moins deux. Donc, on considère 𝑢 égale moins deux. Et ainsi 𝑣 égale cos de deux 𝑥.

Pour utiliser la règle du quotient, nous devrons déterminer la dérivée de chacune de celle-ci. La dérivée d’une constante est zéro. Donc, d𝑢 par d𝑥 égale zéro. Et ensuite, nous citons un résultat standard pour la dérivée de cos de 𝑎𝑥. Et nous voyons que d𝑣 par d𝑥 est égale moins deux fois sin deux 𝑥. Nous pouvons substituer tout ce que nous connaissons dans la formule de la règle du quotient. Et nous voyons que d𝑦 par d𝑥 égale cos de deux 𝑥 fois zéro moins moins deux fois moins deux sin de deux 𝑥 le tout sur cos deux 𝑥 au carré. Cela est simplifié en moins quatre sin de deux 𝑥 sur cos au carré deux 𝑥. Maintenant, nous pouvons séparer ceci et l’écrire sous la forme de moins quatre sin deux 𝑥 sur cos deux 𝑥 fois un sur cos deux 𝑥. Et nous rappelons l’identité sin 𝑥 sur cos 𝑥 est égale à tan 𝑥. Et nous trouvons que nous avons le résultat général pour la dérivée de la fonction sécante.

Rappelez-vous cependant que nous cherchions à déterminer le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 égale 11𝜋 sur six. Donc, en fait, nous allons substituer 𝑥 égale 11𝜋 sur six dans notre expression pour la dérivée. Et nous ferions mieux de la laisser ici en fonction de sinus et de cosinus. Nous substituons 𝑥 égale 11𝜋 sur six. Et nous obtenons moins quatre sin de deux fois 11𝜋 sur six sur cos au carré de deux fois 11𝜋 sur six, ce qui donne huit racines de trois. Le taux de variation de 𝑦 lorsque 𝑥 égale 11𝜋 sur six est huit racines trois.

Et cet exemple a démontré un résultat général. Nous constatons que la dérivée de sec 𝑎𝑥 est égale à 𝑎 sec de 𝑎𝑥 fois tan de 𝑎𝑥. Nous allons maintenant faire un processus similaire pour nous aider à déterminer la dérivée de la fonction cotangente.

Déterminez d𝑦 par d𝑥 sachant que 𝑦 égale moins trois cos de quatre 𝑥 plus trois cot de quatre 𝑥.

Pour trouver la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, on peut dériver séparément moins trois cos de quatre 𝑥 et trois cot de quatre 𝑥. Nous savons que la dérivée de cos de 𝑎𝑥 est moins 𝑎 sin de 𝑎𝑥. Nous voyons donc que la dérivée de moins trois cos de quatre 𝑥 est moins trois fois moins quatre sin de quatre 𝑥, ce qui est tout simplement 12 sin quatre 𝑥. Mais qu’en est-il de la dérivée de trois cot de quatre 𝑥 ? Eh bien, cot de 𝑥 équivaut à un sur tan 𝑥. Et tan 𝑥 égale sin 𝑥 sur cos de 𝑥. On peut donc dire que cot de quatre 𝑥 serait égale à un sur tan de quatre 𝑥 ou un sur sin de quatre 𝑥 sur cos de quatre 𝑥. Et nous obtenons que trois cot de quatre 𝑥 est donc trois sur sin de quatre 𝑥 sur cos de quatre 𝑥, ce qui peut bien sûr être écrit comme trois cos de quatre 𝑥 sur sin de quatre 𝑥.

Donc, nous devons en fait dériver trois cos de quatre 𝑥 sur sin de quatre 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous allons utiliser la règle du quotient pour la dériver. Soit 𝑢 égale trois cos de quatre 𝑥. Et 𝑣 égale sin de quatre 𝑥. Nous savons que la dérivée de cos de quatre 𝑥 est moins quatre sin de quatre 𝑥. Donc, d𝑢 par d𝑥 est moins 12 sin sur quatre 𝑥. Nous pouvons également utiliser le résultat général pour la dérivée de la fonction sinus. Et nous obtenons d𝑣 par d𝑥 qui est égale à quatre cos de quatre 𝑥. Nous pouvons maintenant substituer tout ce que nous connaissons de notre fonction dans la dérivée. Et nous nous retrouvons avec sin de quatre 𝑥 fois moins 12 sin de quatre 𝑥 moins trois cos de quatre 𝑥 fois quatre cos de quatre 𝑥 le tout sur sin au carré quatre 𝑥. Cela se simplifie en moins 12 sin au carré de quatre 𝑥 moins 12 cos au carré de quatre 𝑥 sur sin au carré quatre 𝑥.

