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Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui prend les valeurs quatre, cinq, huit et 10. Sachant que la probabilité que la valeur de 𝑋 soit égale quatre est quatre sur 27, que la probabilité que 𝑋 soit égale cinq est cinq sur 27 et que la probabilité que 𝑋 soit égale huit est huit sur 27, déterminez l’espérance de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.
Il peut s'avérer utile de prendre les informations données et de les présenter sous forme de tableau. Ce n'est pas nécessaire, mais cela facilite le travail. La variable aléatoire 𝑋 peut prendre les valeurs quatre, cinq, huit et 10 et la probabilité que 𝑋 soit égale à quatre est de quatre sur 27, la probabilité que 𝑋 soit égale à cinq est de cinq sur 27 et la probabilité que 𝑋 soit égale à huit est de huit sur 27. La probabilité que 𝑋 soit égale à 10 est inconnue. Cependant, nous pouvons la calculer.
Rappelez-vous que la somme de toutes les probabilités de notre variable aléatoire discrète est égale à un. Nous pouvons donc trouver la probabilité que 𝑋 soit égale à 10 en soustrayant la somme de toutes les autres probabilités à un. Nous obtenons alors un moins la somme de quatre sur 27, cinq sur 27 et huit sur 27, soit un moins 17 sur 27.
Notez bien que un égale 27 sur 27. Nous pouvons donc soustraire 17 sur 27 à ce nombre pour trouver la probabilité que 𝑋 soit égal à 10. Ainsi, la probabilité que la valeur de 𝑋 soit 10 est de 10 sur 27.
Puisque nous disposons de toutes les probabilités, nous pouvons appliquer la formule de l’espérance de 𝑋. L'espérance de 𝑋 est la somme de chacune des valeurs possibles multipliée par la probabilité que chacun de ces résultats se réalise.
Substituons ce que nous avons dans cette formule. 𝑥 multipliée par la probabilité de 𝑋 pour la première colonne est quatre multiplié par quatre sur 27. Pour la deuxième colonne, nous avons cinq multiplié par cinq sur 27 ; pour la troisième, huit multiplié par 8 sur 27. Enfin, pour la quatrième colonne, nous avons 10 multiplié par 10 sur 27. Cela donne 16 sur 27 plus 25 sur 27 plus 64 sur 27 plus 100 sur 27. Soit un total de 205 sur 27.
Ainsi, la valeur l’espérance de 𝑋 est de 205 sur 27, qui est égale à 7.5925. Ce qui signifie que l’espérance de 𝑋, au centième près, est de 7.59.
Nous pouvons maintenant consulter notre tableau pour vérifier si cette réponse est susceptible d'être correcte. Les valeurs possibles de 𝑋 sont quatre, cinq, huit et 10. 7.59 est à mi-chemin entre quatre et 10. Par conséquent, la valeur 7.59 est probablement correcte pour la valeur de l'espérance 𝑋.
