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Vidéo de la leçon : Composantes d’un vecteur Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les composantes d’un vecteur en deux dimensions donné.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les composantes d’un vecteur en deux dimensions donné. Nous allons d’abord définir puis apprendre à trouver les composantes horizontale et verticale d’un vecteur et comment écrire un vecteur sous forme de composantes puis apprendre à écrire des vecteurs sous forme de somme de vecteurs unitaires. Nous examinerons également ce que signifie pour les vecteurs et leurs composantes d’être équivalents.

Nous savons qu’un vecteur est défini par sa direction et sa norme et que géométriquement il est représenté par une flèche, un segment de droite dirigé où la flèche indique la direction. La flèche relie une origine à une extrémité. Et la direction d’un vecteur est la direction prise lors du déplacement de l’origine à l’extrémité ou au point final. La norme d’un vecteur est la distance ou la longueur du segment de droite entre les deux points.

Il est plus facile de décrire nos vecteurs si nous plaçons nos vecteurs dans un repère du plan. En faisant ceci, nous pouvons définir les composantes d’un vecteur. Dans le repère du plan, en partant du point 𝐴, parcourir sept unités vers la droite et deux unités vers le haut nous amène au point 𝐵. Puisque nous avons à la fois la direction et les distances, ceci décrit complètement le vecteur AB. De même, le vecteur 𝐂𝐃 peut être décrit avec quatre unités vers la gauche, une unité vers le haut, en partant du point 𝐶 jusqu’au point 𝐷.

Ces descriptions sont à la base de ce qu’on appelle les composantes d’un vecteur, où les composantes sont notées 𝑎 ; 𝑏. 𝑎 décrit le déplacement horizontal, où si le vecteur va vers la gauche la composante est négative et vers la droite la composante est positive. 𝑏 décrit le déplacement vertical, où le bas est négatif et le haut est positif. Ainsi, de l’origine à l’extrémité d’un vecteur, 𝑎 décrit le déplacement horizontal et 𝑏 le déplacement vertical.

Dans le diagramme illustré, divers vecteurs sont affichés avec leurs composantes. Ainsi, par exemple, le vecteur avec les composantes quatre ; deux a un déplacement de quatre unités vers la droite et deux unités vers le haut de l’origine à l’extrémité. Dans l’exemple suivant, nous verrons comment trouver les composantes d’un vecteur qui est représenté dans un repère du plan.

Considérons le vecteur 𝐀𝐁 avec le point 𝐴 avec les coordonnées trois, deux et 𝐵 avec les coordonnées six, neuf. Ecrivez le vecteur 𝐀𝐁 sous forme de composantes 𝑎 ; 𝑏.

Pour trouver les composantes 𝑎 et 𝑏 du vecteur 𝐀𝐁, nous considérons les distances et directions horizontales et verticales de 𝐴, qui est l’origine, à 𝐵, qui est l’extrémité. Nous voyons que la distance horizontale est de trois unités se déplaçant vers la droite. Donc 𝑎 est plus trois. Et en fait c’est la différence entre les deux abscisses des points 𝐴 et 𝐵, c’est-à-dire six moins trois, ce qui est plus trois. La distance verticale est de sept unités vers le haut. C’est plus sept. Et c’est la différence entre les ordonnées des deux points 𝐴 et 𝐵. Par conséquent, nous pouvons écrire le vecteur de 𝐴 à 𝐵 comme 𝐀𝐁 est égal à trois, sept.

La façon dont nous avons trouvé les coordonnées dans cet exemple peut être résumée de la manière suivante. Pour écrire un vecteur 𝐀𝐁 dont les points 𝐴 et 𝐵 ayant pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, respectivement, sous forme de composantes 𝑎 ; 𝑏, nous calculons les différences entre les abscisses et les ordonnées, respectivement. Nous avons donc 𝑎 est égal à 𝑥 deux moins 𝑥 un et 𝑏 est égal à 𝑦 deux moins 𝑦 un. Regardons ceci à nouveau dans un autre exemple.

Considérez le vecteur dans le diagramme. Quelles sont les coordonnées de l’extrémité ? Quelles sont les coordonnées de l’origine ? Et quelles sont les composantes du vecteur ?

