Vidéo de la leçon: Droites parallèles et sécantes : relations entre les angles Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à nommer et à identifier les paires d’angles formés par des droites parallèles et des sécantes, et à reconnaître les relations entre eux pour déterminer un angle inconnu. Avant de voir les droites parallèles, nous allons rappeler quelques autres propriétés et relations des angles.

Commençons par rappeler les angles opposés par le sommet. Les angles opposés par le sommet sont deux angles entre deux droites sécantes qui partagent un même sommet. L’expression « droites sécantes » signifie deux droites qui se coupent. En observant de plus près les quatre angles illustrés, nous pouvons voir que nous avons deux paires d’angles égaux. Les angles 𝑎 et 𝑐 sont opposés par le sommet et les angles 𝑏 et 𝑑 sont aussi opposés par le sommet. Cela signifie que la somme des angles adjacents sera 180 degrés. Par exemple, 𝑎 plus 𝑏 égalent 180 degrés et 𝑐 plus 𝑑 égalent 180 degrés. Cela s’explique par le fait que la somme de deux angles quelconques sur une droite est égale à 180.

Les quatre angles indiqués ont une somme de 360 degrés. Cela s’explique par le fait que les angles dans un cercle ou en un point ont une somme de 360 degrés. L’angle 𝑎 plus l’angle 𝑏 plus l’angle 𝑐 plus l’angle 𝑑 égalent 360 degrés. Nous allons maintenant envisager le cas de deux droites parallèles coupées par une troisième droite.

Sur cette figure, nous avons deux droites parallèles, D un et D deux, et une troisième droite sécante, D trois, qui les coupe. Huit angles ont été créés. Et nous reconnaissons qu’il y a quatre paires d’angles opposés par le sommet, 𝑎 et 𝑐, 𝑏 et 𝑑, 𝑒 et 𝑔, et 𝑓 et ℎ.

Comme les droites D un et D deux sont parallèles, les deux ensembles de quatre angles entre D trois et D un et entre D trois et D deux sont égaux. Cela signifie que les angles 𝑎, 𝑐, 𝑒 et 𝑔 sont égaux. De même, les angles 𝑏, 𝑑, 𝑓 et ℎ sont égaux. Ces faits nous amènent à trois relations que nous pouvons utiliser pour résoudre les problèmes lorsque nous traitons des droites parallèles. Notre première paire d’angles égaux est appelée angles correspondants ou angles en forme F. Ceux-ci sont dans la position correspondante par rapport à la droite sécante, D trois, et à l’une des droites parallèles, D un ou D deux.

Deuxièmement, nous avons des angles alternes internes, également appelés angles en forme « zed ». Ceux-ci sont formés par une droite sécante, D trois, coupant deux droites parallèles, D un et D deux, qui sont de part et d’autre de D trois et entre D un et D deux.

Enfin, nous avons les angles intérieurs d’un même côté de la sécante ou en forme « C ». Contrairement aux angles correspondants et alternes internes qui sont égaux, les angles internes ou C ont une somme de 180 degrés. Cela nous amène au théorème des droites parallèles, qui stipule que lorsque deux droites parallèles sont coupées par une droite sécante, alors les paires d’angles correspondants sont égaux et les paires d’angles alternes internes sont égaux. Nous allons maintenant voir quelques questions pour savoir comment nous pouvons appliquer ces relations.

Sur la figure, 𝐸𝑁 coupe 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 en 𝑀 et 𝐹, respectivement. Trouvez la mesure de l’angle 𝐸𝐹𝐶.

Les droites 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont parallèles comme indiqué sur la figure. La droite 𝐸𝑁 est une droite sécante qui coupe les deux droites parallèles. On nous demande de calculer la mesure de l’angle 𝐸𝐹𝐶. Pour répondre à cette question, nous allons utiliser nos propriétés d’angle relatives aux droites parallèles.

Nous savons que les angles opposés par le sommet sont égaux. Cela signifie que l’angle 𝐸𝑀𝐵 est égal à l’angle 𝐴𝑀𝐹. Chacun de ces deux angles égale 84 degrés. Nous savons également que les angles intérieurs d’un même côté de la sécante ou supplémentaires ont une somme de 180 degrés. Ces angles sont souvent appelés angles en forme C, comme le montre la figure. Les angles 𝐴𝑀𝐹 et 𝐸𝐹𝐶 doivent avoir une somme de 180 degrés. Cela signifie que 84 plus l’angle 𝐸𝐹𝐶 égalent 180. En soustrayant 84 des deux membres de cette équation, on obtient l’angle 𝐸𝐹𝐶 qui est égal à 96. La mesure de l’angle 𝐸𝐹𝐶 est égale à 96 degrés.

Nous allons maintenant voir une autre question impliquant des droites parallèles.

Déterminez la mesure de l’angle 𝐶.

On peut voir sur la figure que la droite 𝐴𝐵 est parallèle à la droite 𝐶𝐷. Dans cette question, on nous demande de calculer la mesure de l’angle 𝐶. Nous commençons par observer le point 𝐴, en notant que les angles en un point ou dans un cercle ont une somme de 360 degrés. Si nous appelons l’angle inconnue 𝑥, alors 𝑥 plus 123 plus 132 égale 360. En simplifiant, on obtient 𝑥 plus 255 égale 360. En soustrayant 255 des deux membres de cette équation, on obtient 𝑥, soit 105. L’angle inconnu au point 𝐴 est de 105 degrés.

