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Vidéo de question : Calcul de la dérivée en un point Mathématiques

Déterminez la dérivée de 𝑓 (𝑥) = 𝑥² en le point 𝑥 = 2 à partir des premiers principes.

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Transcription de vidéo

Déterminez la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré en le point 𝑥 est égal à deux à partir des premiers principes.

La question veut que nous trouvions la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré lorsque 𝑥 égale deux à partir des premiers principes. Nous commencerons par rappeler ce que nous entendons par la dérivée d’une fonction 𝑓 de 𝑥 au point 𝑥 zéro. Ceci est donné par 𝑓 prime de 𝑥 zéro égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 évalué en 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 évalué en 𝑥 zéro divisé par ℎ tant que cette limite existe. De la question, nous voyons que nous voulons trouver la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré lorsque 𝑥 est égal à deux. Nous allons donc mettre 𝑥 zéro égal à deux.

La substitution de 𝑥 zéro égale à deux dans notre définition de la dérivée nous donne 𝑓 prime de deux égale la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 évalué en deux plus ℎ moins 𝑓 évalué en deux divisé par ℎ à condition que cette limite existe. Alors, rappelez-vous que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré. Ainsi, 𝑓 évalué en deux plus ℎ est deux plus ℎ le tout au carré et 𝑓 évalué en deux est deux au carré. Nous devons donc évaluer la limite lorsque ℎ tend vers zéro de deux plus ℎ au carré moins deux au carré divisé par ℎ.

Pour évaluer cette limite, nous allons commencer par distribuer le carré sur nos parenthèses. Nous avons deux plus ℎ le tout au carré est égal à quatre plus quatre ℎ plus ℎ au carré. Ensuite, nous voulons évaluer la limite lorsque ℎ tend vers zéro de quatre plus ℎ plus ℎ au carré moins quatre divisé par ℎ. Nous pouvons simplifier le numérateur dans cette limite puisque quatre moins quatre est égal à zéro. Nous voulons juste la limite lorsque ℎ approche zéro de quatre ℎ plus ℎ au carré divisé par ℎ. Puisque nous cherchons notre limite lorsque ℎ tend vers zéro, ℎ n’est pas tout à fait zéro. Nous pouvons donc simplifier cette limite en supprimant le facteurs commun de ℎ sur notre numérateur et notre dénominateur.

Cela nous donne la limite lorsque ℎ tend vers zéro de quatre plus ℎ. Il s’agit d’une fonction affine, nous pouvons donc l’évaluer par substitution directe. En substituant ℎ est égal à zéro, nous obtenons quatre plus zéro, ce qui est bien sûr égal à quatre. Par conséquent, nous avons montré à partir des premiers principes que si 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré, alors 𝑓 prime de deux est égal à quatre.

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