Pour la première partie de la question, nous rappelons que lorsqu’un vecteur est représenté dans un repère de plan, l’extrémité est le point à la fin du segment de droite dans le sens de la flèche. Nous pouvons considérer ceci comme l’endroit où pointe le vecteur. Et d’après le diagramme, nous voyons que ceci a pour composantes moins sept, moins un.

De même, pour la deuxième partie, l’origine est le point de départ du segment de droite, la flèche s’en éloignant. D’après le diagramme, nous voyons que ceci a pour composantes moins un, plus deux.

Pour la dernière partie, on nous demande de trouver les composantes du vecteur. Et pour cela, rappelons que les composantes d’un vecteur d’une origine 𝐴 de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un jusqu’à une extrémité 𝐵 de coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux sont les différences entre les abscisses 𝑥 et les ordonnées 𝑦, respectivement.

Dans notre cas donc, l’abscisse ou la composante horizontale 𝑎 est égale à moins sept moins moins un. C’est la différence entre les deux abscisses, final moins 𝑥 initial, et c’est moins six. De même, pour l’ordonnée 𝑦 ou verticale, nous avons moins un moins deux. C’est la différence entre les valeurs 𝑦 finales et initiales, et c’est égal à moins trois. Par conséquent, les composantes du vecteur donné sont moins six et moins trois. Et par conséquent, l’extrémité du vecteur donné est moins sept, moins un. L’origine est moins un, deux. Et les composantes du vecteur sont moins six et moins trois.

Ensuite, nous définissons deux vecteurs spéciaux, chacun de norme un, que nous pouvons utiliser pour écrire des vecteurs d’une manière différente. Nous définissons les vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 comme indiqué, où le vecteur unitaire 𝐢 représente le déplacement d’une unité dans la direction de l’axe des 𝑥 et le vecteur unitaire 𝐣 d’une unité dans la direction de l’axe des 𝑦. Et il est important de noter que ces vecteurs spéciaux n’ont pas à commencer à l’origine de notre repère. Ils décrivent simplement le déplacement d’une distance d’une unité dans le sens horizontal ou vertical.

Le point de départ peut être n’importe où dans le plan. Par exemple, dans la figure illustrée, le vecteur unitaire 𝐢 peut représenter le déplacement du point 0,5 ; 1,5 à 1,5 ; 1,5. Et le vecteur unitaire 𝐣 peut représenter le déplacement du point trois ; un à trois ; deux. Le vecteur 𝑎𝐢 représente le déplacement le long de 𝑎 copies de 𝐢, c’est-à-dire, 𝑎 unités dans la direction horizontale et aucune unité dans la direction verticale. De même, le vecteur 𝑏𝐣 représente le déplacement de 𝑏 copies de 𝐣 dans la direction verticale. Par exemple, la figure montre le vecteur deux 𝐢, qui a des composantes deux ; zéro. Et une fois que nous avons des vecteurs de la forme 𝑎𝐢 et 𝑏𝐣, nous pouvons les additionner pour décrire n’importe quel vecteur en fonction de vecteurs unitaires sous la forme 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣.

Maintenant, pour écrire un vecteur comme la somme des vecteurs unitaires, notons d’abord que si un vecteur 𝐂𝐃 a une origine 𝐶 avec des coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et une extrémité ou point final 𝐷 avec des coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors le vecteur parcourt une distance de 𝑥 deux moins 𝑥 un dans la direction horizontale, puis une distance de 𝑦 deux moins 𝑦 un dans la direction verticale ou celle de l’axe des 𝑦.

Nous pouvons écrire ce vecteur de deux manières différentes : soit sous forme de composantes, 𝐂𝐃 est égal à 𝑥 deux moins 𝑥 un ; 𝑦 deux moins 𝑦 un, soit en fonction de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 car 𝐂𝐃 est égal à 𝑥 deux moins 𝑥 un 𝐢 plus 𝑦 deux moins 𝑦 un 𝐣. Regardons un exemple de la façon d’écrire un vecteur comme la somme de vecteurs unitaires.

En utilisant le fait que chaque carré de la grille a une longueur un, écrivez le vecteur 𝐀𝐁 sous la forme 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣 puis sous la forme 𝑎 ; 𝑏.

