Vidéo : Les bases des équations différentielles

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à classer les équations différentielles en ordinaire ou partielle, linéaire ou non linéaire, et à identifier l’ordre des équations différentielles.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre les bases des équations différentielles. Nous verrons d’abord ce qu’est une équation différentielle et comment elle pourrait survenir dans des problèmes physiques dans les domaines des mathématiques et de la physique. Nous allons introduire la terminologie associée aux équations différentielles. Et dans le contexte d’exemples, nous verrons comment classer les équations différentielles selon leur type et leur ordre.

Commençons par voir ce qu’est une équation différentielle. Eh bien, c’est juste une équation qui contient une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées par rapport à une variable indépendante. Par exemple, l’équation d𝑦 par d𝑥 plus 𝑦 égale trois 𝑥 est une équation différentielle. Ici, 𝑦 est la fonction qui nous intéresse. C’est une fonction de la variable indépendante 𝑥 et l’équation comprend la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Il existe également des équations différentielles bien plus compliquées. Par exemple, l’équation d deux 𝑦 par d𝑥 au carré plus quatre 𝑦 fois d𝑦 par d𝑥 le tout au carré plus trois 𝑦 égale sin 𝑥. Cette équation différentielle comprend non seulement une dérivée première d𝑦 par d𝑥 qui est au carré, mais également la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, d deux 𝑦 par d𝑥 au carré. Nous avons donc une équation qui contient une fonction 𝑦, et sa dérivée première d𝑦 par d𝑥, ainsi que sa dérivée seconde d deux 𝑦 par d𝑥 au carré.

Le premier de ces deux exemples est connu sous le nom d’équation différentielle du premier ordre car la dérivée du plus grand ordre qu’elle contient est une dérivée première, la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥, d𝑦 par d𝑥. Le deuxième exemple est connu sous le nom d’équation différentielle d’ordre deux, car la dérivée d’ordre le plus élevé qu’elle contient est une dérivée seconde, d deux 𝑦 sur d 𝑥 au carré. Plus généralement, les équations différentielles peuvent être classées en fonction de la dérivée d’ordre le plus élevé qu’elles contiennent. Ainsi, une équation différentielle dans laquelle la dérivée d’ordre le plus élevé est une dérivée d’ordre 𝑛 serait classée comme une équation différentielle d’ordre 𝑛.

Des exemples d’équations différentielles apparaissent dans beaucoup de problèmes physiques. Par exemple, une simple croissance démographique, où le taux d’augmentation de la population 𝑃 est proportionnel à la population elle-même. Et cela peut être modélisé par l’équation différentielle d𝑃 par d𝑡 égale 𝑘𝑃. Ici, 𝑡 représente le temps et 𝑘 s’appelle la constante de proportionnalité.

À présent, cette vidéo ne permet pas de voir comment nous pourrions résoudre une équation différentielle de ce type. Mais en fait, si nous avions la condition initiale que la population au temps zéro soit égale à une valeur 𝑃 zéro, alors on peut montrer que la solution à cette équation différentielle serait que la population au temps 𝑡 soit égale à 𝑃 zéro fois 𝑒 à la puissance 𝑘𝑡. La population augmente donc de manière exponentielle.

Maintenant, pour résoudre une équation différentielle en général, nous devons trouver une expression pour la variable dépendante, qui dans ce cas serait 𝑃, en fonction d’une variable indépendante, qui serait ici 𝑡. La solution est une fonction telle que cette fonction et ses dérivées vérifient l’équation différentielle. Maintenant, généralement, lorsque nous résolvons une équation différentielle, nous n’obtenons pas une solution unique, mais un groupe de solutions qui vérifieront toutes l’équation différentielle mais différeront les unes des autres selon la valeur de toutes les constantes.

Si nous recevons également des informations supplémentaires, comme ici la valeur de la population au temps zéro, nous pouvons déterminer les valeurs de ces constantes et obtenir ainsi une solution particulière à l’équation différentielle. Cette information supplémentaire est appelée condition aux limites ou parfois condition initiale si elle spécifie la valeur de la fonction lorsque la valeur de la variable indépendante est zéro.

Cependant, la résolution d’équations différentielles n’est pas l’objectif de cette vidéo. Nous nous concentrons plutôt sur leur compréhension et leur classification. Nous allons cependant envisager un exemple sur comment nous pouvons confirmer qu’une fonction donnée satisfait vraiment à une équation différentielle.

Est-ce que la fonction 𝑦 égale un sur deux plus 𝑥 est une solution de l’équation différentielle 𝑦 prime égale moins 𝑦 au carré ?

Rappelez-vous que 𝑦 prime est une autre façon de dire d𝑦 par d𝑥, la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. On nous donne donc une équation différentielle d’ordre un et on nous demande de déterminer si la fonction 𝑦 est une solution de l’équation. Autrement dit, nous devons savoir si la fonction 𝑦 satisfait à cette équation.