Comme mentionné précédemment, les droites 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont parallèles. La droite 𝐴𝐶 crée deux angles intérieurs d’un même côté de la sécante ou supplémentaires. Comme ceux-ci ont une somme de 180 degrés, la mesure de l’angle 𝑦 au point 𝐶 plus 105 doit être égale à 180. En soustrayant 105 des deux membres de cette équation, on obtient 𝑦, qui est égal à 75. Nous pouvons donc conclure que la mesure de l’angle 𝐶 est égale à 75 degrés.

Notre troisième question impliquera des droites parallèles et aussi un quadrilatère.

Sur la figure, 𝐶𝐷 et 𝐵𝐸 sont parallèles. Déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐸.

Dans la question, on nous dit que les droites 𝐶𝐷 et 𝐵𝐸 sont parallèles. On nous demande de calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐸 désigné par la lettre 𝑥. Nous pouvons voir sur le schéma que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère, une figure à quatre côtés. La somme des angles dans quadrilatère est 360 degrés. Cela signifie que la somme de l’angle inconnue 𝑦, 90 degrés, 131 degrés et 69 degrés doit être égale à 360 degrés. En simplifiant le membre gauche, on obtient 𝑦 plus 290 égale 360. En soustrayant 290 des deux membres, on obtient 𝑦 qui égale 70. L’angle inconnue dans le quadrilatère est de 70 degrés.

Nous pouvons maintenant utiliser le fait que la somme des angles intérieurs d’un même côté de la sécante ou supplémentaires est de 180 degrés. Ces angles sont aussi parfois appelés angles en forme C. Dans cette question, la somme 70 plus 69 plus 𝑥 doit être égale à 180. Cela peut être simplifié en 𝑥 plus 139 égale 180. En soustrayant 139 des deux membres de cette équation, on obtient 𝑥 égale 41. Nous pouvons donc conclure que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐸 est de 41 degrés.

Notre question suivante implique également des angles alternes internes.

A partir des informations sur la figure ci-dessous, déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶.

L’angle 𝐴𝐸𝐶 est montré sur le schéma. Il peut être divisé en une somme de deux autres angles, l’angle 𝐴𝐸𝐹 et l’angle 𝐶𝐸𝐹. Nous pouvons utiliser nos propriétés d’angles impliquant des droites parallèles pour calculer ces deux valeurs. Les droites 𝐴𝐵, 𝐸𝐹 et 𝐶𝐷 sont parallèles comme indiqué sur la figure. Nous savons que les angles alternes internes sont égaux. On les appelle parfois des angles en forme « zed ». Cela signifie que l’angle 𝐵𝐴𝐸 est égal à l’angle 𝐴𝐸𝐹. Ils sont tous deux égaux à 92 degrés.

La somme des angles intérieurs d’un même côté de la sécante ou supplémentaires est de 180 degrés. Ils sont souvent appelés angles en forme « C ». Dans cette question, l’angle 𝐶𝐸𝐹 plus 131 degrés égale 180 degrés. Cela signifie que notre angle inconnue 𝑦, l’angle 𝐶𝐸𝐹, égale 49 degrés. Nous pouvons donc calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐶 en additionnant 92 degrés et 49 degrés. Celle-ci égale 141 degrés.

La dernière question que nous allons voir implique les propriétés d’angles d’un parallélogramme.

Déterminez la mesure de l’angle 𝐹𝐺𝐸.

La figure représente un parallélogramme, où les droites 𝐸𝐹 et 𝐺𝐻 sont parallèles. Les côtés 𝐸𝐻 et 𝐹𝐺 sont aussi parallèles. Nous pouvons donc utiliser nos propriétés d’angles impliquant des droites parallèles pour trouver la mesure de l’angle 𝐹𝐺𝐸. Nous commençons par rappeler que les angles alternes internes sont égaux. On les appelle souvent des angles en forme « zed ». Dans cette question, l’angle 𝐻𝐺𝐸 est égal à l’angle 𝐺𝐸𝐹. Ils sont tous deux égaux à 31 degrés.

𝐸𝐹𝐺 est un triangle. Et nous savons que la somme des angles dans un triangle est de 180 degrés. Cela signifie que 𝑥 plus 31 plus 106 égale 180. En simplifiant, on peut dire que 𝑥 plus 137 égale 180. Enfin, en soustrayant 137 des deux membres, on obtient 𝑥 égale 43. Nous pouvons donc conclure que la mesure de l’angle 𝐹𝐺𝐸 est de 43 degrés.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés.

Nous avons trois propriétés principales d’angles impliquant des droites parallèles. Tout d’abord, les angles correspondants ou en forme F sont égaux. Les angles alternes internes sont aussi égaux. Ce sont les angles dits « zed ». Les angles intérieurs d’un même côté de la sécante ou supplémentaires ont une somme de 180 degrés. Ils sont aussi appelés angles en forme C. Lorsque nous traitons un problème impliquant des droites parallèles, nous devons également connaître nos propriétés impliquant des triangles, des quadrilatères, des droites et des angles opposés par le sommet.

Le théorème des droites parallèles stipule que lorsque les droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les paires d’angles correspondants et alternes internes sont égaux. C’est ce que montre la figure où les droites D un et D deux sont parallèles et D trois est la sécante. Les angles 𝑎, 𝑐, 𝑒 et 𝑔 sont égaux, tout comme les angles 𝑏, 𝑑, 𝑓 et ℎ. Les quatre angles à l’intersection de D un et D trois sont égaux aux angles à l’intersection de D deux et D trois.