Vidéo : Le problème de Monty Hall

Dans cette vidéo, on utilise les probabilités pour nous aider à concevoir une stratégie optimale pour gagner une voiture dans le problème de Monty Hall.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir le fameux problème de Monty Hall, qui est inspiré du jeu télévisé américain « Let’s Make a Deal ». L’émission a commencé aux États-Unis en 1963. Mais elle a été reprise sous d’autres formes dans le monde entier depuis lors. Elle était présentée initialement par un type appelé Monty Hall. Et c’est ainsi que le problème a été nommé.

Le concept est que pendant l’émission, des personnes sont choisies pour faire des échanges dans le but de gagner un prix. Et ils se trouvent généralement avec une chance d’échanger un petit prix contre un autre prix plus grand et plus précieux, caché derrière un rideau ou une porte, ou dans une boîte.

Le fait est qu’ils peuvent terminer par se trouver avec un superbe prix, comme une nouvelle voiture, ou se trouver avec un prix irrecevable, comme une pile de fausses monnaies, un vêtement de mauvaise qualité ou même un animal vivant qu’on ne peut ramener à sa maison.

Les prix sans valeur sont nommés « zonks ». Le problème de Monty Hall considère l’un de ces scénarios d’échange, et vous demande si vous pouvez trouver une stratégie vous permettant de décider comment jouer. C’est comme ça que ça marche.

On vous invite à jouer le deal du jour. Le présentateur vous place devant trois portes fermées et vous dit que derrière l’une d’elles se trouve la voiture toute neuve de vos rêves, et que derrière les deux autres se trouvent des prix irrecevables, dans ce cas des chèvres.

Les portes sont numérotées un, deux et trois. Et tout ce que vous avez à faire c’est choisir l’une des portes et vous recevrez le prix, précieux ou sans valeur, caché derrière cette porte. Facile ! Donc vous faites votre choix. Par exemple, vous dites « la porte deux ! »

Le présentateur connaît la porte derrière laquelle on a caché la voiture. Et au lieu de vous laisser ouvrir la porte deux, il ouvre d’une manière spectaculaire une des deux autres portes, montrant une chèvre en train de mâcher de l’herbe tout calmement [bêlement d’une chèvre]. Voici le coup de théâtre, il dit « Bon, voulez-vous rester sur la porte deux ou aimeriez-vous passer à l’autre porte fermée ? »

Alors pouvez-vous changer vos chances de gagner la voiture en restant ou en passant ? Est-ce que ça change quelque chose ? Il vous reste deux portes parmi lesquelles choisir. Et l’une d’elles cache une chèvre alors que l’autre cache une voiture. C’est 50/50, n’est-ce pas ? Mettez alors la vidéo en pause et réfléchissez à ce que vous feriez avant d’expliquer les maths.

Bien, ce problème a engendré beaucoup de controverse lorsqu’il a été publié la première fois. Et beaucoup de gens étaient en désaccord sur la meilleure stratégie. Alors expliquons étape par étape. Apparemment, vous avez un choix de deux portes. Et l’une cache une chèvre. Et l’autre cache une voiture.

Il est clair que quelle que soit la porte que vous choisissez, cela ne fait aucune différence. Toutes les deux sont tout aussi susceptibles d’avoir la chèvre ou la voiture derrière elles. Mais cela ne prend pas l’histoire en compte. Lorsque vous avez annoncé votre choix, le présentateur a ouvert une différente porte qui cachait une chèvre derrière elle.

Maintenant le présentateur sait où se trouve la voiture. Donc si vous choisissez la porte avec la voiture, alors il peut ouvrir l’une ou l’autre des deux autres portes pour trouver la chèvre. Cependant, si vous choisissez la porte avec une chèvre, alors le présentateur doit faire bien attention afin de choisir l’autre porte avec une chèvre derrière elle.

Et ce déroulement des évènements nous laisse avec une situation où si au début vous aviez choisi la bonne porte cachant la voiture, puis vous changez de porte, alors vous avez tort maintenant. Et si vous aviez choisi la fausse porte au début, puis vous changez de porte alors vous êtes sur la bonne voie.

