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Vidéo de question : Décrire l’asymptote d’une fonction à partir de son graphique Mathématiques

On considère la courbe de la fonction 𝑓 (𝑥) = 1 / (𝑥 + 2). Qu’arrive-t-il à la fonction lorsque la valeur de 𝑥 se rapproche de -2 ? [A] La valeur de 𝑦 tend vers ∞ quand 𝑥 se rapproche de -2 du sens positif, et tend vers -∞ quand 𝑥 se rapproche de -2 du sens négatif. [B] La valeur de 𝑦 tend vers ∞ quand 𝑥 se rapproche de -2 du sens négatif ou du sens positif. [C] La valeur de 𝑦 tend vers −∞ quand 𝑥 se rapproche de -2 du sens négatif ou du sens positif. [D] La valeur de 𝑦 tend vers -∞ lorsque 𝑥 se rapproche de -2 du sens positif, et tend vers ∞ quand 𝑥 se rapproche de -2 du sens négatif.

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Transcription de vidéo

On considère la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à un divisé par 𝑥 plus deux. Qu’arrive-t-il à la fonction lorsque la valeur de 𝑥 se rapproche de moins deux ? Dans l’option (A), la valeur de 𝑦 tend vers ∞ quand 𝑥 se rapproche de moins deux du sens positif, et tend vers -∞ quand 𝑥 se rapproche de moins deux du sens négatif. Dans l’option (B), la valeur de 𝑦 tend vers ∞ quand 𝑥 se rapproche de moins deux du sens négatif ou du sens positif. Dans l’option (C), la valeur de 𝑦 tend vers −∞ quand 𝑥 se rapproche de -2 du sens négatif ou du sens positif. Dans l’option (D) la valeur de 𝑦 tend vers -∞ lorsque 𝑥 se rapproche de -2 du sens positif, et tend vers ∞ quand 𝑥 se rapproche de -2 du sens négatif.

Dans cette question, on nous donne le graphique d’une fonction telle que 𝑓 de 𝑥 est égal à un divisé par 𝑥 plus deux. Puisque cette fonction est le quotient de deux polynômes, nous pouvons dire que 𝑓 de 𝑥 est une fonction rationnelle. Nous voulons déterminer ce qui arrive à la courbe représentative de notre fonction lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins deux. Il y a plusieurs façons de procéder. Nous pourrions par exemple déterminer directement ce qui arrive à la valeur de notre fonction autour de 𝑥 est égal à moins deux en utilisant la fonction donnée. Nous pourrions par exemple également construire une table des valeurs de notre fonction pour des valeurs de 𝑥 de plus en plus proche de moins deux.

Cela n’est cependant pas nécessaire car on nous donne un graphique de la fonction. Dans le cas même où on ne nous donnerait pas un graphique de la fonction, nous pourrions simplement esquisser ce graphique en remarquant qu’il est obtenu par translation du graphique d’un sur 𝑥 de deux unités vers la gauche. Dans le graphique d’une fonction, l’abscisse 𝑥 de tout point de la courbe nous indique la valeur d’entrée et l’ordonnée 𝑦 correspondante de ce point nous indique la valeur de la fonction. Nous pouvons donc déterminer ce qui arrive à la valeur de cette fonction lorsque les valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins deux en regardant ce qui arrive aux ordonnées 𝑦 des points de la courbe lorsque les valeurs des abscisses 𝑥 correspondantes se rapprochent de moins deux à partir des deux sens.

Pour ce faire, commençons par esquisser la droite verticale 𝑥 est égale à moins deux sur le graphique donné. Nous pouvons voir que la courbe se rapproche de cette droite. Il s’agit donc d’une asymptote verticale de la fonction. Voyons maintenant ce qui arrive aux valeurs de la fonction lorsque 𝑥 se rapproche de moins deux des deux côtés. Commençons par le sens positif. Rappelez-vous qu’il s’agit du côté des valeurs positives de 𝑥. Lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins deux, nous pouvons voir que les valeurs de la fonction, c’est-à-dire les ordonnées 𝑦 des points de la courbe, deviennent de plus en plus grandes. Nous pouvons en fait voir que les ordonnées 𝑦 croissent sans limite. Ainsi, lorsque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins deux du sens positif, les valeurs de 𝑦 tendent vers ∞.

Nous pouvons faire exactement la même chose pour déterminer ce qui arrive aux valeurs de la fonction lorsque les valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins deux du sens négatif. Cette fois, les ordonnées 𝑦 des points de la courbe décroissent sans limite. Ils se rapprochent donc de moins ∞.

Sur les quatre options données, nous pouvons voir que ceci correspond uniquement à l’option (A). La valeur de 𝑦 tend vers ∞ quand 𝑥 se rapproche de moins deux du sens positif et tend vers moins ∞ quand 𝑥 se rapproche de moins deux du sens négatif.

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