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Vidéo question :: Trouver l’argument principal de nombres complexes Mathématiques • Troisième secondaire

Sachant que 𝑧 = sin 𝜃 - 𝑖 cos 𝜃, déterminez l’argument principal de 𝑧, où 𝜃 ∈ [0, 𝜋 / 2).

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Transcription de la vidéo

Sachant que 𝑧 égale sinus thêta moins 𝑖 cosinus thêta, déterminez l’argument principal de 𝑧, où thêta appartient à l’intervalle, fermé à gauche ouvert à droite, zéro pi sur deux.

Commençons par rappeler ce que nous voulons dire lorsque nous parlons de l’argument principal d’un nombre complexe 𝑧. Supposons que nous ayons un nombre complexe écrit sous forme polaire. C’est-à-dire 𝑧 égale 𝑟 cosinus thêta plus 𝑖 sinus thêta. thêta est l’argument du nombre complexe. Mais si thêta appartient à l’intervalle de moins pi à pi, alors nous l’appelons l’argument principal du nombre complexe. Maintenant, puisque notre nombre complexe 𝑧 est égal à sinus thêta moins 𝑖 cosinus thêta, il n’est pas vraiment exprimé sous une forme générale. Sinus thêta et cosinus thêta semblent être inversés. Donc, ce que nous devons faire, c’est trouver un moyen d’exprimer 𝑧 sous sa vraie forme polaire.

Pour ce faire, nous allons utiliser certaines identités de cofonction qui relient le sinus et le cosinus. Elles sont cosinus thêta égale sinus de pi sur deux moins thêta, et de même sinus thêta égale cosinus de pi sur deux moins thêta. En les substituant dans le nombre complexe, nous voyons que nous avons maintenant le sinus et le cosinus dans le bon sens. On a 𝑧 égale cosinus de pi sur deux moins thêta moins 𝑖 sinus de pi sur deux moins thêta. Ce n’est toujours pas satisfaisant. Rappelez-vous, la forme générale est plus 𝑖 sinus thêta, et pour le moment nous soustrayons 𝑖 sinus thêta. Cependant, nous pouvons effectuer une manipulation ici en utilisant les propriétés paires et impaires de cosinus et de sinus. La fonction sinus est impaire. Donc, pour toutes les valeurs de 𝑥, sinus de moins 𝑥 est égal à moins sinus de 𝑥. La fonction cosinus, cependant, est paire. Donc, pour toutes les valeurs de 𝑥, cosinus de moins 𝑥 est égal à cosinus de 𝑥.

Donc, considérons moins 𝑥 égal à pi sur deux moins thêta. En utilisant le fait que la fonction cosinus est paire, nous pouvons alors écrire cosinus de pi sur deux moins thêta comme cosinus de moins pi sur deux plus thêta. De même, nous pouvons alors écrire sinus de pi sur deux moins thêta comme moins sinus de moins pi sur deux plus thêta. Donc, notre nombre complexe 𝑧 est maintenant cosinus de moins pi sur deux plus thêta moins 𝑖 fois sinus de moins pi sur deux plus thêta. Distribuons les parenthèses sur le membre de droite de cette expression. Ce faisant, cette partie devient plus 𝑖 sinus de moins pi sur deux plus thêta. Et nous avons maintenant une expression qui ressemble à la forme générale d’un nombre complexe.

Nous pouvons voir que son argument a pour valeur : moins pi sur deux plus thêta. Mais est-ce l’argument principal ? Eh bien, pour établir cela, nous devons vérifier si moins pi sur deux plus thêta se situe dans l’intervalle de moins pi à pi. Nous savons que thêta appartient à l’intervalle, fermé à gauche et ouvert à droite, zéro pi sur deux. Une autre façon de représenter ceci est de dire que thêta est supérieur ou égal à zéro et inférieur à pi sur deux. Alors, dans quel intervalle se situe l’expression moins pi sur deux plus thêta ? Eh bien, nous allons soustraire pi sur deux des deux côtés de l’inéquation. Ainsi, le côté gauche devient moins pi sur deux, et le côté droit devient zéro. Ainsi, l’argument de 𝑧 est supérieur ou égal à moins pi sur deux et inférieur à zéro.

Nous pouvons l’exprimer alternativement et dire que l’argument de 𝑧 est dans l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite : moins pi sur deux à zéro. Or, cet intervalle est en fait un sous-ensemble de l’intervalle de moins pi à pi. Donc, par sa définition même, l’argument de 𝑧 est l’argument principal. Réarrangeons l’expression que nous avons de l’argument principal de 𝑧. C’est thêta moins pi sur deux.

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