Commençons par déterminer ce que 𝑦 prime, ou d𝑦 par d𝑥, égale pour cette fonction 𝑦. Et pour ce faire, nous pouvons d’abord exprimer 𝑦 sous une forme alternative. Nous pouvons l’écrire comme deux plus 𝑥 à la puissance moins un. Nous pouvons ensuite trouver cette dérivée en utilisant la règle de puissance, qui dit que si nous avons une fonction 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛, sa dérivée par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un.

Ici, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est deux plus 𝑥, et notre puissance 𝑛 est moins un. Donc en appliquant la règle de puissance, nous avons 𝑛, qui est moins un, fois la dérivée de deux plus 𝑥, qui est un, multiplié par 𝑓 de 𝑥. C’est deux plus 𝑥, à la puissance 𝑛 moins un. Donc, c’est la puissance moins deux. Nous pouvons alors réécrire ceci comme moins un sur deux plus 𝑥 le tout au carré. Donc, nous savons ce que le membre gauche de cette équation différentielle serait pour cette fonction 𝑦.

À droite, nous avons moins 𝑦 au carré. Donc, c’est la fonction d’origine 𝑦 élevée au carré puis multipliée par moins un, ce qui équivaut à moins un sur deux plus 𝑥 le tout au carré. Pour élever une fraction au carré, nous pouvons élever le numérateur et le dénominateur tous deux au carré. Donc, nous avons moins un au carré, qui est un, sur deux plus 𝑥 le tout carré.

Maintenant, nous comparons nos expressions pour 𝑦 prime et moins 𝑦 au carré. Et nous voyons qu’elles sont toutes les deux égales à moins un sur deux plus 𝑥 le tout au carré. Ainsi, elles sont vraiment égales entre elles. Cela nous dit que la fonction 𝑦 égale un sur deux plus 𝑥 satisfait à l’équation différentielle donnée et, par conséquent, c’est une solution.

Nous allons maintenant voir quelques autres exemples pour introduire la terminologie nécessaire pour décrire la grande variété des autres types d’équations différentielles que nous pouvons rencontrer.

Déterminez l’ordre de l’équation différentielle d deux 𝑦 par d𝑥 au carré au cube moins 𝑦 triple prime à la puissance quatre plus 𝑥 égale zéro.

Nous rappelons d’abord que l’ordre d’une équation différentielle est l’ordre de la dérivée de plus grand ordre qui apparaît dans cette équation. Nous pouvons voir en un coup d’œil que cette équation différentielle implique une dérivée seconde, d deux 𝑦 par d𝑥 au carré. Mais si nous regardons un peu plus près, nous voyons que l’équation contient également 𝑦 triple prime, qui est une notation alternative pour la dérivée troisième. La dérivée de plus grand ordre est trois. Et par conséquent, l’ordre de cette équation différentielle est trois.

Maintenant, ne vous laissez pas tromper par les puissances ici. C’est la puissance trois avec la dérivée seconde et la puissance quatre avec la dérivée troisième. L’ordre d’une équation différentielle n’est pas la puissance la plus élevée de la variable ou de l’une de ses dérivées qui apparaît dans l’équation. C’est l’ordre de la dérivée de plus grand ordre dans l’équation. Ainsi, cette puissance trois pour le premier terme et cette puissance quatre pour le deuxième terme n’ont absolument rien à voir avec la détermination de l’ordre de l’équation différentielle.

Dans notre exemple suivant, nous apprendrons la différence entre les équations différentielles linéaires et non linéaires.

Est-ce que l’équation différentielle d𝑦 par d𝑥 plus 𝑥 racine 𝑦 égale 𝑥 au carré est linéaire ?

Une équation différentielle linéaire est une équation qui peut être exprimée sous la forme d’un polynôme linéaire de la fonction inconnue, dans ce cas 𝑦 et ses dérivées. Cela signifie que les seules puissances de la fonction inconnue et de chaque dérivée qui apparaît dans l’équation sont un ou zéro si l’équation ne contient pas une dérivée de cet ordre. Et aussi chaque dérivée et la fonction elle-même sont multipliées par des fonctions de 𝑥 seulement.

Ainsi, par exemple, l’équation deux fois d𝑦 sur d𝑥 plus quatre 𝑥𝑦 égale trois 𝑥 serait un exemple d’équation différentielle linéaire. Parce que la puissance de 𝑦 et celle de d𝑦 par d𝑥 est un et elles sont chacune multipliées par une fonction de 𝑥 seulement. Alors que l’équation deux fois d𝑦 par d𝑥 plus quatre 𝑥 sur 𝑦 égale trois 𝑥 est non linéaire comme dans le deuxième terme, la puissance de 𝑦 est moins un. L’équation quatre 𝑥 d deux 𝑦 par d𝑥 au carré plus deux 𝑦 d 𝑦 par d𝑥 égale sept est également non linéaire comme dans le deuxième terme, nous voyons que d𝑦 par d𝑥 est multipliée par une fonction de 𝑦, pas une fonction pure de 𝑥.

