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Vidéo de question : Trouver le vecteur de moment d’une force agissant en un point sur l’origine puis déterminer la distance perpendiculaire entre sa ligne d’action et l’origine Mathématiques

Une force 𝐅 = 4𝐢 + 12𝐣 N agit en un point 𝐴 (−4 ; −1) m. Calculez le moment, 𝐌₀, de cette force par rapport à l’origine, et la longueur de la perpendiculaire 𝐿 depuis sa ligne d'action jusqu'à l'origine.

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Transcription de vidéo

Une force 𝐅 égale quatre 𝐢 plus 12𝐣 newtons agit au point 𝐴 moins quatre, moins un mètre. Calculez le moment 𝐌 zéro de cette force autour de l’origine et la longueur de la perpendiculaire 𝐿 à sa ligne d’action depuis l’origine.

Au début, mettons en place un repère. Ici, nous avons notre axe des 𝑥 positifs pointant vers la droite et notre axe des 𝑦 positifs pointant verticalement vers le haut. Et sur ce repère, traçons le point 𝐴. Nous voyons qu’il a une coordonnée 𝑥 de moins quatre et une coordonnée 𝑦 de moins un. Le point 𝐴 est alors ici. On nous dit qu’à partir de là une force 𝐅 avec des composantes données agit. Puisque la composante 𝑥 de cette force est plus quatre et la composante 𝑦 est plus 12, nous pouvons dire que si nous devions tracer la ligne d’action de cette force sur notre graphique, ensuite, à partir du point 𝐴 pour chaque unité, nous nous déplaçons dans le sens des 𝑥 positifs, nous allons déplacer une, deux, trois unités dans le sens des y positifs. La ligne d’action de notre force ressemblera alors à ceci.

Notre question nous a demandé de faire deux choses. Nous voulons calculer le moment 𝐌 zéro de cette force autour de l’origine de notre repère. Et nous voulons également trouver la longueur de la perpendiculaire - elle s’appelle 𝐿 - à partir de cette ligne d’action que nous avons tracée à l’origine. Maintenant, il s’avère que nous devons réellement trouver 𝐿 dans notre recherche pour le moment global créé par cette force. Faisons donc d’abord cela. Voyons quelle est la longueur de la perpendiculaire 𝐿 qui va de notre ligne d’action à l’origine.

Nous pouvons commencer à le faire en trouvant les équations de notre droite en pointillé rose ainsi que de notre droite orange continue. Une façon générale d’écrire l’équation d’une droite est 𝑦 égale 𝑚, la pente de la droite, fois 𝑥 plus 𝑏, l’ordonnée à l’origine de la droite. Maintenant, si nous appelons la coordonnée 𝑦 de la ligne d’action de notre vecteur 𝑦 indice 𝑣, alors nous savons que cette coordonnée est égale à une pente, nous l’appellerons 𝑚 indice 𝑣, fois 𝑥 plus l’ordonnée à l’origine. Nous l’appellerons 𝑏 indice 𝑣. La pente d’une droite 𝑚 en général est égale à la variation de la coordonnée verticale de cette droite par rapport à la variation de sa coordonnée horizontale. Parce que la pente 𝑚 𝑣 suit la ligne d’action de notre force 𝐅, nous pouvons dire que 𝑚 𝑣 est égal au rapport de la valeur 𝑦 de cette force sur la valeur 𝑥. C’est-à-dire que 𝑚 𝑣 est égal à trois.

Sachant cela, nous cherchons ensuite à calculer 𝑏 𝑣. C’est l’ordonnée à l’origine de cette droite. Pour comprendre cela, nous sommes aidés par le fait que nous savons que notre ligne d’action passe par le point 𝐴. Cela signifie que nous pouvons insérer la coordonnée 𝑥 de ce point ici et la coordonnée 𝑦 ici. Et parce que ce point est sur la droite, toute l’équation doit être vraie. Cela implique alors que 𝑏 𝑣 est égal à moins un plus 12 ou à plus 11. Sachant cela, nous pouvons maintenant écrire une équation complète pour 𝑦 𝑣. L’équation de la ligne d’action de notre force est 𝑦 𝑣 égale trois 𝑥 plus 11.

Notre prochain objectif est de trouver une relation similaire pour la droite orange continue dans notre repère, celle de la longueur 𝐿 majuscule. Parce que cette droite est perpendiculaire à la droite donnée par 𝑦 𝑣, sa pente sera l’inverse négatif de la pente de la droite donnée par 𝑦 𝑣. Ensuite, lorsque nous considérons ce que serait l’ordonnée à l’origine de cette droite, nous pouvons l’appeler 𝑏 indice L, nous reconnaissons que parce que cette droite passe par l’origine où 𝑦 est nul, son ordonnée à l’origine et donc 𝑏 indice 𝐿 est égale à zéro.

Nous avons maintenant complété des équations pour chacune de nos droites. Ce que nous voulons faire ensuite, c’est déterminer le point dans l’espace 𝑥𝑦 où elles se croisent. À ce point d’intersection, nous pourrions dire que 𝑦 𝑣 est égal à 𝑦 𝐿 ou en d’autres termes trois 𝑥 plus 11 est égal à moins un tiers 𝑥. Si nous travaillons à résoudre cette équation pour 𝑥, nous constatons que dix tiers 𝑥 est égal à moins 11. Donc, si nous multiplions les deux côtés par trois dixièmes, nous constatons que 𝑥 est égal à moins 33 sur 10. Il s’agit donc de la coordonnée 𝑥 du point d’intersection de nos deux droites.

