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Vidéo de la leçon : Opérations sur les événements Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les probabilités du complément, de l’intersection et de l’union des événements.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les probabilités du complément, de l’intersection et de l’union des événements. Nous commencerons par introduire une notation et des définitions clés des probabilités ainsi que leur représentation sur un diagramme de Venn.

Le complément d’un événement 𝐴 dans un espace échantillon 𝑆, noté 𝐴 prime ou 𝐴 barre, est la collection de tous les résultats de 𝑆 qui ne sont pas des éléments de l’ensemble 𝐴. En d’autres termes, 𝐴 prime est l’événement où 𝐴 ne se produit pas. La règle de probabilité pour les compléments indique que la probabilité de 𝐴 prime est égale à un moins la probabilité de 𝐴. Le complément de l’événement 𝐴 peut être représenté sur un diagramme de Venn par la région hachurée indiquée. Nous hachurons toute la région en dehors du cercle 𝐴.

Nous allons maintenant rappeler les définitions de l’intersection et de l’union de deux événements. L’intersection des événements 𝐴 et 𝐵, notée 𝐴 intersection 𝐵, est la collection de tous les résultats qui sont des éléments des deux ensembles 𝐴 et 𝐵. En d’autres termes, 𝐴 intersection 𝐵 est l’événement où 𝐴 et 𝐵 se produisent tous les deux. Cela peut être représenté sur un diagramme de Venn comme indiqué. Nous hachurons la région qui est dans le cercle 𝐴 et le cercle 𝐵. L’union des événements 𝐴 et 𝐵 notée 𝐴 union 𝐵 est la collection de tous les résultats qui sont des éléments de l’un ou l’autre des ensembles 𝐴 et 𝐵 ou des deux. En d’autres termes, 𝐴 union 𝐵 est l’événement où 𝐴 ou 𝐵 ou 𝐴 et 𝐵 se produisent. Nous pouvons représenter l’union des événements 𝐴 et 𝐵 sur un diagramme de Venn en hachurant tout à l’intérieur du cercle 𝐴 et du cercle 𝐵.

Ces deux définitions de l’intersection et de l’union des événements nous conduisent à une règle clé de probabilité. La règle additive des probabilités indique que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. Cela peut également être montré en utilisant des diagrammes de Venn. Lorsque nous ajoutons la probabilité de l’événement 𝐴 à la probabilité de l’événement 𝐵, nous ajoutons l’intersection deux fois. Cela signifie qu’en soustrayant la probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵 de leur somme, nous obtenons la probabilité de l’union.

Les informations que nous avons vues jusqu’à présent nous amènent à six autres formules que nous pouvons utiliser pour résoudre des problèmes impliquant des probabilités sur les diagrammes de Venn. Premièrement, nous avons le complément de l’union des événements 𝐴 et 𝐵. Ceci est égal à un moins la probabilité de l’union des événements 𝐴 et 𝐵. Sur un diagramme de Venn, cela peut être montré en hachurant tout en dehors de l’union des événements 𝐴 et 𝐵. De la même manière, nous avons la probabilité du complément de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵. Ceci est égal à un moins la probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵. Dans ce cas, nous hachurons tout, sauf l’intersection des deux événements. Dans le premier diagramme, nous voyons que la somme de l’union et de son complément est égale à un, et dans le second diagramme, la somme de l’intersection et de son complément est égale à un.

Ensuite, nous examinerons la probabilité qu’un seul événement se produise. Cela nous amène à deux scénarios possibles : premièrement, la probabilité que l’événement 𝐴 se produise et que l’événement 𝐵 ne se produise pas, et deuxièmement, la probabilité que l’événement 𝐵 se produise et que l’événement 𝐴 ne se produise pas. Ce sont les intersections de l’événement 𝐴 et le complément de l’événement 𝐵 et vice versa. Si nous voulons que seul l’événement 𝐴 se produise, alors nous hachurons la région qui est dans l’ensemble 𝐴 mais pas dans l’ensemble 𝐵. Ceci est donc égal à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. La même méthode peut être utilisée pour démontrer la probabilité que l’événement 𝐵 se produise. C’est la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵.

