Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre les bases des équations
diffĂ©rentielles. Nous verrons dâabord ce quâest une Ă©quation diffĂ©rentielle et comment
elle pourrait survenir dans des problĂšmes physiques dans les
domaines des mathématiques et de la physique. Nous allons introduire la terminologie associée aux équations
diffĂ©rentielles. Et dans le contexte dâexemples, nous verrons comment classer les
équations différentielles selon leur type et leur ordre.
Commençons par voir ce quâest une Ă©quation diffĂ©rentielle. Eh bien, câest juste une Ă©quation qui contient une fonction et une ou
plusieurs de ses dérivées par rapport à une variable
indĂ©pendante. Par exemple, lâĂ©quation dđŠ par dđ„ plus đŠ Ă©gale trois đ„ est une
Ă©quation diffĂ©rentielle. Ici, đŠ est la fonction qui nous intĂ©resse. Câest une fonction de la variable indĂ©pendante đ„ et lâĂ©quation comprend
la dĂ©rivĂ©e premiĂšre de đŠ par rapport Ă đ„.
Il existe également des équations différentielles bien plus
compliquĂ©es. Par exemple, lâĂ©quation d deux đŠ par dđ„ au carrĂ© plus quatre đŠ fois
dđŠ par dđ„ le tout au carrĂ© plus trois đŠ Ă©gale sin đ„. Cette Ă©quation diffĂ©rentielle comprend non seulement une dĂ©rivĂ©e premiĂšre
dđŠ par dđ„ qui est au carrĂ©, mais Ă©galement la dĂ©rivĂ©e seconde de
đŠ par rapport Ă đ„, d deux đŠ par dđ„ au carrĂ©. Nous avons donc une Ă©quation qui contient une fonction đŠ, et sa dĂ©rivĂ©e
premiĂšre dđŠ par dđ„, ainsi que sa dĂ©rivĂ©e seconde d deux đŠ par dđ„
au carré.
Le premier de ces deux exemples est connu sous le nom dâĂ©quation
différentielle du premier ordre car la dérivée du plus grand ordre
quâelle contient est une dĂ©rivĂ©e premiĂšre, la dĂ©rivĂ©e premiĂšre de đŠ
par rapport Ă đ„, dđŠ par dđ„. Le deuxiĂšme exemple est connu sous le nom dâĂ©quation diffĂ©rentielle
dâordre deux, car la dĂ©rivĂ©e dâordre le plus Ă©levĂ© quâelle contient
est une dĂ©rivĂ©e seconde, d deux đŠ sur d đ„ au carrĂ©. Plus gĂ©nĂ©ralement, les Ă©quations diffĂ©rentielles peuvent ĂȘtre classĂ©es en
fonction de la dĂ©rivĂ©e dâordre le plus Ă©levĂ© quâelles
contiennent. Ainsi, une Ă©quation diffĂ©rentielle dans laquelle la dĂ©rivĂ©e dâordre le
plus Ă©levĂ© est une dĂ©rivĂ©e dâordre đ serait classĂ©e comme une
Ă©quation diffĂ©rentielle dâordre đ.
Des exemples dâĂ©quations diffĂ©rentielles apparaissent dans beaucoup de
problĂšmes physiques. Par exemple, une simple croissance dĂ©mographique, oĂč le taux
dâaugmentation de la population đ est proportionnel Ă la population
elle-mĂȘme. Et cela peut ĂȘtre modĂ©lisĂ© par lâĂ©quation diffĂ©rentielle dđ par dđĄ
Ă©gale đđ. Ici, đĄ reprĂ©sente le temps et đ sâappelle la constante de
proportionnalité.
à présent, cette vidéo ne permet pas de voir comment nous pourrions
résoudre une équation différentielle de ce type. Mais en fait, si nous avions la condition initiale que la population au
temps zĂ©ro soit Ă©gale Ă une valeur đ zĂ©ro, alors on peut montrer
que la solution à cette équation différentielle serait que la
population au temps đĄ soit Ă©gale Ă đ zĂ©ro fois đ Ă la puissance
đđĄ. La population augmente donc de maniĂšre exponentielle.
