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Vidéo de la leçon : Transformations de fonctions : Réflexion Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre la réflexion d’un graphique par rapport à l’axe des 𝑥 ou des 𝑦, à la fois graphiquement et algébriquement.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre la réflexion d’un graphique par rapport à l’axe des 𝑥 ou des 𝑦, à la fois graphiquement et algébriquement. Il est possible de refléter toute fonction par rapport à toute droite de la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Cependant, cette vidéo s’intéressera à ce que devient un graphique après symétrie par rapport à l’axe des 𝑥 ou l’axe des 𝑦. Commençons par examiner l’interprétation algébrique d’une symétrie. Considérons une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, tracée sur le plan 𝑥𝑦 standard, alors on peut faire une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥 en utilisant la fonction 𝑦 égale moins 𝑓 de 𝑥 et une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦 en utilisant la fonction 𝑦 égale 𝑓 de moins 𝑥.

Réalisons maintenant ces deux types de symétries sur une fonction du second degré. Ce graphique représente la fonction du second degré 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus trois. En fixant la fonction à zéro, on trouve deux racines : lorsque 𝑥 vaut un ou trois. La symétrie de cette fonction par rapport à l’axe des 𝑥 est la symétrie par rapport à la droite horizontale 𝑦 égale zéro. En pratique, ça consiste tout simplement à retourner le graphique autour de l’axe horizontal. Comme on l’a dit précédemment, on sait que cela correspond à la fonction moins 𝑓 de 𝑥, car multiplier chaque valeur de la fonction par moins un intervertit les valeurs positives et négatives de 𝑦. Les points sont à égale distance de l’axe des 𝑥 mais du côté opposé. Dans ce cas, on obtient l’opposé de 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 plus trois.

En simplifiant le côté droit, on obtient moins 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins trois. On peut voir sur le graphique que les racines sont les mêmes. Les racines de moins 𝑓 de 𝑥 sont 𝑥 égale un et 𝑥 égale trois. On remarque que le signe du terme de degré deux est passé de positif à négatif. On sait que cela est correct, car la fonction initiale était en forme de U, mais la fonction obtenue par symétrie est en forme de n. On peut également refléter la fonction initiale par rapport à l’axe des 𝑦, c’est-à-dire la droite d’équation 𝑥 égale zéro. Cette transformation affecte les racines. En effet, elles changent de signe. Les racines de notre nouvelle fonction quadratique sont 𝑥 égale moins un et 𝑥 égale moins trois. On sait que cette nouvelle fonction est 𝑓 de moins 𝑥, car multiplier chaque valeur de 𝑥 par moins un intervertit les valeurs positives et négatives. Les points sont à égale distance de l’axe des 𝑦 mais du côté opposé.

En remplaçant les termes en 𝑥 dans la fonction initiale par moins 𝑥, on obtient moins 𝑥 au carré moins quatre fois moins 𝑥 plus trois. Cela se simplifie en 𝑥 carré plus quatre 𝑥 plus trois. Il s’agit d’un graphique quadratique en forme de U ayant pour racines moins un et moins trois. On va maintenant répondre à une question spécifique qui emploie une fonction du second degré.

Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins un le tout au carré plus deux, où 𝑥 est supérieur ou égal à un. Cette question comporte trois parties. Laquelle de ces courbes représente la fonction 𝑓 de 𝑥 ? Laquelle de ces courbes représente la symétrie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à l’axe des 𝑥 ? Et laquelle de ces courbes représente la symétrie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à l’axe des 𝑦 ?

Sur la figure, il y a cinq courbes nommées de (A) à (E). Il faut d’abord identifier quelle courbe représente la fonction 𝑥 moins un au carré plus deux, avec 𝑥 compris dans l’intervalle fermé à gauche en un et ouvert à droite en l’infini. On peut immédiatement exclure les réponses (B) et (D) car elles sont définies sur l’intervalle moins l’infini à moins un. Pour déterminer laquelle des trois autres courbes représente la fonction, on peut examiner le comportement de la fonction pour une valeur particulière. Il est judicieux de commencer par les valeurs limites. Dans ce cas, on va calculer 𝑓 de un. Lorsque 𝑥 vaut un, 𝑓 de 𝑥 vaut un moins un le tout au carré plus deux. Cela donne deux, ce qui signifie que la courbe de la fonction doit passer par le point un, deux. Ce n’est vrai que pour la courbe C. La courbe qui représente la fonction 𝑓 de 𝑥 est (C).

La deuxième partie de notre question demande laquelle des courbes représente la symétrie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à l’axe des 𝑥. La symétrie du point un, deux par rapport à l’axe des 𝑥 donne le point un, moins deux. Il est donc clair que c’est la courbe A qui représente la symétrie de 𝑓 de 𝑥 par l’axe des 𝑥. La symétrie du point un, deux par l’axe des 𝑥 donne le point moins un, deux. Cela confirme que la courbe B est la symétrie de 𝑓 de 𝑥 par l’axe des 𝑦. Nos trois réponses sont (C), (A) et (B).

La question suivante demande de trouver la bonne symétrie sans connaître la formule explicite de la fonction.

Voici le graphique de 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥. Laquelle des courbes suivantes représente 𝑔 de moins 𝑥 ? Est-ce la courbe A, B ou C ?