Mais si nous factorisons moins 12, nous voyons que le numérateur de cette fraction est le même que moins 12 fois sinus au carré quatre 𝑥 plus cos au carré quatre 𝑥. Et nous pouvons donc utiliser l’identité cos au carré 𝑥 plus sin au carré 𝑥 égale un pour trouver que la dérivée de trois cot de quatre 𝑥 est moins 12 sur sinus au carré de quatre 𝑥. Il y a une autre identité que nous pouvons utiliser. Nous savons que un sur sin 𝑥 est égale à cosec de 𝑥. Et nous pouvons écrire moins 12 sur sin au carré de quatre 𝑥 en tant que moins 12 cosec au carré de quatre 𝑥. d𝑦 par d𝑥 est la somme de ces deux résultats. Donc cela équivaut à 12 sin de quatre 𝑥 moins 12 cosec au carré de quatre 𝑥.

Dans cet exemple, nous avons démontré un résultat qui pourrait être généralisé. Nous avons vu que la dérivée de trois cot de quatre 𝑥 était moins 12 cosec au carré de quatre 𝑥. De la même manière, on peut généraliser le résultat pour la dérivée de cot 𝑎𝑥. C’est moins 𝑎 cosec au carré de 𝑎𝑥. Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment déterminer la dérivée de la fonction cosécante, avant d’envisager comment nos résultats généralisés peuvent nous aider à trouver les dérivées de fonctions plus compliquées.

Sachant que 𝑦 égale moins 13 cosec de 𝜋 plus cinq 𝑥, trouvez d𝑦 par d𝑥.

Pour trouver la dérivée de la fonction cosécante, nous allons commencer par rappeler sa définition. Nous savons que cosec de 𝑥 est égale à un sur sin de 𝑥. Cela signifie qu’il existe plusieurs méthodes qui nous permettent de déterminer la dérivée de notre 𝑦. Nous pourrions utiliser la formule trigonométrique de la somme. Nous pourrions dériver cosec de cinq 𝑥, puis considérer la transformation qui mappe cosec de cinq 𝑥 avec moins 13 cosec de 𝜋 plus cinq 𝑥. Ou bien, nous pourrions utiliser la règle de la dérivation en chaîne. Celle-ci dit que si 𝑦 est une fonction dans 𝑢 et que 𝑢 est elle-même une fonction dans 𝑥, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à d𝑦 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. Considérons 𝑦 égale moins 13 sur sin 𝑢, où 𝑢 égale 𝜋 plus cinq 𝑥. d𝑢 par d𝑥 est simplement cinq. Mais nous allons devoir utiliser la règle du quotient pour déterminer d𝑦 par d𝑢.

Nous dérivons 𝑦 par rapport à 𝑢. Je vais donc redéfinir la règle du quotient en utilisant les fonctions 𝑝 et 𝑞 en fonction de 𝑢. Et nous voyons que la dérivée de 𝑝 sur 𝑞 par rapport à 𝑢 est égale à 𝑞 fois d𝑝 par d𝑢 moins 𝑝 fois d𝑞 par d𝑢 sur 𝑞 au carré. Cela signifie que, dans notre cas, on pose 𝑝 égale moins 13 et 𝑞 égale sin 𝑢. La dérivée de 𝑝 par rapport à 𝑢 est juste zéro. Et nous savons que la dérivée de sin 𝑢 par rapport à 𝑢 est cos 𝑢. Donc, la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 est sin 𝑢 fois zéro moins 13 fois cos 𝑢 sur sin au carré 𝑢, ce qui simplifie à 13 cos 𝑢 sur sin au carré 𝑢. Je vais écrire ceci comme 13 cos 𝑢 sur sin 𝑢 fois un sur sin 𝑢. Et cela signifie que d𝑦 par d𝑢 peut également être écrite comme 13 cot 𝑢 cosec 𝑢.

Remplaçons tout ce que nous avons dans la formule de la règle de dérivation en chaîne. C’est 13 cot 𝑢 cosec 𝑢 fois cinq ou 65 cot 𝑢 cosec 𝑢. Nous remplaçons 𝑢 par 𝜋 plus cinq 𝑥. Et nous obtenons que d𝑦 par d𝑥 égale 65 cot de 𝜋 plus cinq 𝑥 fois cosec de 𝜋 plus cinq 𝑥.

Les exemples que nous avons vus jusqu’à présent donnent les résultats suivants pour les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques cotangente, sécante et cosécante. Il est utile de les mémoriser. Mais tenez-les en compte et soyez prêt à appliquer leur dérivation lorsque ça sera nécessaire. Nous allons maintenant voir comment ces résultats peuvent nous aider à trouver la dérivée de fonctions plus compliquées.

Sachant que 𝑦 égale 𝑥 plus trois fois neuf 𝑥 plus cosec 𝑥, trouvez d𝑦 par d𝑥.