Maintenant, pour résoudre une équation différentielle en général, nous
devons trouver une expression pour la variable dépendante, qui dans
ce cas serait đ, en fonction dâune variable indĂ©pendante, qui
serait ici đĄ. La solution est une fonction telle que cette fonction et ses dĂ©rivĂ©es
vĂ©rifient lâĂ©quation diffĂ©rentielle. Maintenant, gĂ©nĂ©ralement, lorsque nous rĂ©solvons une Ă©quation
diffĂ©rentielle, nous nâobtenons pas une solution unique, mais un
groupe de solutions qui vĂ©rifieront toutes lâĂ©quation diffĂ©rentielle
mais différeront les unes des autres selon la valeur de toutes les
constantes.
Si nous recevons également des informations supplémentaires, comme ici la
valeur de la population au temps zéro, nous pouvons déterminer les
valeurs de ces constantes et obtenir ainsi une solution particuliĂšre
Ă lâĂ©quation diffĂ©rentielle. Cette information supplĂ©mentaire est appelĂ©e condition aux limites ou
parfois condition initiale si elle spécifie la valeur de la fonction
lorsque la valeur de la variable indépendante est zéro.
Cependant, la rĂ©solution dâĂ©quations diffĂ©rentielles nâest pas lâobjectif
de cette vidéo. Nous nous concentrons plutÎt sur leur compréhension et leur
classification. Nous allons cependant envisager un exemple sur comment nous pouvons
confirmer quâune fonction donnĂ©e satisfait vraiment Ă une Ă©quation
différentielle.
Est-ce que la fonction đŠ Ă©gale un sur deux plus đ„ est une solution de
lâĂ©quation diffĂ©rentielle đŠ prime Ă©gale moins đŠ au carrĂ© ?
Rappelez-vous que đŠ prime est une autre façon de dire dđŠ par dđ„, la
dĂ©rivĂ©e premiĂšre de đŠ par rapport Ă đ„. On nous donne donc une Ă©quation diffĂ©rentielle dâordre un et on nous
demande de dĂ©terminer si la fonction đŠ est une solution de
lâĂ©quation. Autrement dit, nous devons savoir si la fonction đŠ satisfait Ă cette
Ă©quation.
Commençons par dĂ©terminer ce que đŠ prime, ou dđŠ par dđ„, Ă©gale pour
cette fonction đŠ. Et pour ce faire, nous pouvons dâabord exprimer đŠ sous une forme
alternative. Nous pouvons lâĂ©crire comme deux plus đ„ Ă la puissance moins un. Nous pouvons ensuite trouver cette dĂ©rivĂ©e en utilisant la rĂšgle de
puissance, qui dit que si nous avons une fonction đ de đ„ Ă la
puissance đ, sa dĂ©rivĂ©e par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă đ fois đ
prime de đ„ fois đ de đ„ Ă la puissance đ moins un.
Ici, notre fonction đ de đ„ est deux plus đ„, et notre puissance đ est
moins un. Donc en appliquant la rĂšgle de puissance, nous avons đ, qui est moins
un, fois la dĂ©rivĂ©e de deux plus đ„, qui est un, multipliĂ© par đ de
đ„. Câest deux plus đ„, Ă la puissance đ moins un. Donc, câest la puissance moins deux. Nous pouvons alors rĂ©Ă©crire ceci comme moins un sur deux plus đ„ le tout
au carré. Donc, nous savons ce que le membre gauche de cette équation
diffĂ©rentielle serait pour cette fonction đŠ.