Pour résoudre la valeur de 𝑦 correspondante, nous pouvons prendre cette valeur de 𝑥 et la remplacer dans l’une des équations de nos deux droites. Disons que nous faisons cette substitution ici. Ce que nous trouvons, c’est que l’ordonnée du point d’intersection, nous l’appellerons 𝑦 indice 𝑖, est égale à moins un tiers fois moins trente-trois dixièmes. Cela équivaut à onze dixièmes. Maintenant que nous connaissons les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de notre point d’intersection, nous nous rapprochons de pouvoir trouver cette longueur 𝐿.

𝐿, nous le voyons, est la distance en ligne droite entre ce point d’intersection et l’origine. En d’autres termes, nous voulons calculer une distance 𝑑. En général, la distance entre deux points du plan 𝑥𝑦 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est donnée par cette expression ici. Dans notre exemple, ces deux points sont l’origine, avec les coordonnées zéro, zéro et notre point d’intersection. Parce que la distance que nous voulons trouver s’appelle 𝐿, nous pouvons dire que 𝐿 est égal à la racine carrée de la quantité moins trente-trois dixièmes moins zéro au carré plus la quantité onze-dixièmes moins zéro au carré. Cela se simplifie en cette expression.

Et le carré de trente-trois dixièmes nous donne 1089 sur 100, tandis que le carré de 11 sur 10 nous donne 121 sur 100. Parce que un centième est commun à ces deux termes et que 100 est égal à 10 au carré, nous pouvons factoriser 1 sur 10. Et si nous ajoutons 1089 et 121, nous obtenons 1210. Ensuite, nous pouvons remarquer que 1210 est mathématiquement égal à 121 fois 10. Puisque 121 est égal à 11 au carré, nous pouvons simplifier davantage ce résultat pour que ce soit 11 sur 10 fois la racine carrée de 10. C’est égal à la longueur de 𝐿. Et rappelons que cette longueur est en mètres.

On peut alors dire que la distance perpendiculaire entre la ligne d’action de notre force et l’origine est onze dixièmes fois la racine carrée de 10 mètres. Connaissant 𝐿, nous pouvons revenir en arrière, pour ainsi dire, et trouver le moment créé par cette force sur l’origine. Maintenant, la norme de ce moment sera égale à l’intensité de notre force 𝐅 fois 𝐿. L’intensité de la force 𝐅 est égale à la racine carrée de sa composante 𝑥 au carré plus sa composante 𝑦 au carré. Quatre au carré est 16, et 12 au carré est 144. Et si nous les additionnons ensemble, nous obtenons 160

160, cependant, peut s’écrire 16 fois 10. Et 16, nous le savons, est égal à quatre fois quatre. Nous pouvons écrire la norme de notre moment, alors, comme quatre fois la racine carrée de 10 fois 11 sur 10 fois la racine carrée de 10. Mais alors, la racine carrée de 10 fois la racine carrée de 10 est égale à 10. Et nous divisons cela par 10, ce qui donne un. Donc, toute cette expression est égale à quatre fois 11 ou 44. En termes d’unités, nous avons vu que les unités de notre force sont des newtons et les unités de notre distance sont des mètres. Ainsi, la norme de 𝐌 zéro est égale à 44 newton mètres.

Mais notez que 𝐌 zéro dans notre énoncé du problème, celui que nous voulons vraiment trouver, est un vecteur. Nous avons trouvé sa norme, mais nous devons également connaître sa direction et son sens. Pour comprendre cela, revenons à notre graphique. Nous savons que notre force 𝐅 agit le long de cette droite dans ce sens. Nous pouvons voir alors que cette force aura tendance à créer une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre autour de l’origine. Pour déterminer le sens de ce moment, nous pouvons imaginer une vis filetée à droite située à l’origine et orientée de sorte que la tête de la vis soit tournée vers le haut et sortant de l’écran. Le sens de notre moment 𝐌 sera le même sens que lorsque notre vis se déplace sous l’influence de cette rotation dans le sens des aiguilles d’une montre.

Si nous tournons une vis filetée à droite dans le sens des aiguilles d’une montre, nous savons qu’elle aura tendance à rentrer dans l’écran. La question est donc de savoir dans quel sens cela se passe. Rappelons que notre axe des 𝑥 positifs pointe vers la droite et notre axe des 𝑦 positifs verticalement. Dans un système de coordonnées droitier, si nous ajoutons un axe des 𝑧, alors le sens des 𝑧 positifs sortira de l’écran, ce qui nous indique que vers l’écran, le sens dans lequel notre vis filetée à droite se déplace sous l’influence de cette rotation, est dans le sens des 𝑧 négatifs. Et cela, comme nous l’avons dit, est le vrai sens de notre moment 𝐌 zéro.

Ainsi, lorsque nous écrivons notre moment 𝐌 zéro comme un vecteur avec à la fois la norme, la direction et le sens, nous disons qu’il a une norme de 44 newton mètres dans le sens des 𝑧 négatifs, c’est-à-dire moins 𝐤. Nous avons donc répondu aux deux parties de notre question. Le moment 𝐌 zéro en tant que vecteur est moins 44𝐤 newton mètres, et la distance perpendiculaire entre la ligne d’action de notre force et l’origine 𝐿 est onze dixièmes fois la racine carrée de 10 mètres.

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