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Vidéo de question : Résoudre une équation matricielle en déterminant l’inverse d’une matrice Mathématiques

Sachant que [-1, 1 et -1, -1] [𝑥 et 𝑦] = [−7 et 5], déterminez [𝑥 et 𝑦].

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Transcription de vidéo

Sachant que la matrice moins un, un, moins un, moins un fois 𝑥, 𝑦 égale moins sept, cinq, déterminez 𝑥, 𝑦.

Maintenant, en fait, ce qui nous a été donné est une forme matricielle d’un système d’équations linéaires. Et donc imaginez que nous avons une équation matricielle 𝐴𝑋 égale 𝐵, où 𝐴 est la matrice deux fois deux : moins un, un, moins un, moins un. Le terme 𝑋 majuscule est la matrice colonne 𝑥, 𝑦. Et 𝐵 est la matrice de colonne moins sept, cinq. Nous pouvons multiplier les deux côtés par l’inverse de 𝐴 à condition qu’elle existe. Cela nous donne l’inverse de 𝐴 fois 𝐴𝑋 égale l’inverse de 𝐴 fois 𝐵. Et bien sûr, nous nous souvenons que la multiplication matricielle n’est pas commutative. Nous devons la faire dans cet ordre.

Mais bien sûr, l’inverse d’une matrice multipliée par elle-même est égal à 𝐼, la matrice identité. Donc, cette équation devient 𝐼𝑋 égale l’inverse de 𝐴 fois 𝐵. Mais en fait, 𝐼𝑋 est simplement égal à 𝑋 puisque la multiplication d’une matrice par la matrice identité de la dimension appropriée ne laisse que la matrice d’origine. On peut donc dire que 𝑋 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐵. Et cela nous donne un moyen de résoudre notre équation matricielle. Nous commençons par trouver l’inverse de la matrice deux fois deux : moins un, un, moins un, moins un, puis nous multiplions cela par la matrice colonne moins sept, cinq.

Donc, étant donné le 𝐴 que nous avons défini, comment calculer l’inverse ? Eh bien, étant donné une matrice générale deux fois deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, son inverse est un sur le déterminant de la matrice initiale multiplié par la matrice avec les éléments 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎. Essentiellement, nous changeons les éléments en haut à gauche et en bas à droite. Et puis nous changeons le signe des deux éléments restants. Et bien sûr, le déterminant d’une matrice deux fois deux est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. En gros, nous soustrayons le produit des éléments supérieur droit et inférieur gauche du produit supérieur gauche et inférieur droit. Et cet inverse n’existera pas si le déterminant est égal à zéro. Dans ce cas, on dit que la matrice n’est pas inversible.

Il est donc logique de commencer par calculer le déterminant de notre matrice 𝐴. C’est le produit en haut à gauche et en bas à droite, donc moins un fois moins un moins le produit en haut à droite et en bas à gauche. Nous soustrayons donc une fois moins un. Moins un fois moins un fait un. Donc, cela devient en fait un plus un, ce qui équivaut à deux. Donc, puisque le déterminant n’est pas égal à zéro, l’inverse de 𝐴 existe, et nous pouvons continuer avec l’étape suivante. Nous calculons un sur le déterminant. Donc, c’est un sur deux. Ensuite, nous basculons les éléments en haut à gauche et en bas à droite. Et nous changeons le signe des deux autres.

Nous obtenons donc que l’inverse de 𝐴 est un demi fois moins un, moins un, un, moins un. Et donc, étant donné que nous avons défini 𝑋 comme la matrice 𝑥, 𝑦 et 𝐵 comme la matrice moins sept, cinq, la solution de notre équation est un demi fois la matrice moins un, moins un, un, moins un fois la matrice colonne moins sept, cinq. Maintenant, bien sûr, nous pourrions distribuer ce un demi sur la matrice deux fois deux ou nous pouvons réaliser cette étape à la fin. Et en fait, puisque distribuer le un demi sur la matrice deux fois deux rendra la fraction très lourde, nous ferons en fait cette étape à la fin.

Libérons de l’espace et multiplions la paire de matrices. Nous multiplions une matrice deux fois un par une matrice deux fois deux. Et cela aboutira, en fait, à une matrice deux fois un. Pour trouver le premier élément de ce résultat, nous trouvons le produit scalaire des éléments de la première ligne avec les éléments de notre matrice colonne, soit moins un fois moins sept plus moins un fois cinq, soit deux. Répétons ce processus pour trouver l’élément suivant. Cette fois, c’est le produit scalaire des éléments de la seconde ligne avec les éléments de cette matrice colonne.

Donc, cette fois, c’est une fois moins sept plus moins une fois cinq, ce qui fait moins 12. En substituant cela dans notre expression précédente pour 𝑥, 𝑦 nous voyons que 𝑥, 𝑦 est égal à un demi fois la matrice deux, moins 12. Il ne reste plus qu’à distribuer un demi sur cette matrice. Un demi de deux fait un et un demi de moins 12 fait moins six. Et donc, la matrice 𝑥, 𝑦 est la matrice un, moins six.

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