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Vidéo de question : Trouver l’équation d’une droite Mathématiques

Déterminez l’équation de la droite perpendiculaire à celle d’équation −6𝑥 - 𝑦 + 8 = 0 et passant par le point d’intersection des droites d’équations −4𝑥 - 𝑦 - 3 = 0 et −3𝑥 + 8𝑦 - 1 = 0.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’équation de la droite perpendiculaire à celle d’équation moins six 𝑥 moins 𝑦 plus huit égale zéro et passant par le point d’intersection des droites d’équations moins quatre 𝑥 moins 𝑦 moins trois égale zéro et moins trois 𝑥 plus huit 𝑦 moins un égale zéro.

Dans cette question, on nous donne deux informations clés sur la droite dont nous voulons trouver l’équation. Tout d’abord, on nous dit quelque chose sur sa pente. Il est perpendiculaire à la droite moins six 𝑥 moins 𝑦 plus huit égale zéro. Deuxièmement, on nous parle d’un point qui se situe sur cette droite. Elle passe par l’intersection des droites dont les équations sont données.

Pour répondre à cette question, nous devrons trouver à la fois la pente de la droite 𝑚 et les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un de ce point qui se trouve sur la droite, afin que l’on puisse alors appliquer la méthode point-pente pour trouver l’équation de cette droite 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un.

Concentrons-nous en premier sur la recherche de 𝑚 - la pente de la droite. Nous savons que si deux droites sont perpendiculaires, alors le produit de leurs pentes, appelées 𝑚 un et 𝑚 deux, est égal à moins un. Si nous prenons l’équation de la droite qui est perpendiculaire à notre droite et ajoutons 𝑦 de chaque côté, alors nous avons moins six 𝑥 plus huit égale 𝑦.

En comparant cela avec 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐, la forme réduite de l’équation d’une droite, nous voyons que la pente de cette droite est moins six. Pour trouver la pente de la droite perpendiculaire, nous devons diviser moins un par moins six. La pente de la droite perpendiculaire - notre droite - est de un sixième.

Nous avons donc trouvé la pente de la droite et je l’ai substituée aux débuts de notre équation pour la droite. Je vais supprimer cette partie de l’écran afin de faire de la place pour la prochaine étape. Donc, si vous avez besoin de noter quelque chose, mettez la vidéo en pause et faites-le maintenant.

Ensuite, nous devons trouver les coordonnées du point d’intersection des deux droites données. Pour ce faire, nous devons résoudre leurs équations simultanément. J’ai étiqueté les équations comme l’équation un et l’équation deux. Je sais maintenant que l’équation un peut être réarrangée pour donner une expression de 𝑦 en fonction de 𝑥. Ajouter 𝑦 aux deux côtés de l’équation donne 𝑦 égale moins quatre 𝑥 moins trois.

La prochaine étape consiste à substituer cette expression pour 𝑦 dans l’équation deux. Cela donne moins trois 𝑥, plus huit fois moins quatre 𝑥 moins trois, moins un égale zéro. Et maintenant, j’ai une équation linéaire en 𝑥 que je peux résoudre. Tout d’abord, je développe la parenthèse pour donner moins trois 𝑥 moins 32𝑥 moins 24 moins un égale zéro. Maintenant, je regroupe les termes similaires ce qui donne moins 35𝑥 moins 25 égale zéro.

La prochaine étape consiste à ajouter 25 des deux côtés de l’équation, ce qui donne moins 35𝑥 égale 25. Ensuite, je divise les deux côtés de l’équation par moins 35, ce qui donne 𝑥 égal à 25 sur moins 35. Le numérateur et le dénominateur de cette fraction peuvent tous deux être simplifiés par un facteur cinq. Et nous avons un positif divisé par un négatif, ce qui donne un résultat négatif. Nous avons 𝑥 égal à moins cinq sur sept.

Nous avons donc trouvé la valeur de 𝑥 et nous devons maintenant trouver la valeur de 𝑦. Pour ce faire, nous pouvons substituer dans la forme réarrangée de l’équation un. Cela donne 𝑦 égal à moins quatre multiplié par moins cinq sur sept, moins trois. Moins quatre multiplié par moins cinq sur sept donne plus 20 sur sept. Et si je veux écrire moins trois sous forme de fraction avec un dénominateur de sept, cela équivaut à moins 21 sur sept. Cela se simplifie alors pour donner moins un sur sept.

Donc, en résolvant les équations des deux droites simultanément, nous avons trouvé les coordonnées du point d’intersection et donc les coordonnées du point qui se trouve sur la droite que nous recherchons. Nous pouvons substituer les deux valeurs par 𝑥 un et 𝑦 un dans l’équation de notre droite.

Maintenant, je vais supprimer une partie du travail à l’écran afin de terminer la dernière partie de la question. Alors mettez la vidéo en pause maintenant si vous avez besoin d’écrire quelque chose. Nous avons trouvé la pente de la droite et les coordonnées du point qui se trouve sur la droite. Et par conséquent, nous avons l’équation de notre droite 𝑦 moins moins un sur sept égale un sixième de 𝑥 moins moins cinq sur sept.

Nous devons maintenant réorganiser l’équation de notre droite. Les deux négatifs du côté gauche et les deux négatifs du côté droit peuvent être simplifiés en un plus. Nous avons donc 𝑦 plus un septième est égal à un sixième de 𝑥 plus cinq septièmes. Maintenant, il y a beaucoup de fractions dans notre équation pour le moment et nous préférons travailler avec des entiers. Je vais donc éliminer ces fractions.

Tout d’abord, je vais multiplier chaque terme de l’équation par six. Cela donne six 𝑦 plus six septièmes égale 𝑥 plus cinq septièmes. Maintenant, j’ai encore des fractions. Donc, ensuite, je vais multiplier chaque terme de l’équation par sept. Cela donne 42𝑦 plus six égale sept 𝑥 plus cinq et j’ai éliminé toutes les fractions.

Enfin, je vais regrouper tous les termes du même côté de l’équation et je vais choisir de les regrouper du côté droit. Pour ce faire, je dois soustraire 42𝑦 et six des deux côtés de l’équation. Cela donne zéro égale sept 𝑥 moins 42𝑦 moins un.

En écrivant le zéro du côté droit de l’équation, ce qui est un peu plus conventionnel, nous obtenons l’équation de la droite que nous recherchions : sept 𝑥 moins 42𝑦 moins un égale zéro.

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