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Vidéo de la leçon : Équations de droites parallèles et perpendiculaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à écrire l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre droite.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à écrire l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre droite. Nous étudierons des cas où nous connaissons déjà la pente. Et nous allons également examiner des cas où deux points sont donnés et nous devons déterminer la pente de cette droite avant de trouver la pente d’une droite parallèle ou perpendiculaire.

Mais d’abord, rappelons quelques notions sur les droites. L’une des formes courantes de l’équation d’une droite est 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Nous l’appelons la forme réduite. Sous cette forme, le coefficient de 𝑥 — la variable 𝑚 — est la pente. Et 𝑏 correspond à l’ordonnée à l’origine 𝑦, le point où cette droite coupe l’axe des 𝑦. Comme nous l’avons dit au début de la vidéo, nous voulons considérer les droites parallèles et les droites perpendiculaires.

Nous savons que les droites parallèles ne se coupent jamais ; elles ne se croisent jamais. Nous représentons généralement ce parallélisme avec un petit triangle sur chaque droite. Et parfois, lorsqu’il y a plus d’une paire de droites parallèles, vous pouvez les voir notées avec plusieurs paires de petits triangles. Dans ce cas, les droites parallèles seront la paire avec les symboles correspondants. On montre ici deux paires de droites parallèles.

Il convient également de noter que vous pourriez voir ce symbole de deux barres parallèles utilisé pour représenter des droites parallèles. Ici, la droite 𝐴𝐵 est parallèle à la droite 𝐶𝐷. Mais la chose la plus importante à retenir sur les droites parallèles est qu’elles ont la même pente. Si on observe les équations des droites données sous forme réduite, on constate alors qu’elles ont la même valeur de la variable 𝑚 pour le coefficient de 𝑥, donc elles seront parallèles.

Maintenant, considérons les droites perpendiculaires. Les droites perpendiculaires se coupent en formant un angle de 90 degrés. Et cela est souvent noté avec le symbole de l’angle droit. Maintenant, l’ensemble des droites perpendiculaires que j’ai tracées ici sont horizontales et verticales. Mais ce n’est pas toujours le cas. Des droites perpendiculaires peuvent être dans n’importe quelle orientation. Et quand il s’agit de droites perpendiculaires, la pente de l’une est égale à l’opposé de l’inverse de la pente de l’autre. Ainsi, les droites parallèles ont la même pente ; leurs valeurs de 𝑚 sont les mêmes. Et pour les droites perpendiculaires, si l’une des droites a une pente de 𝑚, l’autre droite aura l’opposé de son inverse, qui est moins un sur 𝑚. Il convient également de noter ici qu’il existe des droites qui se coupent mais qui ne sont ni parallèles ni perpendiculaires. Les droites qui se coupent en formant un angle autre qu’un angle droit ne rentrent pas dans la catégorie des droites parallèles ou perpendiculaires.

Utilisons ces informations pour commencer à examiner les équations des droites parallèles et perpendiculaires.

Déterminez si les droites d’équations 𝑦 égale moins un septième 𝑥 moins cinq et 𝑦 égale moins un septième 𝑥 moins un sont parallèles, perpendiculaires, ou ni l’un ni l’autre.

Pour les catégories des droites parallèles, perpendiculaires, ou ni parallèles ni perpendiculaires, nous les classons toujours selon l’intersection des droites. Les droites parallèles ne se coupent pas. Les droites perpendiculaires se coupent à un angle de 90 degrés. La catégorie des droites ni parallèles ni perpendiculaires ici représente toutes les droites qui se coupent mais qui ne forment pas d’angle de 90 degrés. Parallèles, perpendiculaires, ou ni l’un ni l’autre.

Toutefois, on ne nous donne pas de représentation graphique pour ces deux droites. Bien sûr, nous pourrions essayer de tracer les représentations graphiques de ces deux droites. Mais nous pouvons déterminer parallèle, perpendiculaire, ou ni l’un ni l’autre sans représenter graphiquement ces deux équations. Ces deux droites sont données sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Dans les deux cas, le coefficient de 𝑥 — la variable 𝑚 — est moins un septième. La variable 𝑚 représente la pente. Et donc, nous pouvons dire que la pente de la droite un est moins un septième et la pente de la droite deux est moins un septième, ce qui nous rappelle, « les droites parallèles ont la même pente. » C’est pourquoi ils ne se coupent pas. Étant donné que ces deux droites ont une pente de moins un septième, nous pouvons les classer comme des droites parallèles sans représentation graphique.