Ă droite, nous avons moins đŠ au carrĂ©. Donc, câest la fonction dâorigine đŠ Ă©levĂ©e au carrĂ© puis multipliĂ©e par
moins un, ce qui Ă©quivaut Ă moins un sur deux plus đ„ le tout au
carré. Pour élever une fraction au carré, nous pouvons élever le numérateur et
le dĂ©nominateur tous deux au carrĂ©. Donc, nous avons moins un au carrĂ©, qui est un, sur deux plus đ„ le tout
carré.
Maintenant, nous comparons nos expressions pour đŠ prime et moins đŠ au
carrĂ©. Et nous voyons quâelles sont toutes les deux Ă©gales Ă moins un sur deux
plus đ„ le tout au carrĂ©. Ainsi, elles sont vraiment Ă©gales entre elles. Cela nous dit que la fonction đŠ Ă©gale un sur deux plus đ„ satisfait Ă
lâĂ©quation diffĂ©rentielle donnĂ©e et, par consĂ©quent, câest une
solution.
Nous allons maintenant voir quelques autres exemples pour introduire la
terminologie nécessaire pour décrire la grande variété des autres
types dâĂ©quations diffĂ©rentielles que nous pouvons rencontrer.
DĂ©terminez lâordre de lâĂ©quation diffĂ©rentielle d deux đŠ par dđ„ au
carrĂ© au cube moins đŠ triple prime Ă la puissance quatre plus đ„
égale zéro.
Nous rappelons dâabord que lâordre dâune Ă©quation diffĂ©rentielle est
lâordre de la dĂ©rivĂ©e de plus grand ordre qui apparaĂźt dans cette
Ă©quation. Nous pouvons voir en un coup dâĆil que cette Ă©quation diffĂ©rentielle
implique une dĂ©rivĂ©e seconde, d deux đŠ par dđ„ au carrĂ©. Mais si nous regardons un peu plus prĂšs, nous voyons que lâĂ©quation
contient Ă©galement đŠ triple prime, qui est une notation alternative
pour la dĂ©rivĂ©e troisiĂšme. La dĂ©rivĂ©e de plus grand ordre est trois. Et par consĂ©quent, lâordre de cette Ă©quation diffĂ©rentielle est
trois.
Maintenant, ne vous laissez pas tromper par les puissances ici. Câest la puissance trois avec la dĂ©rivĂ©e seconde et la puissance quatre
avec la dĂ©rivĂ©e troisiĂšme. Lâordre dâune Ă©quation diffĂ©rentielle nâest pas la puissance la plus
Ă©levĂ©e de la variable ou de lâune de ses dĂ©rivĂ©es qui apparaĂźt dans
lâĂ©quation. Câest lâordre de la dĂ©rivĂ©e de plus grand ordre dans lâĂ©quation. Ainsi, cette puissance trois pour le premier terme et cette puissance
quatre pour le deuxiĂšme terme nâont absolument rien Ă voir avec la
dĂ©termination de lâordre de lâĂ©quation diffĂ©rentielle.
Dans notre exemple suivant, nous apprendrons la différence entre les
équations différentielles linéaires et non linéaires.
Est-ce que lâĂ©quation diffĂ©rentielle dđŠ par dđ„ plus đ„ racine đŠ Ă©gale
đ„ au carrĂ© est linĂ©aire ?
Une Ă©quation diffĂ©rentielle linĂ©aire est une Ă©quation qui peut ĂȘtre
exprimĂ©e sous la forme dâun polynĂŽme linĂ©aire de la fonction
inconnue, dans ce cas đŠ et ses dĂ©rivĂ©es. Cela signifie que les seules puissances de la fonction inconnue et de
chaque dĂ©rivĂ©e qui apparaĂźt dans lâĂ©quation sont un ou zĂ©ro si
lâĂ©quation ne contient pas une dĂ©rivĂ©e de cet ordre. Et aussi chaque dĂ©rivĂ©e et la fonction elle-mĂȘme sont multipliĂ©es par des
fonctions de đ„ seulement.