Plus formellement, on peut dire qu’une équation différentielle est linéaire si elle peut être exprimée sous la forme montrée sur l’écran. Chaque dérivée d’ordre 𝑛 de 𝑦 et la fonction 𝑦 elle-même est multipliée par un polynôme dans 𝑥 uniquement. Alors, considérons l’équation différentielle qui nous a été donnée. Et nous pouvons voir que cela inclut la racine carrée de 𝑦. Maintenant, une autre façon d’exprimer la racine carrée de 𝑦 égale 𝑦 à la puissance un demi. Et ainsi, cette équation différentielle est non linéaire, car la puissance 𝑦 n’égale pas un.

Notez maintenant que ce n’est pas la présence du terme 𝑥 au carré au membre droit qui rend cette équation différentielle non linéaire. 𝑥 est la variable indépendante dans cette équation. Et ce ne sont que les puissances de la variable dépendante et de ses dérivées, c’est-à-dire 𝑦 et d𝑦 par d𝑥 et ainsi de suite, qui doivent toutes être égales à un pour que l’équation soit linéaire.

Dans notre dernier exemple, nous allons connaître la différence entre les équations différentielles ordinaires et partielles.

Laquelle des relations suivantes est une équation différentielle ordinaire ?

Rappelons tout d’abord qu’une équation différentielle contient une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées par rapport à une variable indépendante. Si nous considérons la première équation, tout d’abord, 𝑧 égale cinq 𝑥𝑦, nous voyons qu’elle ne contient pas de dérivés. Et donc, ce n’est pas une équation différentielle. C’est simplement une équation reliant les trois variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous pouvons donc exclure l’option A.

De la même manière, si nous considérons la dernière équation 𝑦 égale la racine carrée de 𝑥 au carré moins quatre, il ne s’agit pas non plus d’une équation différentielle, car elle ne contient aucune dérivée. Elle exprime simplement la relation entre les variables 𝑥 et 𝑦. Il ne nous reste donc plus que deux possibilités, B et C. En considérant la deuxième équation, nous voyons qu’elle contient une variable inconnue 𝑦 et sa dérivée par rapport à une variable indépendante 𝑥. Donc, celle-ci est un exemple d’équation différentielle.

Mais la question ne nous demande pas de juste déterminer laquelle est une équation différentielle. On nous demande de déterminer laquelle est une équation différentielle ordinaire. Nous devons donc envisager ce que ce mot « ordinaire » signifie dans ce contexte. La troisième équation contient également une dérivée. Et en fait, il s’agit cette fois d’une dérivée seconde. Mais on voit que la notation utilisée est légèrement différente. Cette notation représente la dérivée seconde partielle de la variable 𝑧 par rapport à 𝑥.

Cela signifie que la fonction 𝑧 n’est pas juste une fonction de 𝑥, mais aussi d’une ou plusieurs autres variables, telles que 𝑦. La dérivée partielle de 𝑧 par rapport à 𝑥 est la fonction que nous obtenons si nous traitons chacune des autres variables comme étant constante lors de la dérivation. Et en fait, la dérivée seconde partielle de 𝑧 par rapport à 𝑥 est ce que nous obtenons si nous faisons cela deux fois.

Nous revenons donc à ce mot « ordinaire » dans la question. Une équation différentielle ordinaire ne contient que des dérivées ordinaires, contrairement aux dérivées partielles, car la fonction inconnue est une fonction de la variable indépendante uniquement. La notation utilisée dans l’équation B montre que celle-ci ne contient que la fonction 𝑦 et sa dérivée première ordinaire. Donc, elle est une équation différentielle ordinaire. Tandis que l’option C contient une dérivée partielle, et ainsi est appelée équation différentielle partielle.

Vous pouvez voir les abréviations EDO et EDP utilisées pour décrire les équations différentielles ordinaires et les équations différentielles partielles, respectivement. Donc notre réponse à la question, laquelle des relations suivantes est une équation différentielle ordinaire, est B. A et D ne sont pas des équations différentielles. Et C’est une équation différentielle, mais c’est une équation différentielle partielle.

Résumons ce que nous avons vu dans cette vidéo. Premièrement, les équations différentielles sont des équations qui mettent en relation une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées. L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre de la dérivée de plus grand ordre qu’elle contient. Ainsi, une équation différentielle dans laquelle la dérivée d’ordre le plus élevé est une dérivée troisième serait d’ordre trois.

Une équation différentielle linéaire peut être exprimée sous la forme indiquée sur l’écran. La puissance de la fonction 𝑦 et de chacune de ses dérivées est un ou zéro. Et 𝑦 et chacune de ses dérivées sont multipliées par des fonctions pures de 𝑥. Et enfin, les équations différentielles ordinaires, ou EDO, ne contiennent que des dérivées ordinaires, telles que d𝑦 sur d𝑥. Ici, la fonction 𝑦 est une fonction d’une seule variable indépendante 𝑥.

Alors que les équations différentielles partielles, ou EDP, contiennent des dérivées partielles. Ici, la fonction 𝑦 est une fonction de plus d’une variable indépendante. Les équations différentielles ont de nombreuses applications et peuvent être utilisées pour modéliser un large éventail de phénomènes physiques.

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