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Vidéo de question : Résoudre les équations trigonométriques du second degré impliquant des angles particuliers Mathématiques

Déterminez l’ensemble solution de l’équation 2 sin² 𝜃 - √ (2) sin 𝜃 - 2 = 0, avec 180 ° ≤ 𝜃 < 360°.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble solution de l’équation deux sinus carré thêta moins racine carrée de deux fois sinus Déterminez l’ensemble solution de l’équation moins deux égale zéro, avec thêta supérieur ou égal à 180 degrés et strictement inférieur à 360 degrés.

Maintenant, la première chose que nous pouvons remarquer est que nos termes sont sous la forme d’une équation du second degré. Vous pouvez voir cela plus clairement en définissant sinus thêta comme étant la lettre 𝑠 et en réécrivant l’équation comme deux 𝑠 au carré moins la racine carrée de deux fois 𝑠 moins deux est égal à zéro. L’un des outils dont nous disposons pour résoudre les équations du second degré est la formule du second degré. Dans notre cas, nous pouvons l’utiliser pour trouver 𝑠 ou sinus thêta.

La formule du second degré utilise 𝑎, 𝑏 et 𝑐 pour représenter les coefficients des termes de notre équation. Dans notre cas, 𝑎 est égal à deux, 𝑏 est égal à moins racine carrée de deux et 𝑐 est égal à moins deux. Nous pouvons réécrire la formule du second degré en remplaçant 𝑎 par deux, 𝑏 par moins racine carrée de deux et 𝑐 par moins deux. Essayons maintenant de simplifier cette équation.

Tout d’abord, nous pouvons annuler ces deux symboles négatifs pour obtenir un résultat positif. Ensuite, nous pouvons voir que moins racine carrée de deux au carré vaut racine carrée de deux fois racine carrée de deux. Cela se simplifie en la racine carrée de quatre ou l’entier deux. Nous pouvons alors effectuer les multiplications restantes et trouver que les termes finaux de notre parenthèse carrée sont plus 16 et que notre dénominateur est quatre.

En rassemblant tout cela, nous constatons que notre équation se simplifie comme suit. Passons maintenant au deuxième terme en racine carrée de notre numérateur. En ajoutant nos nombres, nous constatons que ce terme est égal à la racine carrée de 18. Lorsque vous regardez les racines carrées, il peut être utile de factoriser les carrés parfaits. Dans notre cas, 18 peut s’écrire neuf fois deux. Et neuf est un carré parfait de trois fois trois.

Puisque les puissances ou les exposants sont distributifs, nous pouvons réécrire ceci comme racine carrée de neuf fois la racine carrée de deux. La racine carrée de neuf vaut trois. Donc, cela simplifie à trois fois racine carrée de deux. Remettons ce terme simplifié dans notre équation. Nous pouvons maintenant voir que les deux termes de notre numérateur partagent un facteur commun : la racine carrée de deux. Nous pouvons donc factoriser notre numérateur pour simplifier davantage l’équation.

Étant donné que nous avons un symbole plus ou moins dans notre équation, nous pouvons maintenant écrire nos deux solutions distinctes. Dans notre première solution, nous avons un plus trois, ce qui donne quatre. Nous pouvons alors annuler le quatre de notre numérateur et de notre dénominateur pour trouver que 𝑠 est égal à racine carrée de deux. Dans notre deuxième solution, nous avons un moins trois. Cela donne moins deux.

En simplifiant cela en divisant la moitié supérieure et inférieure de notre fraction par deux, nous trouvons que notre deuxième solution est 𝑠 égale moins racine carrée de deux sur deux. En nous souvenant que nous avons défini 𝑠 comme sinus thêta, nous pouvons réécrire ceci comme sinus thêta égale racine carrée de deux et sinus thêta égale moins racine carrée de deux sur deux. En passant, examinons une autre façon d’atteindre cette solution en factorisant l’équation d’origine.

En adoptant une approche familière, nous dessinons deux ensembles de parenthèses. Nous savons que le premier terme de chacune de nos parenthèses doit se multiplier pour donner le premier terme de notre expression du second degré. Cela fait deux 𝑠 au carré. Dans ce cas, il est assez facile de nous convaincre que les valeurs correctes sont deux 𝑠 et 𝑠 pour nos parenthèses. Le deuxième terme de chacune de nos parenthèses doit se multiplier pour donner le dernier terme de notre expression du second degré. C’est moins deux.

Il existe plusieurs façons d’atteindre le moins deux en multipliant deux entiers. En testant ces combinaisons, nous constatons qu’aucune d’entre elles ne se multiplie pour donner le bon terme moyen de l’équation, moins racine carrée de deux. Cela nous donne un indice que nous devrons peut-être envisager des solutions non entières qui se multiplient pour donner moins deux.

Dans ce cas, la factorisation correcte est deux 𝑠 plus racine carrée de deux fois 𝑠 moins racine carrée de deux. Maintenant que nous avons deux facteurs qui se multiplient pour donner zéro, nous pouvons poser chacune de nos parenthèses égale à zéro pour le résoudre. Dans le premier cas, nous avons deux 𝑠 plus racine carrée de deux égale zéro. Pour simplifier, nous pouvons enlever la racine carrée de deux des deux côtés, puis nous pouvons diviser par deux. Pour notre deuxième solution, nous avons 𝑠 moins racine carrée de deux égale zéro.