Ainsi, par exemple, lâĂ©quation deux fois dđŠ sur dđ„ plus quatre đ„đŠ
Ă©gale trois đ„ serait un exemple dâĂ©quation diffĂ©rentielle
linĂ©aire. Parce que la puissance de đŠ et celle de dđŠ par dđ„ est un et elles sont
chacune multipliĂ©es par une fonction de đ„ seulement. Alors que lâĂ©quation deux fois dđŠ par dđ„ plus quatre đ„ sur đŠ Ă©gale
trois đ„ est non linĂ©aire comme dans le deuxiĂšme terme, la puissance
de đŠ est moins un. LâĂ©quation quatre đ„ d deux đŠ par dđ„ au carrĂ© plus deux đŠ d đŠ par dđ„
égale sept est également non linéaire comme dans le deuxiÚme terme,
nous voyons que dđŠ par dđ„ est multipliĂ©e par une fonction de đŠ,
pas une fonction pure de đ„.
Plus formellement, on peut dire quâune Ă©quation diffĂ©rentielle est
linĂ©aire si elle peut ĂȘtre exprimĂ©e sous la forme montrĂ©e sur
lâĂ©cran. Chaque dĂ©rivĂ©e dâordre đ de đŠ et la fonction đŠ elle-mĂȘme est
multipliĂ©e par un polynĂŽme dans đ„ uniquement. Alors, considĂ©rons lâĂ©quation diffĂ©rentielle qui nous a Ă©tĂ© donnĂ©e. Et nous pouvons voir que cela inclut la racine carrĂ©e de đŠ. Maintenant, une autre façon dâexprimer la racine carrĂ©e de đŠ Ă©gale đŠ Ă
la puissance un demi. Et ainsi, cette équation différentielle est non linéaire, car la
puissance đŠ nâĂ©gale pas un.
Notez maintenant que ce nâest pas la prĂ©sence du terme đ„ au carrĂ© au
membre droit qui rend cette équation différentielle non
linĂ©aire. đ„ est la variable indĂ©pendante dans cette Ă©quation. Et ce ne sont que les puissances de la variable dĂ©pendante et de ses
dĂ©rivĂ©es, câest-Ă -dire đŠ et dđŠ par dđ„ et ainsi de suite, qui
doivent toutes ĂȘtre Ă©gales Ă un pour que lâĂ©quation soit
linéaire.
Dans notre dernier exemple, nous allons connaßtre la différence entre les
équations différentielles ordinaires et partielles.
Laquelle des relations suivantes est une équation différentielle
ordinaire ?
Rappelons tout dâabord quâune Ă©quation diffĂ©rentielle contient une
fonction et une ou plusieurs de ses dérivées par rapport à une
variable indĂ©pendante. Si nous considĂ©rons la premiĂšre Ă©quation, tout dâabord, đ§ Ă©gale cinq
đ„đŠ, nous voyons quâelle ne contient pas de dĂ©rivĂ©s. Et donc, ce nâest pas une Ă©quation diffĂ©rentielle. Câest simplement une Ă©quation reliant les trois variables đ„, đŠ et
đ§. Nous pouvons donc exclure lâoption A.
De la mĂȘme maniĂšre, si nous considĂ©rons la derniĂšre Ă©quation đŠ Ă©gale la
racine carrĂ©e de đ„ au carrĂ© moins quatre, il ne sâagit pas non plus
dâune Ă©quation diffĂ©rentielle, car elle ne contient aucune
dĂ©rivĂ©e. Elle exprime simplement la relation entre les variables đ„ et đŠ. Il ne nous reste donc plus que deux possibilitĂ©s, B et C. En considĂ©rant la deuxiĂšme Ă©quation, nous voyons quâelle contient une
variable inconnue đŠ et sa dĂ©rivĂ©e par rapport Ă une variable
indĂ©pendante đ„. Donc, celle-ci est un exemple dâĂ©quation diffĂ©rentielle.
