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Vidéo de question : Déterminer les coefficients inconnus dans une fonction définie par morceaux étant donné que la fonction est dérivable en un point donné Mathématiques

Calculez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 rendant la fonction 𝑓 dérivable en 𝑥 = −1 où 𝑓 (𝑥) = 9𝑥 + 5, si 𝑥 <−1 et 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 - 4, si 𝑥 ≥ −1.

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Transcription de vidéo

Calculez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 rendant la fonction 𝑓 dérivable en 𝑥 égale moins un où 𝑓 de 𝑥 est égale à neuf 𝑥 plus cinq si 𝑥 est strictement inférieure à moins un et 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 moins quatre si 𝑥 est supérieur ou égal à moins un.

On nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥. On nous dit que cette fonction définie par morceaux est dérivable lorsque 𝑥 est égale à moins un. Nous devons utiliser cette hypothèse pour déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Il y a plusieurs façons pour le faire. Nous pourrions le faire directement à partir de la définition de la dérivée d’une fonction lorsque 𝑥 est égal à moins un. Seulement, il existe une méthode plus simple en utilisant notre définition de la fonction 𝑓 de 𝑥. Dans ce cas, nous pouvons voir que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est définie par morceaux. Nous pouvons voir que la première partie est neuf 𝑥 plus cinq et la deuxième partie est 𝑎𝑥 cube plus 𝑏𝑥 moins quatre.

En d’autres termes, dans les deux cas, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est définie par des polynômes que nous savons continus pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Quand une fonction définie par morceaux est définie par des fonctions continues, nous la qualifions de continue par morceaux. En fait, il y a quelque chose d’encore plus utile. Nous savons comment dériver les fonctions polynomiales en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous pourrions utiliser cette règle pour trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑥 partout, sauf si 𝑥 est égal à moins un. Ensuite, nous pouvons utiliser une méthode plus facile afin de vérifier que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est dérivable lorsque 𝑥 est égale à moins un.

Il suffit de vérifier que notre fonction est continue lorsque 𝑥 est égal à moins un et que la pente lorsque 𝑥 tend vers moins un à gauche de 𝑓 de 𝑥 est égale à la pente lorsque 𝑥 tend vers moins un à droite de 𝑓 de 𝑥. Cependant, dans ce cas, nous savons déjà que notre fonction 𝑓 est dérivable lorsque 𝑥 est égale à moins un. Cela nous donne deux informations sur notre fonction 𝑓. Premièrement, si 𝑓 est dérivable lorsque 𝑥 est égal à moins un, alors elle doit également être continue lorsque 𝑥 est égal à moins un. Deuxièmement, nous utiliserons également l’information selon laquelle 𝑓 est dérivable en 𝑥 est égal à moins un.

Commençons par notre première information, 𝑓 est continue lorsque 𝑥 est égale à moins un. Nous savons que 𝑓 est une fonction continue par morceaux. En fait, nous pouvons voir que 𝑥 est égal à moins un est le point final de notre intervalle. Une fonction continue par morceaux ne peut être continue aux extrémités de son intervalle que si les extrémités correspondent. Ainsi, pour notre fonction 𝑓, les points d’extrémité doivent correspondre. Nous pourrions le faire formellement en utilisant nos limites à gauche et à droite. En d’autres termes, nous vérifierions que la limite lorsque 𝑥 s’approche de moins un à gauche de 𝑓 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 s’approche de moins un à droite de 𝑓 de 𝑥.

Seulement, rappelez-vous, nous avons déjà dit que 𝑓 de 𝑥 est une fonction continue par morceaux. Ainsi, nous pourrions simplement calculer ces limites directement en utilisant 𝑥 est égal à moins un dans nos deux fonctions. Puisqu’elles sont continues, nous pouvons simplement calculer par substitution directe. Cela nous donne neuf fois moins un plus cinq est égal à 𝑎 fois moins un au carré plus 𝑏 fois moins un moins moins quatre. Nous pouvons simplifier cette expression.

Neuf fois moins un plus cinq se simplifie pour nous donner moins quatre, ensuite 𝑎 fois moins un au carré plus 𝑏 fois moins un moins quatre se simplifie pour nous donner 𝑎 moins 𝑏 moins quatre. Puis, nous pouvons simplement ajouter quatre des deux côtés de cette équation, cela nous donne zéro est égal à 𝑎 moins 𝑏. Si nous ajoutons 𝑏 aux deux côtés de cette équation, nous pouvons voir que 𝑎 doit être égal à 𝑏. Ainsi, puisque 𝑓 doit être continue en moins un, nous avons montré que 𝑎 doit être égal à 𝑏.

