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Vidéo de question : Déterminer l’angle entre deux droites Mathématiques

Sachant qu’une droite passe par l’origine et le point de coordonnées (4 ; 1 ; 2), déterminez la valeur exacte de cos 𝜃_𝑧. Notez que 𝜃_𝑧 est la mesure de l’angle entre la droite et la direction de l’axe des 𝑧.

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Transcription de vidéo

Sachant qu’une droite passe par l’origine et le point de coordonnées quatre, un, deux, déterminez la valeur exacte de cosinus de 𝜃 indice 𝑧. Notez que 𝜃𝑧 est la mesure de l’angle entre la droite et la direction de l’axe des 𝑧.

Dans cette question, on nous dit qu’une droite passe par deux points, l’origine et le point de coordonnées quatre, un, deux. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer la valeur exacte du cosinus de l’angle que cette droite fait à avec et la direction de l’axe des 𝑧.

Puisque et la direction de l’axe des 𝑧 est une droite dans l’espace, de même que la droite passant par l’origine et le point quatre, un, deux, commençons par rappeler la formule pour déterminer l’angle entre deux droites dans espace. Nous rappelons que si nous avons une droite 𝐿 un de vecteur directeur 𝐝 un et une droite 𝐿 deux de vecteur directeur 𝐝 deux, alors le cosinus 𝜃 sera égal au produit scalaire 𝐝 un fois 𝐝 deux divisé par la norme de 𝐝 un fois la norme de 𝐝 deux, où 𝜃 est l’angle entre les deux droites 𝐿 un et 𝐿 deux. Et dans cette question, on nous demande de trouver le cosinus de 𝜃𝑧, qui est l’angle entre deux droites. Nous pouvons donc le faire en trouvant les vecteurs directeurs des deux droites.

Commençons par trouver le vecteur directeur de la première droite. On nous dit que cette droite passe par l’origine et le point de coordonnées quatre, un, deux. Nous pouvons alors trouver les composantes d’un vecteur directeur de cette droite en notant qu’un vecteur directeur de cette droite peut avoir comme extrémité le point de coordonnées quatre, un, deux et un point origine de coordonnées zéro, zéro, zéro. Ainsi, un vecteur directeur de cette droite aura des composantes comme la différence entre les coordonnées de chacun de ces points. 𝐝 un est le vecteur quatre, un, deux.

Nous pouvons en fait faire exactement la même chose pour trouver le vecteur directeur de notre deuxième droite. Il suffit de noter que la direction de l’axe des 𝑧 passe par l’origine, et elle passe également par le point avec de coordonnées zéro, zéro, un. Nous pouvons alors utiliser exactement le même processus pour trouver un vecteur directeur de cette droite. Nous obtenons que 𝐝 deux est égal au vecteur zéro, zéro, un. Nous pouvons alors remplacer par ces vecteurs directeur 𝐝 un et 𝐝 deux dans cette formule où 𝜃 sera 𝜃 indice 𝑧.

Et bien que cela fonctionne, il est généralement plus facile d’évaluer séparément le numérateur et le dénominateur du côté droit de l’équation. Commençons donc par évaluer le numérateur le produit scalaire des vecteurs 𝐝 un et 𝐝 deux. Nous devons déterminer le produit scalaire du vecteur quatre, un, deux et du vecteur zéro, zéro, un. Et pour ce faire, nous rappelons que pour trouver le produit scalaire de deux vecteurs de même dimension, il suffit de trouver la somme des produits des composantes correspondantes. Dans ce cas, cela nous donne quatre fois zéro plus un fois zéro plus deux multiplié par un. Et nous pouvons alors évaluer cela. Les deux premiers termes sont zéro, et deux fois un est égal à deux.

Déterminons maintenant la norme des deux vecteurs. Commençons par la norme de 𝐝 un. Rappelez-vous que c’est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Dans ce cas, il s’agit de la racine carrée de quatre au carré plus un carré plus deux au carré, que nous pouvons ensuite évaluer. C’est égal à la racine carrée de 21. Nous pourrions appliquer le même processus pour déterminer la norme du vecteur 𝐝 deux. Cependant, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Le vecteur 𝐝 deux est égal au vecteur unitaire 𝐤. Et c’est bien sûr un vecteur unitaire. Nous savons donc que sa norme vaut un. La norme du vecteur 𝐝 deux vaut un.

Nous pouvons maintenant remplacer par ces valeurs dans notre formule pour déterminer une expression pour du cosinus de 𝜃𝑧. Pour ce faire, commençons par faire de la place, mais gardons certaines des informations utiles à l’écran. Nous pouvons maintenant remplacer par ces valeurs dans notre formule. Nous obtenons cosinus 𝜃𝑧 égal à deux divisé par la racine de 21. Et nous pourrions laisser notre réponse ainsi. C’est une valeur exacte de cosinus 𝜃𝑧. Cependant, nous pouvons simplifier davantage en rendant rationnel le dénominateur. Nous multiplions le numérateur et le dénominateur par la racine de 21. Et cela nous donne alors notre réponse finale.

Si 𝜃𝑧 est la mesure de l’angle entre la droite passant par l’origine et le point quatre, un, deux et la direction de l’axe des 𝑧, alors le cosinus de 𝜃𝑧 est deux racine de 21 divisé par 21.

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