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Vidéo de question : Déterminer les termes d’une suite à partir de son terme général Mathématiques

Déterminez les cinq premiers termes de la suite dont le 𝑛-ième terme est donné par u_ (𝑛) = (−1) ^ (𝑛) / 𝑛⁵, où 𝑛 ≥ 1.

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Transcription de vidéo

Déterminez les cinq premiers termes de la suite dont le 𝑛-ième terme est donné par u 𝑛 est égal à moins un à la puissance 𝑛 sur n à la puissance cinq, où 𝑛 est supérieur ou égal à un.

Le terme général d’une suite permet de calculer directement n'importe quel terme de la suite. Cela est possible car le terme de rang 𝑛 relie chaque terme de la suite au rang correspondant. Certaines suites commencent à l'indice zéro, mais dans notre cas, 𝑛 est supérieur ou égal à un. Cela signifie que la suite commence à l'indice un. Nous pouvons calculer les cinq premiers termes de la suite en substituant des valeurs différentes de 𝑛. Nous substituons donc 𝑛 égal à un, deux, trois, quatre et cinq dans l’expression du terme de rang 𝑛.

Ainsi, pour le premier terme, nous obtenons u un égale moins un à la puissance un sur un à la puissance cinq. Au numérateur, moins un à la puissance un donne moins un. Au dénominateur, un à la puissance cinq est égal à un. Bien sûr, moins un sur un donne simplement moins un. Le premier terme de la suite est donc moins un.

Déterminons le deuxième terme. Nous remplaçons 𝑛 par deux, nous obtenons u deux est égal à moins un au carré sur deux à la puissance cinq. Au numérateur, moins un au carré est égal à un. Au dénominateur, deux à la puissance cinq donne 32. Ainsi, le deuxième terme de la suite est un sur 32.

Pour le troisième terme, nous substituons 𝑛 égal à trois. Nous obtenons donc u trois est égal à moins un au cube sur trois à la puissance cinq. Ceci est égal à moins un sur 243. Nous pouvons ensuite répéter ce processus pour calculer le quatrième et cinquième termes pour trouver un sur 1024 et moins un sur 3125. Nous remarquons que tout terme positif est suivi d'un terme négatif, ce qui signifie que la suite peut être définie comme une suite alternée. Cela est dû au numérateur du terme général.

Notez que nous avons pris moins un à une puissance qui est l'indice. Ainsi, chaque indice qui est pair va donner un terme positif. Cependant, ici, nous pouvons donner comme réponse que les cinq premiers termes de cette suite sont moins un, un sur 32, moins un sur 243, un sur 1024 et moins un sur 3125.

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