Nous voulons maintenant utiliser le fait que notre fonction 𝑓 de 𝑥 doit être dérivable lorsque 𝑥 égale moins un. Nous pourrions le faire en utilisant directement la définition d’une dérivée lorsque 𝑥 est égal à moins un. Cependant, 𝑓 de 𝑥 est définie en termes de polynômes et nous savons comment dériver les polynômes en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Ainsi, au lieu d’utiliser directement la définition d’une dérivée lorsque 𝑥 est égal à moins un, nous pouvons utiliser le fait que parce que 𝑓 doit être dérivable lorsque 𝑥 est égal à moins un, nous devons avoir la pente lorsque 𝑥 tend vers moins un à partir de la gauche est égale à la pente lorsque 𝑥 tend vers moins un à partir de la droite.

Nous pouvons en fait calculer ces deux éléments en utilisant simplement la règle des puissances pour la dérivation. Ainsi, nous allons utiliser cette règle pour trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑥. Nous obtenons 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la dérivée de neuf 𝑥 plus cinq par rapport à 𝑥 si 𝑥 est strictement inférieur à moins un et 𝑓 prime de 𝑥 est égal à la dérivée de 𝑎𝑥 au carré plus 𝑎𝑥 moins quatre par rapport à 𝑥 si 𝑥 est supérieur à moins un. Il est important de savoir que nous ne savons pas ce qui se passe lorsque 𝑥 est égal à moins un.

Il est également important de souligner que nous venons d’utiliser directement le fait que nous savons que 𝑎 égale 𝑏, dans notre expression. Ensuite, nous devons calculer ces deux dérivées en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous devons multiplier par l’exposant de 𝑥, puis réduire cet exposant de un. En fait, dans notre première fonction, nous avons une fonction affine. Ainsi, sa pente sera simplement le coefficient de 𝑥, qui est neuf. En dérivant notre deuxième partie terme par terme en utilisant la règle des puissances pour la dérivation, nous obtenons deux 𝑎𝑥 plus 𝑎 si 𝑥 est supérieur à moins un.

Maintenant, nous pouvons utiliser cela pour trouver la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un à partir de la gauche et la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un à partir de la droite. Commençons par la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un à partir de la gauche. Ici, nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins un à partir de la gauche. Nous savons que nos valeurs de 𝑥 sont inférieures à moins un. Ainsi, notre pente est juste égale à la constante neuf. Notre première expression se simplifie donc pour nous donner neuf. Nous pouvons faire la même chose pour trouver la pente lorsque 𝑥 tend vers moins un à partir de la droite.

Puisque 𝑥 tend vers moins un à partir de la droite, nos valeurs de 𝑥 seront supérieures à moins un. Nous savons que la pente de notre fonction lorsque 𝑥 est supérieur à moins un est égale à deux 𝑎𝑥 plus 𝑎. Bien sûr, deux 𝑎𝑥 plus 𝑎 est une fonction affine. Nous pouvons donc calculer cette limite en utilisant la substitution directe. Nous substituons 𝑥 est égal à moins un dans cette expression. Cela nous donne deux 𝑎 fois moins un plus 𝑎, ce que nous pouvons bien sûr simplifier pour nous donner moins deux 𝑎 plus 𝑎 qui est égal à moins 𝑎. Seulement, rappelez-vous, on nous dit que notre fonction 𝑓 est dérivable lorsque 𝑥 est égal à moins un.

Ainsi, la pente lorsque 𝑥 tend vers moins un à partir de la gauche de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à la pente lorsque 𝑥 tend vers moins un à partir de la droite de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons donc simplement dire que ces valeurs sont égales. Nous obtenons moins 𝑎 doit être égal à neuf. Si nous multiplions par moins un, nous voyons que 𝑎 est égal à moins neuf. Pour terminer, rappelez-vous, nous avons montré que 𝑎 doit être égal à 𝑏. Ainsi, nous pouvons aussi dire que 𝑏 doit être égal à moins neuf.

Par conséquent, si la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à neuf 𝑥 plus cinq si 𝑥 est inférieur à moins un et 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 moins quatre si 𝑥 est supérieur ou égal à moins un, et est dérivable lorsque 𝑥 est égal à moins un, alors nous avons montré que la valeur de 𝑎 doit être égale à moins neuf et la valeur de 𝑏 doit également être égale à moins neuf.

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