À partir du point de départ 𝐴, nous nous déplaçons plus deux unités dans la direction horizontale, ce qui représente le vecteur deux 𝐢. Nous nous déplaçons ensuite de trois unités positives dans la direction verticale, ce qui représente le vecteur trois 𝐣, pour atteindre le point 𝐵. Le vecteur 𝐀𝐁, qui représente le déplacement direct de 𝐴 à 𝐵, est alors la somme de ces vecteurs unitaires, soit deux 𝐢 plus trois 𝐣. Les composantes 𝑎 et 𝑏 sont donc respectivement deux et trois. Et donc nous avons 𝐀𝐁 est deux 𝐢 plus trois 𝐣 en termes de vecteurs unitaires et deux ; trois sous forme de composantes.

Dans cet exemple, nous nous déplacions dans les directions horizontale et verticale positives par des pas de longueur un. Donc nous avancions vers la droite et vers le haut. Les coefficients négatifs de 𝐢 et 𝐣 représentent respectivement un déplacement vers la gauche et vers le bas. Par exemple, le vecteur 𝐀𝐁 est égal à moins deux, moins quatre, ce qui représente le déplacement de deux unités négatives dans la direction de l’axe des 𝑥 et quatre unités négatives dans la direction verticale, comme le montre la figure, peut être écrit comme moins deux 𝐢 plus moins quatre 𝐣. C’est moins deux 𝐢 moins quatre 𝐣 ou sous forme de composantes c’est moins deux ; moins quatre.

Ensuite, nous considérons un problème de la vie courante impliquant des composantes de vecteurs.

Un corps s’est déplacé de 190 centimètres plein est, où 𝐢 et 𝐣 sont deux vecteurs unitaires dans les directions est et nord, respectivement. Exprimez son déplacement en fonction des deux vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣.

On nous a dit que le vecteur unitaire 𝐢 représente la direction est et le vecteur unitaire 𝐣 la direction nord. Appelons notre vecteur de déplacement 𝐃, qui en fonction de vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣 sera de la forme 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣. Nous savons que le corps s’est déplacé en plein est, ce qui nous indique que le vecteur exprimant le déplacement n’aura pas de composante nord. Ceci signifie que le coefficient du vecteur unitaire 𝐣 sera nul. C’est-à-dire que la composante ou le coefficient 𝑏 est égal à zéro. Nous savons que le corps s’est déplacé de 190 centimètres vers l’est. Ainsi, le coefficient de 𝐢, c’est-à-dire 𝑎, sera de 190. Par conséquent, le déplacement du corps peut être écrit comme 190𝐢 plus zéro 𝐣, qui est de 190𝐢 centimètres.

Considérons ensuite l’idée de vecteurs équivalents.

Rappelons que les vecteurs équivalents sont des vecteurs de même direction et de même norme. Considérons maintenant les vecteurs 𝐀𝐁, 𝐂𝐃, 𝐄𝐅 et 𝐆𝐇 dans le diagramme. Nous voyons que les quatre vecteurs se trouvent soit sur la même ligne, soit sur des lignes parallèles. Cependant, si l’on considère les directions, le vecteur 𝐆𝐇 n’a pas la même direction que les trois autres. 𝐆𝐇 pointe vers la droite et le haut, tandis que les autres pointent vers la gauche et le bas.

Il convient de noter que pour que les vecteurs se trouvent sur des droites parallèles ou sur la même droite, les rapports de leurs composantes 𝑦 à leurs composantes 𝑥 doivent être égaux. Ceci donne la pente de la droite. Nous pouvons maintenant calculer la norme de chacun de nos quatre vecteurs en utilisant le théorème de Pythagore sur les côtés des triangles formés par les composantes de chaque vecteur. Ainsi, par exemple, la norme du vecteur 𝐀𝐁 est la racine carrée positive de cinq. La norme de 𝐂𝐃 est la racine carrée de 20, qui est deux fois la racine cinq. Et en fait c’est la même norme que les vecteurs 𝐄𝐅 et 𝐆𝐇. Nous avons donc trois vecteurs de même norme : 𝐂𝐃, 𝐄𝐅 et 𝐆𝐇. Mais nous savons que les composantes du vecteur 𝐆𝐇 sont de signes opposés et vont donc dans le sens inverse de celles de 𝐂𝐃 et 𝐄𝐅. Donc 𝐆𝐇 ne peut être équivalent à aucun de ceux-ci.