Dans cet exemple, nous classerons à nouveau les droites. Mais cette fois, on ne nous donne pas les équations des droites. On ne nous donne que deux points qui appartiennent sur chacune des droites.

Étant donné que les coordonnées des points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont moins 15, huit ; moins six, 10 ; moins huit, moins sept ; et moins six, moins 16, respectivement, déterminez si la droite 𝐴𝐵 et la droite 𝐶𝐷 sont parallèles, perpendiculaires, ou ni l’un ni l’autre.

Les points 𝐴 et 𝐵 appartiennent à la droite 𝐴𝐵, et les points 𝐶 et 𝐷 à la droite 𝐶𝐷. Pour classer les droites, il faut se rappeler : les droites parallèles ont la même pente et ne se coupent pas. En cas de droites perpendiculaires, la pente de l’une est l’opposé de l’inverse de la pente de l’autre, et elles se coupent en formant un angle de 90 degrés. Et les droites qui ne sont ni parallèles ni perpendiculaires sont en fait des droites qui se coupent mais qui ne forment pas d’angle droit. Cela signifie que pour déterminer si ces droites sont parallèles ou perpendiculaires, nous devons connaître les pentes de ces droites.

Sous la forme réduite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, le 𝑚 représente le coefficient directeur. Et nous pouvons trouver la pente 𝑚 si nous avons deux points en calculant 𝑚 est égal à 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Afin de classer ces droites, nous devons trouver les pentes de la droite 𝐴𝐵 et de la droite 𝐶𝐷. Nous pouvons commencer par la droite 𝐴𝐵. Soit le point 𝐴 ayant les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux. Ensuite, la pente sera de 10 moins huit sur moins six moins moins 15. On a 10 moins huit qui vaut deux. Moins six moins moins 15 est moins six plus 15, ce qui vaut plus neuf. On peut donc dire que la pente de la droite 𝐴𝐵 est de deux neuvièmes.

Nous répétons cette démarche pour la droite 𝐶𝐷. Soit le point 𝐶 ayant les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐷 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux. Et nous obtiendrons 𝑚 égal à moins 16 moins moins sept sur moins six moins moins huit. Moins 16 moins moins sept est moins 16 plus sept, ce qui donne moins neuf. Moins six moins moins huit est moins six plus huit qui vaut deux. La pente de la droite 𝐶𝐷 est alors moins neuf sur deux.

Si nous comparons ces deux pentes, moins neuf sur deux est l’opposé de l’inverse de deux sur neuf. Et si vous n’êtes pas sûr, vous pouvez les multiplier ensemble. Le produit des inverses est égal à un, et le produit des inverses et opposés est égal à moins un. Cette pente est égale à l’opposé de l’inverse de l’autre, ce qui rend ces droites perpendiculaires.

Voici un autre exemple.

À quel axe la droite d’équation 𝑦 égale trois est-elle parallèle ?

Tout d’abord, nous savons que les droites parallèles ne se coupent pas et qu’elles ont la même pente. Nous avons l’équation 𝑦 égale trois. Si nous pensons à la forme réduite d’une droite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏 et que nous avons 𝑦 égale trois, cela signifie que nous avons une pente de zéro. Alors, si nous traçons les axes des 𝑦 et 𝑥, représenter graphiquement la droite d’équation 𝑦 égale trois ressemblerait à cela. Notons ici que la droite d’équation 𝑦 égale trois coupe l’axe des 𝑦. Et nous savons que c’est vrai parce qu’on a une valeur 𝑏 de trois. Et sous la forme réduite, la constante 𝑏 représente l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des 𝑦.

On peut donc dire que la droite d’équation 𝑦 égale trois n’est pas parallèle à l’axe des 𝑦 car elle coupe l’axe des 𝑦. Mais nous pouvons dire que la droite d’équation 𝑦 égale trois est parallèle à l’axe des 𝑥. L’axe des 𝑥 est la droite où 𝑦 est égal à zéro. La droite d’équation 𝑦 égale trois est parallèle à l’axe des 𝑥.

Dans l’exemple suivant, nous devons trouver l’équation d’une droite si on nous donne un point appartenant à cette droite, puis deux points appartenant à une droite perpendiculaire à cette droite.

Déterminez, sous forme réduite, l’équation de la droite qui passe par 𝐴 : 13, moins sept et qui est perpendiculaire à la droite passant par 𝐵 : huit, moins neuf et 𝐶 : moins huit, 10.