Pour simplifier, nous pouvons ajouter la racine carrée de deux des deux côtés. Et nous avons 𝑠 est égal à la racine carrée de deux. Encore une fois, en nous souvenant que nous avons défini 𝑠 comme sinus thêta, nous pouvons voir que ces deux solutions sont équivalentes aux solutions que nous avons trouvées auparavant. Il convient de noter que cette méthode n’est pas nécessaire si vous êtes plus à l’aise avec la formule du second degré.

Essayons enfin de déterminer les valeurs de thêta. Ici, nous avons la droite 𝑦 égale sinus thêta entre zéro et 360 degrés. Afin de trouver les points où sinus thêta est égal à racine carrée de deux, nous pouvons tracer une autre droite sur notre graphique en 𝑦 égal à racine carrée de deux. Au point où ces droites se croisent, 𝑦 sera égal à sinus thêta, qui sera égal à la racine carrée de deux comme requis par notre solution.

Nous pouvons tracer cette ligne plus facilement en reconnaissant que la racine carrée de deux est d’environ 1,4 à une décimale près. Maintenant que nous avons tracé cette droite sur notre graphique, nous pouvons voir qu’il n’y a aucun point que les deux droites traversent. Cela signifie que sinus thêta égale racine carrée de deux est indéfini, et nous pouvons ignorer cette solution pour notre question.

Concentrons-nous maintenant sur la recherche de l’autre solution, en traçant une droite en 𝑦 égale moins racine carrée de deux sur deux. Selon la même logique, les points d’intersection des deux droites nous donneront les solutions à la question. Nous pouvons voir plus facilement où cette droite se situera en reconnaissant que moins racine carrée de deux sur deux est approximativement égale à moins 0,7 à une décimale près. En regardant notre droite, nous pouvons voir que nous avons deux points d’intersection.

Nous pouvons mieux comprendre ces points d’intersection en rappelant l’un des rapports trigonométriques exacts. Puisque nous savons que le sinus de 45 degrés est égal à racine carrée de deux sur deux, nous pouvons observer ce point sur notre droite. Nous pouvons également combiner ce fait avec l’une des règles standard du sinus qui stipule que sinus thêta est égal au sinus de 180 moins thêta. En utilisant cette règle, nous pouvons voir que les valeurs de sinus 45 degrés et sinus 135 degrés sont les mêmes.

Nous pouvons donc dire que la valeur de sinus 135 degrés est aussi la racine carrée de deux sur deux, et cela peut être observé sur notre graphique. Imaginons maintenant qu’on décale notre droite 𝑦 égale sinus thêta de 180 degrés dans la direction plus thêta ; plus précisément, la partie de notre droite qui se situe entre zéro et 180 degrés. Avec cette transformation, chaque point de la droite se déplace également de 180 degrés dans la direction plus thêta. Cela signifie que notre point d’intersection de 45 degrés serait maintenant à 225 degrés et notre point d’intersection de 135 degrés serait maintenant à 315 degrés.

Maintenant, nous avons essentiellement atteint nos solutions. Nous pouvons voir qu’en raison de la symétrie d’un graphe sinusoïdal, les deux points que nous avons trouvés partagent leur valeur thêta avec nos deux points d’intersection originaux. Si nous devions effectuer une transformation finale de plus et refléter notre droite rose par rapport à l’axe des thêtas, nous verrions que nos deux points verts correspondent à nos deux intersections bleues. La manière formelle dont nous pouvons représenter cela est d’utiliser la formule suivante : moins sinus thêta égale sinus thêta plus 180 degrés.

Prenons le point de 45 degrés comme exemple et substituons-le. De cette équation, nous pouvons voir que moins sinus de 45 degrés est égal à sinus de 225 degrés. Puisque nous connaissons la valeur du sinus de 45 degrés, nous pouvons la substituer dans notre équation, et nous voyons que moins racine carrée de deux sur deux est bien sinus de 225 degrés. Cela correspond à la valeur que nous avons trouvée sur notre graphique. Et la même logique s’applique au point à 315 degrés.

Enfin, notons que la question nous donne un intervalle pour thêta. Et thêta devrait être supérieur ou égal à 180 degrés et strictement inférieur à 360 degrés. Ici, nous avons dessiné l’intervalle sur le graphique avec la droite continue à thêta égale 180 degrés, ce qui représente que 180 degrés est inclus dans l’intervalle, et une ligne pointillée à thêta égale à 360 degrés, représentant que 360 degrés n’est pas inclus dans l’intervalle.

Nous pouvons clairement voir que les valeurs que nous avons trouvées pour sinus thêta égale moins racine carrée de deux sur deux se situent dans l’intervalle et, par conséquent, sont des solutions valides. L’ensemble de valeurs qui satisfait donc l’équation est thêta égale 225 degrés et thêta égale 315 degrés.

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