Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Trouver où sont les maxima et minima locaux d’une fonction à partir du graphique de sa dérivée première Mathématiques

La courbe représentative de la fonction dérivée première 𝑓′ d’une fonction continue 𝑓 est illustrée ci-dessous. Pour quelles valeurs de 𝑥, 𝑓 admet-elle un maximum local et un minimum local ?

05:40

Transcription de vidéo

Ceci est le graphique de la dérivée première 𝑓 prime d’une fonction continue 𝑓. Pour quelles valeurs de 𝑥, 𝑓 a-t-elle un maximum local et un minimum local ?

En regardant le graphique, on pourrait penser que les maxima locaux sont en 𝑥 égale deux et 𝑥 égale cinq et que les minima locaux sont en 𝑥 égale trois et 𝑥 égale sept. On souhaite savoir où la fonction 𝑓 a des minima et maxima locaux. Mais la courbe représentée est celle de 𝑓 prime, la dérivée première de 𝑓, et non 𝑓 elle-même.

On voit que les maxima locaux de 𝑓 prime sont en 𝑥 égale deux et 𝑥 égale cinq et que les minima locaux de 𝑓 prime sont en 𝑥 égale trois et 𝑥 égale sept. Donc il n’est pas suffisant de simplement lire les maxima et les minima locaux sur le graphique donné. Mais on peut utiliser ce graphique de 𝑓 prime pour trouver les maxima et minima locaux de la fonction 𝑓.

Utilisons d’abord le théorème de Fermat, qui stipule que si une fonction 𝑓 a un maximum ou un minimum local en 𝑐 et que 𝑓 prime de 𝑐 existe, alors 𝑓 prime de 𝑐 est égale à zéro. Or, on voit que 𝑓 prime de 𝑐 existe pour toutes les valeurs de 𝑐 sur le graphique. Et donc, le théorème de Fermat indique qu’il faut chercher des valeurs de 𝑐 pour lesquelles 𝑓 prime de 𝑐 est nulle. Ceci correspond aux endroits où la courbe coupe l’axe des 𝑥. Donc, c’est en 𝑥 égale un, 𝑥 égale six et 𝑥 égale huit.

Ayant trouvé les valeurs de 𝑐 pour lesquelles 𝑓 prime de 𝑐 est nulle, revenons au théorème de Fermat et appliquons-le à notre fonction. Si 𝑓 a un maximum ou un minimum local en 𝑐, alors 𝑐 égale un, 𝑐 égale six ou 𝑐 égale huit. Par conséquent, on voit qu’il n’y a que trois valeurs possibles de 𝑐 où 𝑓 peut avoir un maximum ou un minimum local.

Cependant, le théorème de Fermat n’indique pas, pour chacune de ces trois valeurs de 𝑐, si 𝑓 a un maximum ou un minimum local, ou bien si elle n’a ni maximum local ni minimum local. Pour cela, on a besoin du test de la dérivée première. Si 𝑓 prime passe de positive à négative en 𝑐, alors 𝑓 a un maximum local en 𝑐. Si 𝑓 prime passe de négative à positive en 𝑐, alors 𝑓 a un minimum local en 𝑐. Et si 𝑓 prime ne change pas de signe en 𝑐, alors 𝑓 n’a ni maximum local ni minimum local en 𝑐.

Appliquons le test de la dérivée première au premier point critique, 𝑐 égale un. On sait qu’en 𝑐 égale un, 𝑓 prime de 𝑐 est nulle. Mais quel est le signe de 𝑓 prime de chaque côté de 𝑐 ? En regardant le graphique, on voit que 𝑓 prime passe de négative à positive en 𝑐 égale un. Et par le test de la dérivée première, on en déduit que 𝑓 a un minimum local en 𝑐 égale un.

Bien, et qu’en est-il du deuxième point critique, 𝑐 égale six ? Encore une fois, regardons le graphique. Mais cette fois, le signe de 𝑓 prime passe de positif à négatif en 𝑐 égale six. Il y a donc un maximum local de 𝑓 en six.

Enfin, considérons le dernier point critique, 𝑐 égale huit, où on voit que 𝑓 prime passe de négative à positive. Et donc, comme en un, 𝑓 a un minimum local en huit. Alors, voici notre réponse : 𝑓 a un maximum local en 𝑥 égale six et des minima locaux en 𝑥 égale un et 𝑥 égale huit.

Nous avons montré grâce au théorème de Fermat que les maxima et minima locaux de 𝑓 ne pouvaient se trouver qu’aux valeurs critiques un, six et huit, où la dérivée de 𝑓 est nulle. Ensuite, nous avons appliqué le test de la dérivée première à chacune de ces valeurs critiques pour savoir s’il s’agissait d’un maximum local, d’un minimum local, ou ni l’un ni l’autre.

Il est important de savoir non seulement appliquer le théorème de Fermat et le test de la dérivée première, mais de pouvoir également les retenir et comprendre intuitivement pourquoi ils sont vrais. À proximité du maximum local d’une fonction, le graphique de la fonction ressemble à ceci, le maximum se trouve au sommet de la colline. On voit que la tangente à la courbe en ce maximum local est horizontale et a donc une pente nulle. La dérivée de la fonction en ce point est donc nulle.

Donc, si le maximum local du graphique est, au point 𝑐, 𝑓 de 𝑐, alors 𝑓 prime de 𝑐 est nulle. Il en va de même pour un minimum local. La tangente à la courbe en ce point est horizontale et a donc une pente nulle. La dérivée de la fonction en ce point est donc nulle.

En regardant ces tracés, le théorème de Fermat paraît raisonnable. Si 𝑓 a un maximum ou un minimum local en 𝑐, alors 𝑓 prime de 𝑐, la dérivée de 𝑓 en 𝑐, est nulle.

Et qu’en est-il du test de la dérivée première ? Regardons le tracé du maximum local. La tangente à la courbe pour une valeur de 𝑥 inférieure à 𝑐 a une pente positive, alors que pour une valeur de 𝑥 juste au-dessus de 𝑐, elle a une pente négative. Ainsi, 𝑓 prime passe de positive à négative en 𝑐 ; tandis qu’à un minimum local, le signe de 𝑓 prime passe de négatif à positif.

Donc, si vous avez oublié dans quel sens doit changer le signe de 𝑓 prime pour qu’il s’agisse d’un maximum local ou d’un minimum local selon le test de la dérivée première, ne paniquez pas, faites un tracé comme nous venons de le faire. L’essentiel à retenir est que la dérivée d’une fonction 𝑓 en un point 𝑥 est la pente de la tangente à la courbe de la fonction 𝑓 en ce point.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.