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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble de solutions d’une inégalité du second degré Mathématiques

Déterminez l’intervalle décrivant toutes les solutions de l’inégalité 𝑥² ≤ 4.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’intervalle décrivant toutes les solutions de l’inégalité 𝑥 au carré inférieur ou égal à quatre.

Afin de résoudre toute inéquation du second degré, nous commençons par résoudre l’équation associée. Dans ce cas, nous résolvons 𝑥 au carré égal quatre. Une façon de résoudre ce problème consiste à prendre la racine carrée des deux membres de l’équation. Comme la racine carrée de quatre est égale à deux, 𝑥 est égal à plus ou moins deux.

Une autre méthode consisterait à soustraire quatre à chaque membre de l’équation. Cela nous donne 𝑥 au carré moins quatre égal zéro. Nous pouvons alors factoriser l’expression du second degré à l’aide de deux facteurs : 𝑥 plus deux et 𝑥 moins deux, car c’est la différence de deux carrés. Lorsque 𝑥 plus deux est égal à zéro, 𝑥 est égal à moins deux. Lorsque 𝑥 moins deux est égal à zéro, 𝑥 est égal à plus deux, soit deux. Nos deux solutions sont 𝑥 égal moins deux et 𝑥 égal plus deux.

Afin de trouver toutes les solutions de l’inéquation, il est alors utile de représenter graphiquement la fonction. Alors que nous pourrions tracer la courbe d’équation 𝑦 égal 𝑥 carré et voir quand c’est égal à quatre, il est plus facile de tracer la courbe d’équation 𝑦 égal 𝑥 carré moins quatre et de voir quand c’est égal à zéro. Lorsque le coefficient de 𝑥 au carré est positif, nous avons une parabole en forme de U. En revanche, si nous avions un coefficient négatif pour 𝑥 au carré, notre parabole serait en forme de n.

L’équation 𝑦 égal 𝑥 au carré moins quatre a une ordonnée à l’origine négative qui est moins quatre. La courbe coupe l’axe des abscisses 𝑥 à 𝑥 égal deux et à 𝑥 égal moins deux car ce sont les solutions de l’équation 𝑥 au carré moins quatre égal zéro. Le tracé lisse d’une telle courbe passant par ces points nous donne le graphique suivant.

Dans la question, nous voulions les points où 𝑥 au carré est inférieur ou égal à quatre. C’est la même chose que pour les solutions de 𝑥 au carré moins quatre inférieure ou égale à zéro. Cela se produit lorsque notre courbe est en-dessous de l’axe des abscisses 𝑥. Il s’agit de toutes les valeurs comprises entre moins deux et deux compris. Comme notre inégalité était inférieure ou égale à, nous utilisons des crochets. Cela signifie que ces valeurs 𝑛 sont comprises dans la solution.

L’intervalle qui décrit toutes les solutions de l’inégalité 𝑥 au carré inférieur ou égal à quatre est moins deux, deux.

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