Nos deux dernières formules sont les compléments de ces deux formules. Premièrement, nous considérons la probabilité de l’union du complément de 𝐴 et de l’événement 𝐵, et deuxièmement, la probabilité de l’union de l’événement 𝐴 et du complément de 𝐵. Dans le diagramme de Venn dessiné, le complément de 𝐴 est hachuré en orange et l’événement 𝐵 est hachuré en rose. Comme nous voulons l’union de ceux-ci, l’un ou l’autre ou les deux peuvent se produire. Cela signifie que nous voulons toute la région hachurée. Comme nous venons de le voir, l’aire non hachurée est la probabilité qu’exactement 𝐴 se produise, écrit la probabilité de 𝐴 intersection complément de 𝐵. On peut donc conclure que la probabilité de l’union du complément de 𝐴 et de l’événement 𝐵 est égale à un moins cette valeur. De la même manière, nous avons la probabilité de l’union de 𝐴 et le complément de 𝐵 est égal à un moins la probabilité de l’intersection du complément de 𝐴 et de l’événement 𝐵.

Nous allons maintenant examiner quelques exemples où nous pouvons utiliser ces définitions et formules pour résoudre des problèmes impliquant des compléments, des intersections et des unions.

Notons 𝐴 et 𝐵 deux événements tels que la probabilité de 𝐴 est de 0,2 et la probabilité de 𝐵 est de 0,47. Étant donné que la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est de 0,18, trouvez la probabilité de 𝐴 union 𝐵.

Nous commençons par rappeler la notation pour l’union et l’intersection dans cette question. Nous pouvons alors répondre à cette question en utilisant la règle additive des probabilités. Cela indique que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. Cela peut également être montré en utilisant des diagrammes de Venn. En substituant aux valeurs données, nous avons la probabilité que 𝐴 union 𝐵 soit égale à 0,2 plus 0,47 moins 0,18. Cela est égal à 0,49. Si la probabilité de 𝐴 est 0,2, la probabilité de 𝐵 est 0,47, et la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est 0,18, alors la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est 0,49.

Nous aurions également pu résoudre ce problème en complétant chaque section du diagramme de Venn. En faisant de la place, nous pouvons commencer par ajouter la probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵, qui est de 0,18. Comme la probabilité de l’événement 𝐴 est de 0,2, nous pouvons calculer la probabilité que seul l’événement 𝐴 se produise en soustrayant 0,18 de 0,2. Cela est égal à 0,02. De même, la probabilité que seul l’événement 𝐵 se produise est égale à 0,47 moins 0,18. Cela est égal à 0,29. L’union des deux événements sera donc égale à la somme de 0,02, 0,18 et 0,29. Cela est égal à 0,49. Pour compléter le diagramme de Venn, il est important d’ajouter la probabilité que ni l’événement 𝐴 ni l’événement 𝐵 ne se produise, dans ce cas, 0,51. Cela correspond à un moins 0,49.

Dans notre exemple suivant, nous devons calculer la probabilité que ni l’événement 𝐴 ni l’événement 𝐵 ne se produisent.

Supposons que 𝐴 et 𝐵 sont deux événements avec une probabilité 𝑃 de 𝐴 égale à 0,6 et 𝑃 de 𝐵 égale 0,5. Étant donné que la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est de 0,4, quelle est la probabilité qu’aucun des deux événements ne se produise ?