Alors, voici ce que nous pensons. Nous avons les points 𝐵 et 𝐶, qui forment une droite. Le point 𝐴 n’est pas inclus dans cette droite. Mais le point 𝐴 appartient à une droite perpendiculaire à la droite 𝐵𝐶. Et nous essayons de trouver l’équation réduite de la droite qui passe par le point 𝐴. La forme réduite est 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Cela signifie que nous avons besoin de la pente de cette droite et de l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des 𝑦. Mais comme nous ne connaissons pas deux points le long de cette droite, nous devrons trouver la pente d’une manière différente.

Nous nous souvenons que les droites perpendiculaires ont des pentes inverses et opposées l’une de l’autre. Et puisque nous connaissons deux points appartenant à la droite 𝐵𝐶, nous pouvons trouver la pente de la droite 𝐵𝐶. Et la pente de la droite qui inclut le point 𝐴 sera égal à moins un sur la pente de la droite 𝐵𝐶. C’est juste une façon mathématique de dire que ces deux valeurs seront des inverses et opposées l’une de l’autre. Cela signifie que notre première étape consiste à trouver la pente de la droite 𝐵𝐶. Si nous connaissons deux points le long de la droite, nous pouvons trouver leur pente en calculant 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un.

Nous allons supposer que 𝐵 a pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, et 𝐶 𝑥 deux, 𝑦 deux. Et la pente de la droite 𝐵𝐶 sera égal à 10 moins moins neuf sur moins huit moins huit. On a 10 moins moins neuf est égal à 19. Et moins huit moins huit est égal à moins 16. On peut dire que la pente de la droite 𝐵𝐶 vaut 19 sur moins 16. Mais le plus souvent, nous incluons le signe moins dans le numérateur et disons que la pente de la droite 𝐵𝐶 est égal à moins 19 sur 16. La pente de la droite contenant le point 𝐴 est l’opposé de l’inverse de cette valeur.

Pour trouver l’inverse d’une fraction, nous la retournons. L’inverse de moins 19 sur 16 est 16 sur moins 19. Mais nous devons être prudents ici parce que nous avons besoin de l’opposé de l’inverse. Et cela signifie que moins 16 sur moins 19 se simplifie à 16 sur 19. La pente de la droite passant par le point 𝐴 vaut alors 16 sur 19. À ce stade, nous avons la pente de la droite passant par le point 𝐴. Et nous avons un point appartenant à cette droite.

Pour trouver la forme réduite de cette équation, nous pourrions alors utiliser la forme obtenue à l’aide de la pente et d’un point, à savoir 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un, où 𝑥 un, 𝑦 un est un point appartenant à la droite. Le point 𝐴 a pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un. Donc, nous avons 𝑦 moins moins sept égale 16 sur 19 fois 𝑥 moins 13. Moins moins sept égale plus sept. Nous distribuons 16 sur 19 fois 𝑥. Et 16 sur 19 fois moins 13 est égal à moins 208 sur 19.

Puisque nous cherchons l’équation sous forme réduite, nous devons obtenir isoler 𝑦 en soustrayant sept aux deux membres. Moins 208 sur 19 moins sept égale moins 341 sur 19. Cette droite d’équation 𝑦 égale 16 sur 19𝑥 moins 341 sur 19 est perpendiculaire à la droite 𝐵𝐶 et passe par le point 𝐴.

Voici un autre exemple impliquant des droites parallèles.

Les droites d’équations huit 𝑥 plus cinq 𝑦 égale huit et huit 𝑥 plus 𝑎𝑦 égale moins huit sont parallèles. Quelle est la valeur de 𝑎 ?

Nous savons que les droites parallèles ont la même pente. Et sous forme réduite, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, le coefficient de 𝑥, la valeur de 𝑚, représente la pente. On nous a dit que ces deux droites sont parallèles. Et cela signifie qu’elles auront la même pente. Pour trouver la pente de ces droites, nous allons les convertir en forme réduite. Pour ce faire, nous isolons 𝑦. Puisque les deux équations ont huit 𝑥 à gauche, nous soustrairons huit 𝑥 aux deux membres des deux équations. À gauche, nous aurions cinq 𝑦 est égal moins huit 𝑥 plus huit. Et à droite, 𝑎𝑦 est égal à moins huit 𝑥 moins huit. Nous devons isoler 𝑦 pour la forme réduite. Donc, nous pouvons diviser par cinq. Et l’équation à gauche sous forme réduite sera 𝑦 égale moins huit cinquièmes 𝑥 plus huit cinquièmes.

