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Vidéo de question : Déterminer l’équation de la normale à une courbe définie implicitement en un point donné Mathématiques

Déterminez l’équation de la normale à la courbe d’équation 4𝑦² = 𝑥⁴ en le point de coordonnées (2, -2).

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Transcription de vidéo

Déterminez l’équation de la normale à la courbe d’équation quatre 𝑦 au carré est égal à 𝑥 à la puissance quatre en le point de coordonnées deux, moins deux.

Dans cette question, on nous demande de déterminer l’équation de la droite qui est normale à la courbe quatre 𝑦 au carré est égal à 𝑥 à la puissance quatre au point deux, moins deux. Puisque la question veut que nous trouvions l’équation d’une droite, commençons par rappeler l’équation générale d’une droite. Celle-ci est donnée comme 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑥 un, avec 𝑚 la pente de notre droite et notre droite passe par le point 𝑥 un, 𝑦 un. Dans cette question, on nous donne en fait un point par lequel passe notre droite. On nous dit qu’elle passe par le point deux, moins deux. Ainsi, nous pouvons définir notre valeur de 𝑥 un égale à deux et notre valeur de 𝑦 un égale à moins deux.

Cela signifie que tout ce que nous devons faire pour trouver l’équation de notre droite normale est de trouver la valeur de notre pente 𝑚. C’est là que nous avons un problème. Nous pouvons voir qu’on ne nous donne pas 𝑦 comme une fonction de 𝑥 ; au lieu de cela, on nous donne quatre 𝑦 au carré est égal à 𝑥 à la puissance quatre. Ainsi, nous ne pouvons pas simplement trouver directement une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Nous allons devoir faire quelque chose de différent. Il y a plusieurs options différentes que nous pourrions faire ici. Une façon serait de réorganiser l’équation de notre courbe pour donner 𝑦 en fonction de 𝑥. Nous pouvons commencer par diviser les deux côtés de notre équation par quatre. Cela nous donne que 𝑦 au carré est égal à 𝑥 à la puissance quatre sur quatre. Nous voulons réorganiser cette équation pour donner 𝑦 en tant que fonction dans 𝑥, nous allons donc prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation.

Cependant, nous devons être prudents ici. Rappelez-vous, nous allons obtenir une racine carrée positive et négative. Cela nous donne que 𝑦 est égal à plus ou moins la racine carrée de 𝑥 à la puissance quatre sur quatre. A ce stade, nous pourrions être inquiets parce que nous ne savons pas comment dériver une expression avec un signe positif et un signe négatif. Cependant, nous essayons de trouver l’équation de notre droite normale avec notre courbe au point deux, moins deux. Pour ce faire, nous devons déterminer la pente de notre courbe au point deux, moins deux. Pour ce point, nous pouvons voir que la coordonnée 𝑦 est égale à moins deux. Cela signifie que nous devons prendre la racine carrée négative. Ainsi, à ce stade, nous devons avoir que 𝑦 est égal à moins la racine carrée de 𝑥 à la puissance quatre sur quatre.

Bien sûr, nous pouvons simplifier cela en calculant la racine carrée du numérateur et notre dénominateur. Cela nous donne que 𝑦 est égal à moins 𝑥 au carré sur deux. Il convient de souligner que cela ne sera vrai que si nos valeurs de 𝑦 sont inférieures ou égales à zéro, ce qui est vrai pour le point qui nous intéresse. Maintenant, nous allons devoir nous rappeler comment trouver la pente d’une droite normale par rapport à une courbe en un point. Bien, la droite normale à la courbe en ce point doit être perpendiculaire à la droite tangente à la courbe en ce point. Ainsi, au lieu de trouver directement la pente de notre droite normale, trouvons plutôt la pente de la droite tangente en ce point.

Rappelez-vous, pour trouver la pente d’une droite tangente à une courbe en un point, nous devons trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Nous devons donc dériver notre courbe par rapport à 𝑥. Nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 est égal à la dérivée de moins 𝑥 au carré sur deux par rapport à 𝑥. Nous pouvons calculer la dérivée de cette expression en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous voulons multiplier par notre exposant de 𝑥 et réduire cet exposant de un. Cela nous donne moins deux 𝑥 à la puissance un sur deux. Nous pouvons simplifier cela pour nous donner simplement 𝑥.

Maintenant, nous voulons utiliser la valeur 𝑥 égale deux dans cette expression. Cela nous donne que la pente de la tangente à la courbe d’équation quatre 𝑦 au carré est égal à 𝑥 à la puissance quatre au point deux, moins deux est moins deux. Seulement, rappelez-vous, nous ne cherchons pas la pente de la tangente en ce point. Nous voulons la pente de la droite normale en ce point. Pour ce faire, il suffit de rappeler que pour trouver la pente d’une droite normale à une courbe en un point sachant la pente de sa droite tangente, nous prenons simplement l’inverse négatif de cette valeur. En d’autres termes, la pente de notre droite normale sera moins un divisé par moins deux. Nous pouvons calculer cela, cela donne juste un-demi.

Il y a quelques points qui méritent d’être soulignés ici. Premièrement, si la pente de notre droite tangente avait été égale à zéro, nous n’aurions pas pu utiliser cette formule pour trouver la pente de notre droite normale. Dans ce cas, si la pente de notre droite tangente était nulle, cela nous dirait que notre droite tangente est horizontale. Si notre droite tangente est horizontale, alors, pour que notre droite normale soit perpendiculaire à celle-ci, elle doit être verticale. Nous pourrions alors utiliser cette information pour trouver l’équation de notre droite normale. En fait, nous pourrions dire quelque chose de très similaire dans la direction opposée. Si notre droite tangente était verticale, alors nous saurions aussi que notre droite normale doit être horizontale. Cependant, ce n’est pas le cas dans cette question.

Tout ce que nous devons faire maintenant est d’utiliser nos valeurs de 𝑥 un, 𝑦 un et la pente 𝑚 dans l’équation de notre droite. En utilisant 𝑥 un est égal à deux, 𝑦 un est égal à moins deux et 𝑚 est égal à un demi dans l’équation de notre droite, nous obtenons que 𝑦 moins moins deux est égal à un demi multiplié par 𝑥 moins deux est l’équation de notre droite normale. Nous pouvons simplifier cette expression. Tout d’abord, au côté gauche de notre équation, soustraire moins deux revient à ajouter deux. Ensuite, à droite de notre équation, nous allons distribuer un demi sur nos parenthèses. Cela nous donne 𝑥 sur deux moins un. La dernière chose que nous allons faire est de soustraire deux des deux côtés de notre équation. Cela nous donne notre réponse finale de 𝑦 est égal à 𝑥 sur deux moins trois.

Par conséquent, nous avons pu trouver l’équation de la droite normale à la courbe quatre 𝑦 au carré est égal à 𝑥 à la puissance quatre au point deux, moins deux. Nous avons pu montrer que son équation est 𝑦 est égal à 𝑥 sur deux moins trois.

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