Vidéo : Musique et théorie de la mesure

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Musique et théorie de la mesure

13:12

Transcription de vidéo

J’ai deux défis apparemment sans rapport pour vous. Le premier concerne la musique. Et le second donne un résultat fondamental en théorie des mesures, qui constitue le fondement formel de la manière dont les mathématiciens définissent l’intégration et la probabilité. Le deuxième défi, que nous aborderons à peu près à mi-chemin de la vidéo, consiste à couvrir des nombres avec des ensembles ouverts et est très contre-intuitif. Ou du moins, quand je l’ai vu pour la première fois, j’étais confus pendant un moment.

Avant tout, j’aimerais expliquer ce qui se passe. Mais je prévois aussi de partager un lien surprenant avec la musique. Voici le premier défi. Je vais jouer une note de musique avec une fréquence donnée, disons 220 hertz. Ensuite, je vais choisir un nombre entre un et deux, que nous appellerons 𝑟, et jouer une deuxième note de musique dont la fréquence est 𝑟 fois la fréquence de la première note, 220. Pour certaines valeurs de 𝑟, comme 1.5, les deux notes sonneront harmonieuses ensemble. Mais pour d’autres, comme la racine carrée de deux, ils semblent cacophoniques.

Votre tâche est de déterminer si un rapport donné 𝑟 donnera un son agréable ou désagréable tout en analysant le nombre et sans écouter les notes. Une façon de répondre, en particulier si vous vous appelez Pythagore, peut être de dire que deux notes sonnent bien ensemble lorsque le rapport est un nombre rationnel et mauvais lorsqu’elles sont irrationnelles. Par exemple, un rapport des trois moitiés donne un cinquième musical, des quatre tiers, un quatrième musical, des huit cinquièmes, un sixième majeur, etc.

Voici ma meilleure idée pour expliquer pourquoi c’est le cas. Une note de musique est composée de temps joués en succession rapide, par exemple 220 temps par seconde. Lorsque le rapport des fréquences de deux notes est rationnel, il y a un motif détectable dans ces temps. Ce qui, lorsque nous ralentissons, nous entendons comme un rythme plutôt que comme une harmonie. Évidemment, quand notre cerveau reprend ce motif, les deux notes sonnent bien ensemble. Cependant, la plupart des nombres rationnels paraissent plutôt mauvais, comme les 211 sur 198 ou les 1093 divisés par 826. Le problème, bien sûr, est que ces nombres rationnels sont plus compliqués que les autres. Nos oreilles ne discernent pas le motif des battements.

Un moyen simple de mesurer la complexité des nombres rationnels consiste à prendre en compte la taille du dénominateur lorsqu’il est écrit sous forme réduite. Nous pouvons donc modifier notre réponse originale pour n’admettre que les fractions avec un faible dénominateur, disons moins de 10. Même quand même, cela ne reflète pas tout à fait l’harmonie. Étant donné que de nombreuses notes sonnent bien ensemble, même lorsque le rapport de leurs fréquences est irrationnel, à condition qu’il soit proche d’un nombre rationnel harmonieux. Et c’est une bonne chose aussi parce que de nombreux instruments, tels que les pianos, ne sont pas réglés en termes d’intervalles rationnels. Mais sommes accordés de telle sorte que chaque demi-augmentation augmente correspond à la multiplication de la fréquence d’origine par la 12e racine sur deux, ce qui est irrationnel. Si vous êtes curieux de savoir pourquoi cela est fait, Henry de MinutePhysics a récemment réalisé une vidéo qui donne une très bonne explication.

Cela signifie que si vous prenez un intervalle harmonieux, comme un cinquième, le rapport des fréquences au piano ne sera pas un nombre rationnel comme vous le souhaitez, dans ce cas trois moitiés. Mais ce sera plutôt une puissance de la 12e racine sur deux, dans ce cas deux à sept sur 12, ce qui est irrationnel mais très proche des trois moitiés. De même, un quart musical correspond aux deux aux cinq douzièmes, ce qui est très proche des quatre tiers. En fait, si vous avez 12 notes dans l’échelle chromatique, c’est parce que les puissances de la 12e racine sur deux ont l’étrange tendance à se situer dans la marge d’erreur d’un pour cent des nombres rationnels simples.