Il n’y a que deux vecteurs avec la même norme et la même direction, et ce sont les vecteurs 𝐂𝐃 et 𝐄𝐅. C’est parce qu’ils ont exactement les mêmes composantes. On peut aussi montrer que l’inverse est vrai. C’est-à-dire, que des vecteurs équivalents, des vecteurs de même norme et de même direction, doivent avoir les mêmes composantes. Utilisons cette propriété dans notre dernier exemple.

Les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ont des coordonnées moins sept, un ; moins deux, quatre ; et moins quatre, moins un, respectivement. Étant donné que 𝐀𝐁 et 𝐂𝐃 sont des vecteurs équivalents, trouvez les coordonnées du point 𝐷.

On nous donne que les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐂𝐃 sont équivalents, ils doivent donc avoir les mêmes composantes. Commençons donc par trouver les composantes du vecteur 𝐀𝐁. Maintenant, nous savons que pour un vecteur 𝐑𝐒 avec une origine 𝑅, qui a pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un, et extrémité 𝑆 avec les coordonnées 𝑥 deux, 𝑦 deux, les composantes de 𝐑𝐒 sont 𝑥 deux moins 𝑥 un et 𝑦 deux moins 𝑦 un. Dans notre cas, pour le vecteur 𝐀𝐁, on nous donne l’origine 𝐴 avec des coordonnées moins sept, un et l’extrémité 𝐵 avec des coordonnées moins deux, quatre. Ainsi, le vecteur 𝐀𝐁 a des composantes moins deux moins moins sept et plus quatre moins un, c’est-à-dire, cinq, trois.

Nous pouvons vérifier que ceci est correct sur notre diagramme. Et aller de cinq unités à droite du point 𝐴 et de trois unités en haut nous amène du point 𝐴 au point 𝐵. Comme 𝐀𝐁 et 𝐂𝐃 sont des vecteurs équivalents et ont les mêmes composantes, nous avons alors que 𝐂𝐃 est égal à cinq ; trois aussi. Maintenant, les composantes de 𝐂𝐃 sont égales à 𝑥𝐷 moins 𝑥𝐶 et 𝑦𝐷 moins 𝑦𝐶. Et cela signifie que 𝑥𝐷 moins 𝑥𝐶 est égal à cinq et 𝑦𝐷 moins 𝑦𝐶 est égal à trois.

Et maintenant, en remplaçant les valeurs de 𝑥𝐶 et 𝑦𝐶, puisque 𝐶 est le point moins quatre, moins un, nous avons 𝑥𝐷 plus quatre est égal à cinq et 𝑦𝐷 plus un est égal à trois. Et résoudre ces équations pour 𝑥𝐷 et 𝑦𝐷 donne 𝑥𝐷 est égal à un et 𝑦𝐷 est égal à deux. Par conséquent, les coordonnées du point 𝐷 sont un et deux.

Résumons maintenant ce que nous avons appris avec quelques points clés. Les composantes d’un vecteur s’écrivent 𝑎 ; 𝑏, où 𝑎 décrit le déplacement horizontal et 𝑏 le déplacement vertical de l’origine au point terminal ou l’extrémité du vecteur. Les composantes 𝑎, 𝑏 du vecteur 𝐀𝐁 d’origine 𝐴 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐴 à l’extrémité 𝐵 𝑥 𝐵, 𝑦 𝐵 sont 𝑎 égale 𝑥 𝐵 moins 𝑥 𝐴, 𝑏 égale 𝑦 𝐵 moins 𝑦 𝐴. Les vecteurs unitaires sont définis comme 𝐢 est égal à un ; zéro et 𝐣 est égal à zéro ; un. Tout vecteur 𝐯 des composantes 𝑎 ; 𝑏 peut-être écrit en fonction de vecteurs unitaires comme 𝐯 est égal à 𝑎𝐢 plus 𝑏𝐣. Et enfin, les vecteurs avec les mêmes composantes sont équivalents, et inversement les vecteurs équivalents ont les mêmes composantes.

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