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Vidéo de question : Comprendre la relation entre les variables dans l’équation de la vitesse orbitale Physique

Un satellite suit une orbite circulaire autour de la Terre à une distance radiale 𝑅 et avec une vitesse orbitale 𝑣. Si le satellite se rapprochait de la Terre et suivait une orbite circulaire de rayon 𝑅/9, quelle devrait être sa vitesse, en fonction de 𝑣, pour conserver une orbite circulaire ?

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Transcription de vidéo

Un satellite suit une orbite circulaire autour de la Terre à une distance radiale 𝑅 et avec une vitesse orbitale 𝑣. Si le satellite se rapprochait de la Terre et suivait une orbite circulaire de rayon 𝑅/9, quelle devrait être sa vitesse, en fonction de 𝑣, pour conserver une orbite circulaire ?

Dans cette question, nous allons considérer deux configurations différentes pour ce système, un satellite en orbite autour de la Terre. Dans la première configuration, le satellite a un rayon orbital 𝑅 et une vitesse orbitale 𝑣. Dans la deuxième configuration, nous imaginons que le satellite est beaucoup plus proche de la Terre à une distance radiale valant un neuvième de 𝑅. Nous devons déterminer sa vitesse afin qu’il conserve une orbite circulaire.

Commençons par rappeler la formule qui relie le rayon et la vitesse orbitale dans le cas particulier d’une orbite circulaire comme c’est le cas ici. C’est la formule de la vitesse orbitale 𝑣, qui dit que 𝑣 est égal à la racine carrée de 𝐺𝑀 divisée par 𝑟 𝐺 est la constante universelle de gravitation. 𝑀 est la masse du corps massif au centre de l’orbite, qui est la Terre dans ce cas. 𝑟 est le rayon orbital.

Notons que nous n’avons pas de valeurs numériques pour la vitesse ou le rayon orbital. Mais nous pouvons tout de même utiliser cette formule pour comprendre comment 𝑣 varie selon la valeur de 𝑟. Une autre chose à noter est que même si 𝐺 et 𝑀 sont des grandeurs constantes réelles, nous n’allons pas avoir besoin de connaître ni d’utiliser leurs valeurs exactes. Comme nous n’allons pas calculer de valeur numérique, il n’est pas nécessaire d’écrire leurs valeurs réelles. Il est donc plus simple de les garder comme 𝐺 et 𝑀.

Écrivons méthodiquement ce que nous savons, en commençant par la première orbite et en utilisant l’indice un pour faire référence à la configuration initiale. Nous savons que le rayon orbital initial 𝑟 un est égal à 𝑅 et que la vitesse orbitale initiale 𝑣 un est égal à 𝑣. Comme nous savons que le satellite est en orbite circulaire ici, ces valeurs doivent aussi satisfaire cette équation. Autrement dit, si nous remplaçons ces valeurs dans la formule de la vitesse orbitale, la relation obtenue doit toujours être vraie. Nous savons donc que la vitesse orbitale initiale 𝑣 est égale à la racine carrée de 𝐺𝑀 divisée par le rayon orbital initial 𝑅.

Passons maintenant à la nouvelle orbite proposée dans l’énoncé que nous allons repérer avec l’indice deux. Nous savons que le nouveau rayon orbital 𝑟 deux est égal à 𝑅 divisé par neuf. De plus nous cherchons à déterminer la nouvelle vitesse orbitale 𝑣 deux qui correspond également à une orbite circulaire et qui satisfait donc cette formule. Remplaçons donc les valeurs et voyons ce qui se passe. Nous ne connaissons toujours pas la vitesse finale du satellite, nous allons donc conserver 𝑣 deux, qui est égale à la racine carrée de 𝐺𝑀 divisée par 𝑅 sur neuf.

Il est possible de simplifier le calcul, tout d’abord en écrivant racine carrée de neuf 𝐺𝑀 divisé par 𝑅. Puis en prenant la racine carrée de neuf pour le sortir de sous la racine. Nous savons maintenant que la vitesse finale 𝑣 deux est égale à trois fois la racine carrée de 𝐺𝑀 divisée par 𝑅, le rayon initial. Cependant, nous avons déjà établi que la racine carrée de 𝐺𝑀 divisée par 𝑅 est égale à 𝑣, la vitesse orbitale initiale du satellite.

Remplaçons donc cette valeur et écrivons le résultat obtenu ici. La vitesse finale du satellite 𝑣 deux est égale à trois fois 𝑣, la vitesse initiale du satellite. Nous avons donc la réponse à la question. Nous avons obtenu que pour que le satellite conserve une orbite circulaire avec un rayon de 𝑅 sur neuf, sa vitesse orbitale doit être de trois 𝑣, ce qui est une expression de la vitesse orbitale en fonction de 𝑣.

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