Alors maintenant, vous pourriez dire qu’un rapport 𝑟 produira une paire de notes harmonieuse s’il est suffisamment proche d’un nombre rationnel avec un dénominateur suffisamment petit. La proximité dépend du discernement de votre oreille. Et la taille d’un dénominateur dépend de la complexité des motifs harmoniques que votre oreille a été formée. Après tout, peut-être une personne ayant un sens musical particulièrement aigu serait-elle capable d’entendre et de trouver du plaisir dans le motif résultant de fractions plus complexes telles que 23 sur 21 ou 35 sur 43. Ainsi que des nombres se rapprochant de ces fractions.

Cela m’amène à une question intéressante. Supposons qu’il y ait un savant musical qui trouve du plaisir dans toutes les paires de notes dont les fréquences ont un rapport rationnel. Même les ratios super compliqués que vous et moi trouverions cacophoniques. Est-ce le cas où elle trouverait tous rapports 𝑟 entre un et deux harmonieux, même les plus irrationnelles ? Après tout, pour un nombre réel donné, vous pouvez toujours trouver un nombre rationnel arbitrairement proche de celui-ci, tout comme les trois moitiés sont vraiment proches de deux à sept sur 12. Bien, cela nous amène à contester le nombre deux.

Les mathématiciens aiment poser des énigmes sur la nécessité de couvrir divers ensembles avec des intervalles ouverts. Et les réponses à ces énigmes ont une étrange tendance à devenir de célèbres lemmes ou théorèmes. Par intervalle ouvert, je veux dire que l’étirement continu des nombres réels strictement supérieur à un certain nombre 𝑎 mais strictement inférieur à un autre numéro 𝑏, où 𝑏 est, bien sûr, plus que 𝑎. Mon défi consiste à couvrir tous les nombres rationnels entre zéro et un avec des intervalles ouverts. Lorsque je parle de couverture, cela signifie simplement que chaque nombre rationnel se situe à l’intérieur d’au moins un de vos intervalles. La façon la plus évidente d’y parvenir est d’utiliser l’intervalle entier de zéro à un et de le déclarer terminé. Mais le défi ici est que la somme des longueurs de vos intervalles doit être strictement inférieure à un.

Pour vous aider dans cette tâche apparemment impossible, vous êtes autorisé à utiliser une infinité d’intervalles. Même encore, la tâche peut sembler impossible puisque les nombres rationnels sont denses en nombres réels. Le sens, tout étirement, si petit soit-il, contient une infinité de nombres rationnels. Alors, comment pouvez-vous couvrir tous les nombres rationnels sans couvrir l’intervalle entier allant de zéro à un seul. Ce qui voudrait dire que la longueur totale de vos intervalles ouverts doit être au moins égale à la longueur de l’intervalle complet de zéro à un. Encore une fois, je ne demanderais pas s’il n’y avait pas moyen de le faire.

Premièrement, nous énumérons les nombres rationnels entre zéro et un, ce qui signifie que nous les organisons dans une liste infiniment longue. Il y a plusieurs façons de le faire. Mais je choisirai naturellement de commencer par la moitié, suivie du tiers et des deux tiers, puis du quart et des trois quarts. Nous n’écrivons pas les deux quarts car il est déjà apparu comme la moitié. Ensuite, toutes les fractions réduites avec le dénominateur cinq, toutes les fractions réduites avec le dénominateur six, continuent ainsi de suite. Chaque fraction apparaîtra exactement une fois dans cette liste, sous sa forme réduite. Et cela nous donne une manière significative de parler du premier nombre rationnel, puis d’un deuxième nombre rationnel, du 42e nombre rationnel, etc.

Ensuite, pour vous assurer que chaque rationnel est couvert, nous allons affecter un intervalle spécifique à chaque rationnel. Une fois que nous retirons les intervalles de la géométrie de notre configuration et que nous les considérons dans une liste, chacun responsable d’un nombre rationnel, il semble bien plus clair que la somme de leurs longueurs peut être inférieure à un. Étant donné que chaque intervalle particulier peut être aussi petit que vous le souhaitez tout en couvrant son rationnel désigné. En fait, la somme peut être n’importe quel nombre positif. Il suffit de choisir une somme infinie avec des termes positifs qui convergent vers un, comme un demi plus un quart plus un huitième, encore et encore. Choisissez ensuite une valeur de 𝜀 supérieure à zéro, telle que 0.5. Et multipliez tous les termes de la somme par 𝜀 pour obtenir une somme infinie convergeant vers 𝜀.

