Vidéo question :: Comprendre les propriétés des repères orthonormés, orthogonaux et quelconques Mathématiques

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À partir de la figure ci-dessous, complétez les phrases suivantes. Le repère 𝐴 ; 𝐵, 𝐷 est … ? Est-ce (A) orthonormé, (B) orthogonal mais non orthonormé ou (C) quelconque ?

Il y a ensuite deux autres questions impliquant différents repères. Commençons par rappeler les définitions des repères orthonormé, orthogonal et quelconque. Dans un repère quelconque, les droites 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽, qui représentent respectivement les axes des abscisses et des ordonnées, ne sont pas perpendiculaires. Dans un repère orthogonal en revanche, les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires. Enfin, dans un repère orthonormé, les droites 𝑂𝐼 et 𝑂𝐽 représentant les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires. De plus, la longueur du segment OI, l’unité de longueur de l’axe des abscisses, est égale à la longueur du segment OJ, qui représente l’unité de longueur de l’axe des ordonnées.

Considérons maintenant le repère 𝐴 ; 𝐵, 𝐷 sur la figure. Lorsque le repère est écrit avec cette notation, la première lettre, dans ce cas 𝐴, représente l’origine. La droite passant par les points 𝐴 et 𝐵 est l’axe des abscisses, et la longueur du segment 𝐴𝐵 est l’unité de longueur le long de l’axe des abscisses. De la même manière, la droite passant par les points 𝐴 et 𝐷 est l’axe des ordonnées et la longueur du segment 𝐴𝐷 est l’unité de longueur le long de l’axe des ordonnées. Puisque les deux axes sont perpendiculaires, cela exclut l’option (C). Et comme 𝐴𝐵𝐹𝐷 est un carré, cela signifie que les unités de longueur selon les axes des abscisses et des ordonnées sont égales, il s’agit donc d’un repère orthonormé. Le repère 𝐴 ; 𝐵, 𝐷 est orthonormé.

Considérons maintenant la deuxième question. Nous considérons cette fois le repère 𝐴 ; 𝐶, 𝐷. Le point 𝐴 est à nouveau l’origine. La droite passant par les points 𝐴 et 𝐶 est l’axe des abscisses, et la longueur du segment 𝐴𝐶 est l’unité de longueur le long de l’axe des abscisses. Comme pour la première question, la droite passant par les points 𝐴 et 𝐷 est l’axe des ordonnées, et la longueur du segment 𝐴𝐷 est l’unité de longueur le long de l’axe des ordonnées. Ces deux axes sont encore une fois perpendiculaires, donc le repère n’est pas quelconque.

Dans ce cas cependant, les unités de longueur selon les axes abscisses et des ordonnées ne sont pas égales. La longueur du segment 𝐴𝐶 est en fait le double de la longueur du segment 𝐴𝐷. Cela signifie que le repère n’est pas orthonormé et nous pouvons donc conclure que la bonne réponse est la réponse (B) : orthogonal. Le repère 𝐴 ; 𝐶, 𝐷 est orthogonal.

Passons maintenant à la troisième et dernière partie de cette question. Nous devons cette fois considérer le repère 𝐵 ; 𝐶, 𝐷.

L’origine est maintenant située au point 𝐵. La droite passant par les points 𝐵 et 𝐶 est l’axe des abscisses, et l’unité de longueur selon cet axe est la longueur du segment 𝐵𝐶. La droite passant par les points 𝐵 et 𝐷 est l’axe des ordonnées, et l’unité de longueur selon cet axe est égale à la longueur du segment 𝐵𝐷. Il est visible sur la figure que l’angle 𝐶𝐵𝐷 n’est pas un angle droit. Cela signifie que les axes des abscisses et des ordonnées ne sont pas perpendiculaires et donc que le repère est quelconque. Nous pouvons ainsi conclure que le repère 𝐵 ; 𝐶, 𝐷 est quelconque.

Nous avons maintenant complété les trois phrases. Le repère 𝐴 ; 𝐵, 𝐷 est orthonormé, le repère 𝐴 ; 𝐶, 𝐷 est orthogonal et le repère 𝐵 ; 𝐶, 𝐷 est quelconque.