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Vidéo de question : Exprimer un système d’équations sous forme d’une équation matricielle Mathématiques

Exprimez les équations simultanées comme une équation matricielle. 7𝑥 - 3𝑦 + 6𝑧 = 5, 5𝑥 - 2𝑦 + 2𝑧 = 11 et 2𝑥 - 3𝑦 + 8𝑧 = 10.

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Transcription de vidéo

Exprimez les équations comme une équation matricielle. Sept 𝑥 moins trois 𝑦 plus six 𝑧 égale cinq, cinq 𝑥 moins deux 𝑦 plus deux 𝑧 égale 11 et deux 𝑥 moins trois 𝑦 plus huit 𝑧 égale 10.

Ce système a trois équations linéaires, et trois variables : 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Toutes les équations ont la même forme, le terme en 𝑥 venant en premier, puis le terme en 𝑦 et enfin le terme en 𝑧. Ceci constitue le membre de gauche et nous avons une seule constante à droite. Lorsqu'un système d'équations est donné sous cette forme, il est simple de l’exprimer sous forme matricielle.

Nous écrivons à nouveau notre système d’équations. Rappelez-vous que notre objectif est d’écrire ce système d’équations sous forme d’une équation matricielle unique. Les éléments de la matrice, ce qui en fait une équation matricielle, seront tirées des coefficients des termes du membre gauche de nos équations. Dans la première équation, par exemple, les coefficients sont sept, moins trois et six. En continuant, nous avons aussi les coefficients cinq, moins deux et deux de la seconde équation. Enfin, nous avons deux, moins trois et huit dans la troisième équation.

Comment ces coefficients sont-ils disposés dans notre matrice ? Bien, exactement de la même façon qu'ils sont dans nos équations, de la même façon que nous les avons disposés. Tout ce que nous avons à faire est de supprimer des équations tout ce qui n'est pas un coefficient souligné. Nous effaçons les 𝑥, les 𝑦, les 𝑧, les constantes du membre droit des équations et tous les signes plus ou égaux restants. Puisque ceci est une matrice maintenant, il faut placer des crochets autour de ces nombres.

Nous avons donc une matrice, mais nous n'avons pas encore d'équation. Pour avoir une équation, nous avons besoin d'inconnues. Nous avons trois inconnues — 𝑥, 𝑦 et 𝑧 — dans notre système d'équations de départ. Nous les mettons dans cet ordre dans une matrice colonne trois fois un. Une équation doit avoir le signe égal en plus d'une ou plusieurs variables ou inconnues. A quoi est égal ce côté gauche ? Bien, nous n'avons pas encore utilisé ces trois termes constants du membre droit. Ainsi, sur le membre droit, nous avons maintenant une matrice colonne trois fois un composées des termes constants.

Nous avons donc formé notre équation matricielle. Nous avons une matrice avec des éléments connus multipliée par une autre matrice avec des éléments inconnues, égale à une autre matrice avec des éléments connus. Nous pouvons vérifier que cette équation matricielle représente vraiment le système d’équations de départ, en multipliant les matrices du membre gauche. En multipliant ces matrices, on obtient une matrice trois fois un dont les éléments sont sept x moins trois y plus six z, cinq x moins deux y plus deux z et deux x moins trois y plus huit z. Bien sûr, nous avons toujours la matrice trois fois un des constantes : cinq, 11, 10.

Pour que ces deux matrices soient égales, leurs éléments doivent être égaux. Par conséquent, nous devons avoir sept x moins trois y plus six z égale cinq. Cinq 𝑥 moins deux 𝑦 plus deux 𝑧 égale 11. Enfin, deux 𝑥 moins trois 𝑦 plus huit 𝑧 égale 10. Ce sont bien sûr les équations de notre système de départ.

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