À droite, nous devons faire quelque chose similaire. Pour isoler 𝑦, nous allons diviser par 𝑎. Et notre deuxième équation sera 𝑦 égale moins huit sur 𝑎𝑥 moins huit sur 𝑎. Ces pentes doivent être égales si ces droites sont parallèles. Étant donné que l’une des pentes est moins huit sur cinq, l’autre pente devra être moins huit sur cinq. Et cela nous dit que 𝑎 doit être cinq pour que ces deux droites soient parallèles. Si nous revenons en arrière et remplaçons 𝑎 par cinq, nous voyons qu’il y a un rapport d’égalité entre les pentes de ces deux équations, ce qui les rend parallèles.

Dans notre dernier exemple, nous avons trois points qui forment un triangle rectangle. Et nous utiliserons nos connaissances sur les droites parallèles ou perpendiculaires pour déterminer une valeur manquante de l’un de ces points.

Supposons que les points 𝐴 : moins trois, moins un ; 𝐵 : un, deux ; et 𝐶 : sept, 𝑦 forment un triangle rectangle en 𝐵. Quelle est la valeur de 𝑦 ?

On peut commencer par faire une figure représentant ces points. 𝐴 est moins trois, moins un. 𝐵 est un, deux. Nous savons que l’abscisses du point 𝐶 est sept. Et cela signifie que 𝐶 sera situé quelque part le long de cette droite. Nous connaissons la droite 𝐴𝐵. Et on nous a dit que l’angle droit de ce triangle est au point 𝐵. Nous pouvons avoir une idée générale de l’endroit où se situe le point 𝐶. Toutefois, ce n’est pas un bon moyen de trouver une réponse précise. Mais comme nous savons que c’est un triangle rectangle, nous pourrions dire que la droite 𝐴𝐵 est perpendiculaire à la droite 𝐵𝐶. Cela signifie que la pente de la droite 𝐵𝐶 est l’opposé de l’inverse de la pente de la droite 𝐴𝐵.

Pour résoudre ce problème, nous devrons suivre trois étapes. Tout d’abord, trouver la pente de la droite 𝐴𝐵. Utiliser cette pente pour trouver l’opposé de l’inverse, qui est la pente de la droite 𝐵𝐶. Ensuite, prendre la pente de la droite 𝐵𝐶 et l’utiliser pour déterminer l’ordonnée du point 𝐶. Si nous avons deux points, nous trouvons la pente en utilisant 𝑚 égale 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Pour les points 𝐴 et 𝐵, ce serait deux moins moins un sur un moins moins trois, ce qui vaut trois quarts. La pente de la droite 𝐴𝐵 est alors égale à trois quarts. Et voilà la première étape terminée.

Pour la deuxième étape, nous devons chercher l’opposé de l’inverse de la pente que nous avons trouvée à la première étape. L’opposé de l’inverse de moins trois quarts est moins quatre tiers. Et c’est la deuxième étape. Maintenant, pour la troisième étape, nous allons prendre le point 𝐵 : un, deux et le point 𝐶 : sept, 𝑦. Nous allons supposer que 𝐵 a pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, et 𝐶 𝑥 deux, 𝑦 deux. La pente moins quatre tiers est égal à 𝑦 moins deux sur sept moins un. Sept moins un vaut six. Pour résoudre ce problème, nous nous utilisons le produit en croix. Moins quatre fois six est égal à trois fois 𝑦 moins deux. Moins 24 est égal à trois 𝑦 moins six.

Pour nous donner un peu plus de place pour déterminer la valeur de 𝑦, nous ajoutons six aux deux membres et nous obtenons moins 18 égal à trois 𝑦. Nous divisons les deux membres de l’équation par trois et nous obtenons moins six égale 𝑦. Suite à la troisième étape, nous avons trouvé que 𝑦 doit être égal à moins six. Cela signifie que, pour qu’il s’agisse d’un triangle rectangle, le point 𝐶 doit avoir pour coordonnées sept, moins six. Donc, nous constatons que la valeur manquante est moins six.

Pour conclure, nous allons revoir les points clés. Les droites parallèles ne se coupent pas et ont la même pente. Les droites perpendiculaires se coupent à un angle de 90 degrés, et la pente de l’une est l’opposé de l’inverse de la pente de l’autre.

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