Commençons par rappeler que la courbe de 𝑔 de moins 𝑥 est la symétrie par rapport à l’axe des 𝑦 de la courbe de 𝑔 de 𝑥. On peut voir sur le graphique de 𝑔 de 𝑥 que cette fonction a pour racines 𝑥 égale moins trois et 𝑥 égale deux. On sait que la réflexion d’une fonction par l’axe des 𝑦 inverse le signe des racines. Cela signifie que les racines de 𝑔 de moins 𝑥 sont 𝑥 égale moins deux et 𝑥 égale trois. On peut donc éliminer la réponse (A). Il s’agit en effet de la symétrie de 𝑔 de 𝑥 par rapport à l’axe des 𝑥. La fonction 𝑔 de 𝑥 coupe l’axe des 𝑦 en 1,2 approximativement. La symétrie d’une fonction par rapport à l’axe des 𝑦 ne modifie pas son ordonnée à l’origine. Cela signifie qu’on peut également éliminer la réponse (C).

La réponse est donc (B). Elle correspond à la représentation graphique de la fonction 𝑔 de moins 𝑥 car l’intersection avec l’axe des 𝑦 est inchangée et les racines ont changé de signe.

La prochaine question demande de trouver l’équation d’une fonction à partir du graphique de sa symétrie par rapport un axe.

Le graphique linéaire suivant représente la fonction 𝑔 de 𝑥 après symétrie par rapport à l’axe des 𝑦. Trouvez la fonction initiale 𝑓 de 𝑥.

Il existe plusieurs façons d’aborder ce problème. Une méthode consiste à trouver l’équation de la fonction 𝑔 de 𝑥 représentée par le graphique. Comme il s’agit d’une fonction linéaire, on sait qu’elle peut s’écrire sous la forme 𝑦 égale à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est le coefficient directeur et 𝑏 l’ordonnée à l’origine. On voit sur le graphique que la droite coupe l’axe des 𝑦 en moins quatre. On sait que le coefficient directeur ou la pente d’une droite se calcule en divisant la différence des 𝑦 par la différence des 𝑥. En choisissant sur la droite les deux points moins quatre, quatre et moins deux, zéro, on trouve une pente de moins quatre sur deux. Ce qui donne moins deux. La fonction 𝑔 de 𝑥 a pour équation moins deux 𝑥 moins quatre. On nous dit que 𝑔 de 𝑥 est la symétrie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à l’axe des 𝑦. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 est aussi la symétrie de 𝑔 de 𝑥 par rapport à l’axe des 𝑦.

Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑔 de moins 𝑥. La fonction 𝑓 de 𝑥 vaut donc moins deux multiplié par moins 𝑥 moins quatre. Cela se simplifie pour donner deux 𝑥 moins quatre. La fonction linéaire initiale 𝑓 de 𝑥 a pour équation deux 𝑥 moins quatre. Une autre méthode consisterait à tracer le symétrique de 𝑔 de 𝑥 sur le graphique. On sait que la symétrie d’une courbe par rapport à l’axe des 𝑦 ne change pas son point d’intersection avec l’axe des 𝑦, mais les racines changent de signe. Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 coupera encore l’axe des 𝑦 en moins quatre et coupera l’axe des 𝑥 en plus deux. Comme cette droite a une pente, ou bien un coefficient directeur, égale à deux et qu’elle coupe l’axe des 𝑦 en moins quatre, elle a pour équation deux 𝑥 moins quatre. Cela confirme la réponse trouvée avec la première méthode.

Examinons maintenant un dernier exemple dans lequel nous utiliserons un tableau de valeurs pour identifier la symétrie axiale d’une fonction.

Considérons le tableau suivant de la fonction 𝑓 de 𝑥. Les valeurs 𝑥 vont de un à quatre et les valeurs associées 𝑓 de 𝑥 vont aussi de un à quatre. Choisissez le tableau de la fonction symétrique 𝑔 de 𝑥 par rapport à l’axe des 𝑦.

On a le choix entre cinq réponses, de (A) à (E). Après avoir dégagé un peu d’espace, nous tracerons les points du plan dont les coordonnées sont données par le tableau. Le tableau donne les coordonnées de quatre points de la fonction 𝑓 : les points un, un ; deux, deux ; trois, trois ; et quatre, quatre. On nous dit que la fonction 𝑔 est la symétrie de 𝑓 par rapport à l’axe des 𝑦. La symétrie de chacun des points de 𝑓 de 𝑥 par l’axe des 𝑦 donne les points de coordonnées moins un, un ; moins deux, deux ; moins trois, trois ; et moins quatre, quatre. Les abscisses 𝑥 changent de signe et les ordonnées 𝑦 restent les mêmes. 𝑔 de 𝑥 a des valeurs de 𝑥 égales à moins un, moins deux, moins trois et moins quatre et les valeurs correspondantes de 𝑔 de 𝑥, ou bien 𝑦, sont un, deux, trois et quatre. Parmi les cinq options énumérées à l’origine, il s’agissait de l’option (D).

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Si nous considérons que toute fonction 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥, alors une symétrie par rapport à l’axe 𝑥 est donnée par moins 𝑓 de 𝑥 et une symétrie par rapport à l’axe 𝑦 est représentée par 𝑓 de moins 𝑥. Refléter par rapport à l’axe des 𝑥 ne change pas les racines d’une fonction, mais change le signe de l’ordonnée à l’origine 𝑦. Ce sera le contraire pour la symétrie par rapport à l’axe des 𝑦. Cela change le signe des racines mais ne change pas l’ordonnée à l’origine 𝑦. Bien qu’elle n’ait pas été abordée dans cette vidéo, une symétrie combinée par rapport à l’axe des 𝑥 puis par rapport à l’axe des 𝑦 ou vice versa est représentée par 𝑦 égale moins 𝑓 de moins 𝑥. Il convient également de noter que lors d’une symétrie par rapport à des droites autres que l’axe des 𝑥 ou des 𝑦, d’autres approches sont nécessaires et l’interprétation algébrique n’est pas aussi simple.

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