Échelle Maintenant, le 𝑛 e intervalle d’avoir une longueur égale à la 𝑛 e terme de la somme. Remarquez, cela signifie que vos intervalles deviennent très petits, très rapides. Si petit que vous ne pouvez pas vraiment voir la plupart d’entre eux dans cette animation. Mais cela n’a pas d’importance, puisque chacun n’est responsable que d’un seul rationnel. Je l’ai déjà dit, mais je le répète car c’est tellement incroyable. ε peut être ce nombre positif que nous voulons. Ainsi, non seulement notre somme peut être inférieure à un, mais elle peut être arbitrairement petite ! C’est l’un de ces résultats où même après avoir vu la preuve, cela défie encore l’intuition.

La discorde ici est que la preuve nous pousse à penser de manière analytique, avec les nombres rationnels dans une liste. Mais notre intuition nous fait penser géométriquement, avec tous les nombres rationnels comme un ensemble dense sur l’intervalle. Eh bien, vous ne pouvez pas ignorer un étirement continu, car cela contiendrait une infinité de rationnels. Soyons donc visuellement compréhensifs.

Brève note latérale ici. J’ai eu du mal à décider comment illustrer de petits intervalles. Puisque si je redimensionne les parenthèses avec l’intervalle, vous ne pourrez pas les voir du tout. Mais si je ne fais que rapprocher les parenthèses, elles se croisent de manière potentiellement déroutante. Néanmoins, j’ai décidé d’aller avec le vilain croisement chromosomique. Alors gardez à l’esprit, l’intervalle que cela représente est ce petit bout entre les centres de chaque parenthèse. Ok, revenons à l’intuition visuelle.

Considérons quand 𝜀 est égal à 0.3. Cela signifie que si je choisis un nombre compris entre zéro et un au hasard, il y a 70 pour cent de chances pour que ce soit en dehors de cette infinité d’intervalles. À quoi ça ressemble d’être en dehors des intervalles ? La racine carrée de deux sur deux fait partie de ces 70 pour cent. Et je vais zoomer dessus. Ce faisant, je trace les 10 premiers intervalles de notre liste dans notre champ de vision. Au fur et à mesure que nous nous rapprochons de la racine carrée de deux sur deux. Même si vous trouverez toujours des rationnels dans votre champ de vision, les intervalles placés au-dessus de ces rationnels deviennent très petits, très rapidement.

On pourrait dire que pour toute suite de nombres rationnels approchant la racine carrée de deux sur deux. Les intervalles contenant les éléments de cette séquence se contractent plus rapidement que la séquence ne converge. Notez que les intervalles sont vraiment petits s’ils apparaissent en retard dans la liste. Et les rationnels apparaissent en fin de liste quand ils ont de grands dénominateurs. Ainsi, le fait que la racine carrée de deux sur deux soit parmi les 70 pour cent non couverts par nos intervalles constitue, en un sens, un moyen de formaliser l’idée par ailleurs vague que les seuls nombres rationnels proches de celle-ci aient un grand dénominateur. C’est-à-dire que la racine carrée de deux sur deux est cacophonique.

En fait, utilisons un 𝜀 plus petit, disons 0.01, et modifions notre configuration pour qu’elle se situe au-dessus de l’intervalle de un à deux au lieu de zéro à un. Ensuite, quels sont les chiffres qui appartiennent à l’élite 1 pour cent couverte par nos intervalles minuscules ? Presque tous sont harmonieux ! Par exemple, l’irrationnel numéro deux à sept douzièmes est très proche des trois moitiés, ce qui laisse un intervalle relativement épais. Et l’intervalle autour des quatre tiers est plus petit mais reste assez gras pour couvrir deux à cinq douzièmes.

Quels membres du 1 pour cent sont cacophoniques ? Eh bien, les rationnels cacophoniques, c’est-à-dire ceux qui ont un dénominateur élevé, et les irrationnels qui sont très très proches d’eux. Cependant, pensez au savant qui trouve des motifs harmoniques dans tous les nombres rationnels. Vous pouvez imaginer que pour elle, les nombres harmonieux sont précisément ceux de un pour cent couverts par les intervalles. À condition que sa tolérance à l’erreur diminue de façon exponentielle pour des raisons plus complexes.

En d’autres termes, le fait apparemment paradoxal de pouvoir disposer d’une collection d’intervalles pour peupler un intervalle de manière dense alors que ne couvrant qu’un pour cent de ses valeurs correspond au fait que les nombres harmonieux sont rares, même pour le savant. Je ne dis pas que cela rend le résultat plus intuitif. En fait, je trouve assez surprenant que le savant que j’ai défini puisse trouver 99 pour cent de tous les ratios cacophoniques. Mais le fait que ces deux idées soient liées était tout simplement trop beau pour ne pas être partagé.

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