Dans cette question, nous devons calculer la probabilité qu’aucun des deux événements ne se produise. Comme le montre le diagramme de Venn, il s’agit du complément de l’union des événements 𝐴 et 𝐵. Puisque la somme d’un événement et de son complément est égale à un, nous pouvons calculer la probabilité que ni l’événement 𝐴 ni l’événement 𝐵 ne se produisent en soustrayant la probabilité de 𝐴 union 𝐵 de un. Dans cette question, on ne nous donne pas la probabilité de l’union. Cependant, on nous donne la probabilité de l’événement 𝐴, la probabilité de l’événement 𝐵 et la probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵. Cela signifie que nous pouvons commencer par utiliser la règle additive des probabilités, qui dit que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵.

En remplaçant par les valeurs données, le côté droit devient 0,6 plus 0,5 moins 0,4. La probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à 0,7. C’est la zone hachurée en rose sur notre diagramme de Venn. Nous pouvons maintenant trouver son complément en soustrayant 0,7 de un, ce qui est égal à 0,3. Nous pouvons donc conclure que si la probabilité de 𝐴 est de 0,6, la probabilité de 𝐵 est de 0,5 et la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est de 0,4, alors la probabilité que ni l’événement 𝐴 ni l’événement 𝐵 ne se produisent est de 0,3. Ceci est la section en dehors des cercles sur notre diagramme de Venn.

Dans notre dernière question, nous utiliserons la règle additive des probabilités pour résoudre un problème en contexte.

Un groupe de 68 écoliers a répondu à un sondage sur leurs préférences en matière de télévision. Les résultats montrent que 43 enfants regardent la chaîne 𝐴, 26 la chaîne 𝐵 et 12 les deux chaînes. Si un enfant est sélectionné au hasard dans le groupe, quelle est la probabilité qu’il regarde au moins l’une des deux chaînes ?

Notre objectif dans cette question est de calculer la probabilité qu’un enfant sélectionné au hasard regarde au moins l’une des deux chaînes. C’est la probabilité de 𝐴 union 𝐵 et peut être représentée sur un diagramme de Venn, comme indiqué. Nous rappelons que la règle additive des probabilités dit que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵.

On nous dit dans la question que 43 écoliers sur 68 regardent la chaîne 𝐴. Cela signifie que la probabilité de sélectionner un enfant au hasard qui regarde la chaîne 𝐴 est de 43 sur 68. De même, la probabilité de sélectionner un enfant qui regarde la chaîne 𝐵 est de 26 sur 68, car les résultats de l’enquête ont montré que 26 des enfants regardent la chaîne 𝐵. On nous a également dit que 12 enfants regardent les deux chaînes. Il s’agit de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵 comme indiqué en rose sur le diagramme de Venn. La probabilité de cette intersection est de 12 sur 68.

En substituant les trois fractions dans notre formule, nous avons la probabilité que 𝐴 union 𝐵 soit égale à 43 sur 68 plus 26 sur 68 moins 12 sur 68. Comme les dénominateurs sont les mêmes et que 43 plus 26 moins 12 est égal à 57, la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est de 57 sur 68. Nous pouvons donc conclure que la probabilité qu’un enfant sélectionné au hasard regarde au moins l’un des deux chaînes est de 57 sur 68.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Le complément d’un événement 𝐴, noté 𝐴 prime, est la collection de tous les résultats qui ne sont pas des éléments de l’ensemble 𝐴. L’intersection des événements 𝐴 et 𝐵, notée 𝐴 intersection 𝐵, est la collection de tous les résultats qui sont des éléments des deux ensembles 𝐴 et 𝐵. L’union des événements 𝐴 et 𝐵 est la collection de tous les résultats qui sont des éléments de l’un ou l’autre des ensembles 𝐴 et 𝐵, ou des deux.

Ces définitions nous conduisent aux formules suivantes. La règle additive des probabilités indique que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. Parmi les autres formules de probabilité impliquant des compléments, des unions et des intersections, celles que nous avons vues dans cette vidéo sont les six suivantes. Nous pouvons utiliser ces formules avec des diagrammes de Venn pour calculer les probabilités et résoudre des problèmes en contexte.

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