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Vidéo de question : Dériver des fonctions polynômes données sous forme factorisée Mathématiques

Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction définie par 𝑦 = (𝑥² + 9) (8𝑥 + 3).

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Transcription de vidéo

Déterminez l’expression de la dérivée de la fonction définie par 𝑦 égale 𝑥 au carré plus neuf, multiplié par huit 𝑥 plus trois.

Il y a plusieurs façons d’aborder cette question. Par exemple, nous pourrions distribuer les parenthèses pour donner 𝑦 en tant que fonction polynôme en 𝑥, puis appliquer la règle de dérivation des puissances pour trouver sa dérivée. Au lieu de cela cependant, nous voyons que 𝑦 est un produit de deux polynômes. C’est 𝑥 carré plus neuf multiplié par huit 𝑥 plus trois. Et par conséquent, cette question est une occasion l’utilisation de la règle du produit.

La règle du produit nous dit que pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, où 𝑦 est égal à leur produit, 𝑢𝑣, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, d𝑦 sur d𝑥, est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 que multiplie 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous multiplions chacune des fonctions par la dérivée de l’autre et les additionnons. Nous pouvons donc laisser 𝑢 égal à une de nos fonctions, dans ce cas 𝑥 au carré plus neuf, et 𝑣 égal à l’autre, huit 𝑥 plus trois. Le choix de 𝑢 et 𝑣 est entièrement arbitraire, car la règle du produit est symétrique par rapport à 𝑢 et 𝑣.

Nous devons ensuite trouver chacune de leurs dérivées individuelles, ce que nous pouvons faire en utilisant la règle de dérivation des puissances. Cela nous indique que si nous avons une puissance de 𝑥 et que nous la dérivons par rapport à 𝑥, la réponse est cette puissance multipliée par 𝑥 élevé à la puissance diminuée d’une unité. La dérivée de 𝑥 au carré est donc deux multiplié par 𝑥 à la puissance un, soit deux 𝑥. Et la dérivée de neuf est juste zéro, parce que la dérivée de toute constante est zéro. De la même manière, la dérivée de huit 𝑥 est huit car c’est huit fois 𝑥 à la puissance zéro. Et, 𝑥 à la puissance zéro est un. Et la dérivée de trois, une constante, est nulle. Donc, nous avons d𝑢 sur d𝑥 égale deux 𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 égale huit.

Pour trouver d𝑦 sur d𝑥, nous devons remplacer 𝑢, 𝑣 et leurs dérivées dans la formule de la règle du produit. Nous avons 𝑢, soit 𝑥 au carré plus neuf, multiplié par d𝑣 sur d𝑥, qui vaut huit, plus 𝑣, c’est -à-dire huit 𝑥 plus trois, multiplié par d𝑢 sur d𝑥, qui fait deux 𝑥. Nous pouvons ensuite distribuer chaque ensemble de parenthèses pour donner huit 𝑥 au carré plus 72 plus 16𝑥 au carré plus six 𝑥. Et enfin, regrouper les termes similaires, c’est-à-dire huit 𝑥 au carré et 16 𝑥 au carré, pour donner 24𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 72.

En appliquant alors la règle du produit, nous avons constaté que si 𝑦 est le produit des deux fonctions dérivables, 𝑥 au carré plus neuf et huit 𝑥 plus trois. Alors sa dérivée première, d𝑦 sur d𝑥, est égale à 24𝑥 au carré plus six 𝑥 plus 72.

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