Mais la question ne nous demande pas de juste déterminer laquelle est une
équation différentielle. On nous demande de déterminer laquelle est une équation différentielle
ordinaire. Nous devons donc envisager ce que ce mot « ordinaire » signifie dans ce
contexte. La troisiĂšme Ă©quation contient Ă©galement une dĂ©rivĂ©e. Et en fait, il sâagit cette fois dâune dĂ©rivĂ©e seconde. Mais on voit que la notation utilisĂ©e est lĂ©gĂšrement diffĂ©rente. Cette notation reprĂ©sente la dĂ©rivĂ©e seconde partielle de la variable đ§
par rapport Ă đ„.
Cela signifie que la fonction đ§ nâest pas juste une fonction de đ„, mais
aussi dâune ou plusieurs autres variables, telles que đŠ. La dĂ©rivĂ©e partielle de đ§ par rapport Ă đ„ est la fonction que nous
obtenons si nous traitons chacune des autres variables comme Ă©tant
constante lors de la dĂ©rivation. Et en fait, la dĂ©rivĂ©e seconde partielle de đ§ par rapport Ă đ„ est ce
que nous obtenons si nous faisons cela deux fois.
Nous revenons donc à ce mot « ordinaire » dans la question. Une équation différentielle ordinaire ne contient que des dérivées
ordinaires, contrairement aux dérivées partielles, car la fonction
inconnue est une fonction de la variable indépendante
uniquement. La notation utilisĂ©e dans lâĂ©quation B montre que celle-ci ne contient
que la fonction đŠ et sa dĂ©rivĂ©e premiĂšre ordinaire. Donc, elle est une Ă©quation diffĂ©rentielle ordinaire. Tandis que lâoption C contient une dĂ©rivĂ©e partielle, et ainsi est
appelée équation différentielle partielle.
Vous pouvez voir les abréviations EDO et EDP utilisées pour décrire les
équations différentielles ordinaires et les équations
différentielles partielles, respectivement. Donc notre réponse à la question, laquelle des relations suivantes est
une Ă©quation diffĂ©rentielle ordinaire, est B. A et D ne sont pas des Ă©quations diffĂ©rentielles. Et Câest une Ă©quation diffĂ©rentielle, mais câest une Ă©quation
différentielle partielle.
Résumons ce que nous avons vu dans cette vidéo. PremiÚrement, les équations différentielles sont des équations qui
mettent en relation une fonction et une ou plusieurs de ses
dĂ©rivĂ©es. Lâordre dâune Ă©quation diffĂ©rentielle est lâordre de la dĂ©rivĂ©e de plus
grand ordre quâelle contient. Ainsi, une Ă©quation diffĂ©rentielle dans laquelle la dĂ©rivĂ©e dâordre le
plus Ă©levĂ© est une dĂ©rivĂ©e troisiĂšme serait dâordre trois.
Une Ă©quation diffĂ©rentielle linĂ©aire peut ĂȘtre exprimĂ©e sous la forme
indiquĂ©e sur lâĂ©cran. La puissance de la fonction đŠ et de chacune de ses dĂ©rivĂ©es est un ou
zĂ©ro. Et đŠ et chacune de ses dĂ©rivĂ©es sont multipliĂ©es par des fonctions pures
de đ„. Et enfin, les Ă©quations diffĂ©rentielles ordinaires, ou EDO, ne
contiennent que des dĂ©rivĂ©es ordinaires, telles que dđŠ sur dđ„. Ici, la fonction đŠ est une fonction dâune seule variable indĂ©pendante
đ„.
Alors que les équations différentielles partielles, ou EDP, contiennent
des dĂ©rivĂ©es partielles. Ici, la fonction đŠ est une fonction de plus dâune variable
indépendante. Les équations différentielles ont de nombreuses applications et peuvent
ĂȘtre utilisĂ©es pour modĂ©liser un large Ă©ventail de phĂ©nomĂšnes
physiques.