Au début, lorsque vous vous étiez tenus devant les trois portes et que vous en aviez choisi une au hasard, il y avait une chance de 33 et un tiers pourcent de gagner la voiture, et une chance de 66 et deux tiers pourcent de trouver une chèvre.

Une des trois portes cache une voiture derrière elle. Et les deux autres cachent des chèvres. Cela veut dire que si vous participez à l’émission chaque semaine et restez chaque fois sur votre choix initial, alors vous gagnerez une voiture une fois sur trois.

Cependant, si vous participez à l’émission chaque semaine et changez votre choix, alors le nombre de fois où vous avez initialement choisi la fausse porte devient le nombre de fois où vous obtenez la voiture. C’est deux tiers. Et le nombre de fois où vous aviez initialement choisi la bonne porte devient le nombre de fois où vous aurez la chèvre. C’est un tiers.

Donc la meilleure stratégie pour trouver la voiture statistiquement est de changer de choix. Vous augmentez vos chances de gagner une voiture de 33 et un tiers pourcent à 66 et deux tiers pourcent. C’est une augmentation de 100 pourcent de vos chances de gagner.

Mais on peut parler des pourcentages une autre fois. Maintenant utilisons un arbre pondéré pour écrire tout ça. Tout d’abord, envisageons la stratégie où vous restez sur la porte que vous choisissez au départ. Vous commencez par choisir la porte. Dans le tiers des cas, cette porte aura une voiture derrière elle. Et dans les deux tiers des cas, elle aura une chèvre.

Maintenant étant donné que la première fois vous choisissez la voiture, si vous restez sur ce choix, alors il y a une probabilité de un que vous gardiez la voiture et une probabilité de zéro que vous ayez une chèvre. Mais si la porte que vous aviez choisie au départ avait une chèvre et que vous êtes restés sur ce choix, alors la probabilité que vous trouviez la voiture est nulle et vous terminerez certainement avec une chèvre.

Maintenant si nous multiplions ces probabilités conditionnelles le long des branches, on trouve qu’en suivant cette stratégie de rester sur son choix, la probabilité de commencer en choisissant une voiture et terminer avec une voiture est d’un tiers. La probabilité de choisir une voiture et terminer avec une chèvre est zéro. La probabilité de commencer avec une chèvre et terminer avec une voiture est zéro. Et la probabilité de commencer avec une chèvre et terminer avec une chèvre est de deux tiers.

Cela signifie que la probabilité globale de terminer avec une voiture est d’un tiers plus zéro, ce qui donne un tiers. Et la probabilité globale de terminer avec une chèvre est de zéro plus deux tiers, ce qui donne deux tiers. Notons donc cela ici.

Si nous restons sur notre choix, la probabilité de gagner une voiture est d’un tiers et la probabilité de tomber sur une chèvre est de deux tiers. Envisageons maintenant la stratégie de changer son choix. Lorsque vous choisissez une porte au hasard, il y a toujours une probabilité d’un tiers qu’il y ait une voiture et de deux tiers qu’il y ait une chèvre derrière cette porte.

Maintenant puisque le présentateur a ouvert l’autre porte, cela signifie que si la porte que nous avons choisie cache une voiture et qu’on change de choix, alors nous tomberons certainement sur la chèvre et nous n’aurons pas la voiture. Et si l’on choisit la porte cachant derrière elle la chèvre et qu’on change de choix, alors nous gagnerons certainement la voiture et nous ne terminerons pas avec une chèvre.

Donc avec la stratégie de changement de choix, la probabilité de gagner la voiture est zéro plus deux tiers, et la probabilité de terminer avec une chèvre est d’un tiers plus zéro, ce qui donne un tiers. Ainsi, la stratégie de changer son choix vous donne la meilleure probabilité de terminer avec une voiture.

Mais est-ce que cette stratégie signifie que vous gagnerez toujours la voiture ? Non. Mais elle signifie que votre chance de gagner est de deux tiers au lieu de seulement un tiers. Donc ça vaut certainement la peine. Pour résumer donc, un tout petit peu de raisonnement mathématique peut vous aider à concevoir la meilleure stratégie pour gagner une voiture [bêlement d’une chèvre].

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