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Vidéo de question : Calcul de l’inverse d’une matrice triangulaire supérieure Mathématiques

Considérons la matrice 𝐴 = [1, 2, 3, 0, 1, 4, 0, 0, 1]. Déterminez son inverse, sachant qu’elle est de la forme 𝐴⁻¹ = [1, 𝑝, 𝑞, 0, 1, 𝑟, 0, 0, 1], où 𝑝, 𝑞 et 𝑟 sont des nombres que vous devez déterminer.

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Transcription de vidéo

Considérons la matrice 𝐴 égale à un, deux, trois, zéro, un, quatre, zéro, zéro, un. Déterminez son inverse, sachant qu’elle est de la forme un, 𝑝, 𝑞, zéro, un, 𝑟, zéro, zéro, un, où 𝑝, 𝑞 et 𝑟 sont des nombres que vous devez déterminer.

Alors, la première chose que nous remarquons à propos de cette matrice 𝐴 est qu’il s’agit d’une matrice triangulaire supérieure. Nous le voyons au fait que les éléments en bas à gauche sont tous les trois égaux à zéro. Ainsi, les éléments non nuls forment un triangle en haut à droite. Or, nous savons que l’inverse d’une matrice triangulaire supérieure est également une matrice triangulaire supérieure. Si nous examinons la forme de la matrice inverse, nous voyons que c’est bien le cas, car les trois éléments en bas à gauche sont nuls.

Nous verrons, en calculant l’inverse, que beaucoup d’étapes seront simplifiées en raison de la forme particulière de cette matrice. Nous verrons cela au fur et à mesure. Ainsi, pour calculer l’inverse, la première étape est de trouver la matrice des mineurs. La deuxième étape est ensuite de trouver la comatrice. Ensuite, la troisième étape consiste à trouver la transposée de la comatrice. Enfin, la quatrième étape consiste à la multiplier par un sur le déterminant de la matrice initiale. Très bien. Réalisons donc chacune de ces étapes. Comme je l’ai déjà dit, certaines d’entre elles seront simplifiées puisqu’on a affaire à une matrice triangulaire supérieure.

Alors, la matrice des mineurs est cette matrice-là. Rappelons comment se calcule la matrice des mineurs ; regardons le premier élément. Alors, dans la matrice initiale, le premier élément est un. Ensuite, nous allons supprimer tous les éléments de la même colonne et de la même ligne. Il nous reste donc une sous-matrice de dimension deux : un, quatre, zéro, un. Nous allons trouver la mineur. La mineur est donc le déterminant de cette matrice de dimension deux.

Maintenant, rappelons brièvement comment calculer le déterminant d’une matrice de dimension deux. Alors, si nous calculons le déterminant de la matrice de dimension deux deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, il est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous prenons donc les produits des diagonales puis nous les soustrayons. L’étape suivante est de calculer tous ces déterminants, ce qui nous donne les mineurs. Seulement, nous pouvons déjà écrire trois valeurs et ce parce que nous avons affaire à une matrice triangulaire supérieure. Ces trois valeurs sont zéro, zéro et zéro, et elles se trouvent en haut à droite de la matrice. Nous le savons parce que, sans même avoir à calculer les mineurs, nous voyons déjà que les deux diagonales des mineurs ont un zéro. Ainsi, zéro multiplié par quelque chose est égal à zéro. Les résultats sont donc simplement zéro.

Il est utile de remarquer que lorsque nous examinons la matrice des mineurs d’une matrice triangulaire supérieure, nous avons toujours ces trois zéros dans ces positions-là, qui sont opposées à leur position dans la matrice elle-même. Ensuite, si nous cherchons le premier élément, nous avons un multiplié par un, qui vaut un, moins quatre multiplié par zéro qui vaut zéro, ce qui donne simplement un. Puis, si nous regardons l’élément en-dessous, nous avons deux multiplié par un moins trois multiplié par zéro, ce qui donne deux. Ensuite, nous continuons cette méthode jusqu’à remplir le reste de la matrice. Ainsi, la matrice des mineurs est un, zéro, zéro, deux, un, zéro, cinq, quatre, un. La première étape est donc terminée.

Passons maintenant à la deuxième étape qui est de trouver la comatrice. Alors, ceci très facile parce qu’il suffit d’appliquer la règle des signes pour la trouver. La règle des signes pour la comatrice indique quels sont les signes de chaque élément. Ainsi, nous mettons simplement ces signes devant les éléments de la matrice des mineurs. Nous obtenons alors la comatrice. Soit un, zéro, zéro, moins deux, un, zéro, cinq, moins quatre, un. Très bien. La deuxième étape est terminée.

Passons maintenant à la troisième étape. Trouvons la transposée de la comatrice. Pour trouver la transposée, il suffit d’échanger les éléments par rapport à la diagonale qui va du haut à gauche en bas à droite. Ainsi, en faisant cela, nous obtenons la transposée de la comatrice. Nous obtenons donc la matrice un, moins deux, cinq, zéro, un, moins quatre, zéro, zéro, un. Nous voyons qu’il s’agit en effet d’une matrice triangulaire supérieure. Nous sommes donc sur le point d’obtenir l’inverse parce que nous avions déjà établi que l’inverse était une matrice triangulaire supérieure.

Maintenant, passons à la quatrième étape. Soit la dernière étape. Il suffit de multiplier cette matrice par un sur le déterminant de la matrice initiale. Alors, si nous cherchons le déterminant d’une matrice de dimension trois trois et si nous avons la matrice 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, le déterminant est égal à 𝑎 multiplié par le déterminant de la sous-matrice de dimension deux deux 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 moins 𝑏 multiplié par le déterminant de la sous-matrice de dimension deux deux 𝑑, 𝑓, 𝑔, 𝑖 plus 𝑐 multiplié par le déterminant de 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ. Il s’agit en général d’un long calcul. Seulement, puisque nous avons déjà trouvé la matrice des mineurs, cela veut dire que nous avons déjà calculé les déterminants des sous-matrices de dimension deux deux.

Pour trouver le déterminant, il va donc falloir multiplier, dans la première ligne, chacun des termes par les termes correspondants dans la première ligne de la matrice des mineurs. Ici, le calcul est encore plus rapide que cela car nous avons affaire à une matrice triangulaire supérieure. En effet, le déterminant est simplement un multiplié par un. Nous n’avons même pas besoin de déterminer les deux valeurs suivantes, car comme nous pouvons le voir, les deux valeurs suivantes dans la ligne supérieure de la matrice des mineurs sont des zéros. Nous voyons donc que le déterminant est simplement égal à un.

Or, si le déterminant est égal à un, l’étape quatre devient plutôt facile car l’inverse est égal à un multiplié par la transposée de la comatrice, donc un multiplié par la matrice un, moins deux, cinq, zéro, un, moins quatre, zéro, zéro, un.

Ainsi, nous en concluons que l’inverse de la matrice un, deux, trois, zéro, un, quatre, zéro, zéro, un, sous forme de la matrice un, 𝑝, 𝑞, zéro, un, 𝑟, zéro, zéro, un est la matrice un, moins deux, cinq, zéro, un, moins quatre, zéro, zéro, un, où 𝑝, 𝑞 et 𝑟 valent respectivement moins deux, cinq et moins quatre.

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