Ici, nous avons une expression qui est le produit de deux fonctions. Nous allons donc utiliser la règle du produit pour calculer d𝑦 par d𝑥. Celle-ci dit que la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 par d𝑥. Posons donc 𝑢 égale 𝑥 plus trois et 𝑣 égale neuf 𝑥 plus cosec 𝑥. La dérivée de 𝑥 plus trois est simplement un. Mais qu’en est-il de d𝑣 par d𝑥? Eh bien, nous savons que le dérivé de neuf 𝑥 est neuf. Et la dérivée de cosec 𝑥 est moins cosec 𝑥 cot 𝑥. Donc, d𝑣 par d𝑥 est égale à neuf moins cosec 𝑥 cot 𝑥. Remplaçons ce que nous avons dans la formule de la règle de produit. Nous voyons que d𝑦 par d𝑥 est égale à 𝑥 plus trois fois neuf moins cosec 𝑥 cot 𝑥 plus neuf 𝑥 plus cosec 𝑥 foisun. Nous distribuons nos parenthèses puis nous regroupons les termes semblables. Et nous voyons que d𝑦 par d𝑥 est 18𝑥 moins 𝑥 plus trois fois cosec 𝑥 cot 𝑥 plus cosec 𝑥 plus 27.

Si 𝑦 égale moins neuf tan huit 𝑥 sec huit 𝑥, trouvez d𝑦 par d𝑥.

Nous avons ici une fonction qui est elle-même le produit de deux fonctions dérivables. Nous allons donc utiliser la règle du produit. Celle-ci dit que la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 par d𝑥. Nous allons donc considérer 𝑢 égale moins neuf tan huit 𝑥, et 𝑣 égale sec huit 𝑥. Nous citons ensuite le résultat général de la dérivée de tan 𝑎𝑥 est 𝑎 sec au carré 𝑎𝑥. Et cela signifie que la dérivée de moins neuf tan huit 𝑥 est moins neuf fois huit sec au carré huit 𝑥, ce qui donne 72 sec au carré huit 𝑥.

Nous citons également le résultat général pour la dérivée de sec 𝑎𝑥. C’est 𝑎 sec 𝑎𝑥 fois tan 𝑎𝑥, ce qui signifie que d𝑣 par d𝑥 vaut huit sec huit 𝑥 fois tan huit 𝑥. Nous pouvons maintenant substituer tout ce que nous savons dans la formule de la règle du produit. C’est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 par d𝑥, ce qui donne moins 72 tan au carré huit sec huit 𝑥 moins 72 sec au cube huit 𝑥.

Nous allons voir une dernière démonstration de l’utilisation des résultats des dérivés des fonctions trigonométriques réciproques.

Sachant que 𝑦 égale sept cot cinq 𝑥 plus trois cosec six 𝑥 à la puissance moins un, trouvez d𝑦 par d𝑥.

Dans cet exemple, nous avons une fonction réciproque. Nous pourrions écrire ceci comme une fraction et appliquer la règle du quotient. Alternativement, nous pourrions utiliser la règle de dérivation en chaîne. Voyons comment nous pourrions utiliser la règle de dérivation en chaîne. Celle-ci dit que si 𝑦 est une fonction dans 𝑢 et que 𝑢 est elle-même une fonction en 𝑥, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est d𝑦 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. Nous poserons 𝑢 égale sept cot de cinq 𝑥 plus trois cosec six 𝑥. Cela signifie que 𝑦 égale 𝑢 à la puissance moins un. La dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑢 est assez simple. C’est moins un fois 𝑢 à la puissance moins deux. Ensuite, nous citons la dérivée de cot 𝑎𝑥 comme moins 𝑎 cosec au carré 𝑎𝑥, et la dérivée de cosec 𝑎𝑥 comme moins 𝑎 cosec 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥. Nous voyons donc que d𝑢 par d𝑥 est égale à moins 35 cosec au carré cinq 𝑥 moins 18 cosec six 𝑥 cot six 𝑥.

La dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est le produit de ces deux. Et nous rappelons que nous pouvons écrire moins 𝑢 à la puissance moins deux comme un sur moins 𝑢 au carré. Nous divisons ensuite par moins un et remplaçons 𝑢 par sept cot cinq 𝑥 plus trois cosec six 𝑥. Et nous avons obtenu que d𝑦 par d𝑥 égale 35 cosec au carré cinq 𝑥 plus 18 cosec six 𝑥 cot six 𝑥 sur sept cot cinq 𝑥 plus trois cosec six 𝑥 le tout au carré.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser la règle du quotient pour déterminer les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques, cot de 𝑥, sec de 𝑥 et cosec de 𝑥. Nous avons vu que la dérivée de cot de 𝑎𝑥 plus 𝑏 est moins 𝑎 cosec au carré 𝑎𝑥 plus 𝑏. Nous avons appris que la dérivée de sec de 𝑎𝑥 plus 𝑏 est 𝑎 sec de 𝑎𝑥 plus 𝑏 fois tan de 𝑎𝑥 plus 𝑏. Et la dérivée de cosec de 𝑎𝑥 plus 𝑏 est moins 𝑎 cosec 𝑎𝑥 plus 𝑏 fois cot de 𝑎𝑥 plus 𝑏. Et nous avons vu comment nous pouvons utiliser ces résultats standard en conjonction avec les formules de dérivation pour trouver les dérivées d’un grand nombre de fonctions.

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