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Vidéo de question : Dérivation des fonctions impliquant fonctions trigonométriques réciproques et des racines à l’aide de la règle de chaîne Mathématiques

On pose 𝑦 = √ (19 csc 𝑥 + 18). Calculez d𝑦 / d𝑥.

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Transcription de vidéo

On pose 𝑦 est égal à la racine carrée de 19 cosécante de 𝑥 plus 18. Calculez d𝑦 par d𝑥.

On nous donne 𝑦 en tant que fonction de 𝑥 et on nous demande de trouver d𝑦 par d𝑥. Il s’agit de la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous devons donc dériver notre expression de 𝑦 par rapport à 𝑥. En regardant cela, nous pouvons voir que nous avons la racine carrée d’une fonction trigonométrique. En d’autres termes, 𝑦 est une composition de fonctions. Pour dériver une composition de fonctions, nous pouvons effectivement le faire en utilisant la règle de chaîne. Cependant, puisque notre fonction extérieure est une fonction de puissance, nous pouvons le faire en utilisant la règle générale de la puissance. Peu importe la méthode que nous utilisons ; les deux nous donnent la même réponse ; à vous de choisir. Dans ce cas, nous allons utiliser la règle de puissance générale.

Pour utiliser la règle générale de la puissance, nous allons d’abord utiliser nos lois des exposants pour réécrire 𝑦 comme 19 cosécante de 𝑥 plus 18 le tout élevé à la puissance un demi. Rappelons alors la règle générale des puissances. Elle nous indique pour toute constante réelle 𝑛 et une fonction dérivable 𝑓 de 𝑥, si 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 élevée à la puissance n, alors d𝑦 par d𝑥 serait égal à 𝑛 fois 𝑓 prime de 𝑥 multipliée par 𝑓 de 𝑥 élevée à la puissance 𝑛 moins un. Nous pouvons voir que 𝑦 est exactement écrit sous cette forme, avec notre exposant 𝑛 égal à un demi et 𝑓 de 𝑥, notre fonction trigonométrique interne, 19 cosécante de 𝑥 plus 18.

Cependant, pour utiliser la règle générale des puissances, nous devons d’abord trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑥. 𝑓 prime de 𝑥 sera la dérivée de 19 cosécante de 𝑥 plus 18 par rapport à 𝑥. Il existe différentes façons d’évaluer cette dérivée. Par exemple, nous pourrions réécrire la cosécante de 𝑥 en utilisant l’identité cosécante de 𝑥 est égal à un sur sinus de 𝑥. Nous pourrions alors dériver cela en utilisant la règle de puissance générale ou la règle de dérivation en chaîne ou encore, nous pourrions le faire en utilisant la règle du quotient. Qu’importe la méthode que nous utilisons, nous allons obtenir la même réponse. Cependant, nous pouvons également rappeler le résultat suivant pour la dérivation des fonctions trigonométriques réciproques.

La dérivée de cosécante de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins la cotangente de 𝑥 multiplié par la cosécante de 𝑥. Nous pouvons alors utiliser ceci pour dériver 𝑓 de 𝑥 terme par terme. Premièrement, la dérivée de 19 cosécante de 𝑥 par rapport à 𝑥 sera moins 19 cotangente de 𝑥 fois la cosécante de 𝑥. Ensuite, nous savons que la dérivée de la constante 18 par rapport à 𝑥 sera simplement égale à zéro.

Sachant que nous avons trouvé une expression pour 𝑓 prime et que nous connaissons la valeur de 𝑛 et une expression pour 𝑓 de 𝑥, nous pouvons utiliser la règle générale des puissances pour trouver d𝑦 par d𝑥. En substituant dans nos expressions 𝑓 de 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥 et 𝑛 est égal à un demi dans notre règle de puissance générale, nous obtenons d𝑦 par d𝑥 est égal à un demi fois moins 19 cotangente de 𝑥 fois la cosécante de 𝑥 multiplié par 19 cosécante de 𝑥 plus 18 le tout élevé à la puissance de un demi moins un.

Nous pouvons simplifier cela. Premièrement, dans notre exposant, un demi moins un est égal à moins un demi. Nous pourrions aussi simplifier notre coefficient. Cependant, rappelez-vous de nos lois des exposants, 𝑎 à la puissance moins un demi est égal à un divisé par la racine carrée de 𝑎. Ainsi, au lieu de multiplier par 19 cosécante de 𝑥 plus 18, le tout élevé à la puissance moins un demi, nous pouvons plutôt diviser par la racine carrée de 19 cosécante de 𝑥 plus 18.

En faisant cela et en réorganisant légèrement, nous obtenons donc notre réponse finale. Par conséquent, en utilisant la règle de puissance générale, nous avons pu montrer si 𝑦 est égal à la racine carrée de 19 cosécante de 𝑥 plus 18, alors d𝑦 par d𝑥 sera égal à moins 19 cotangente de 𝑥 fois le cosécante de 𝑥 le tout divisé par deux fois la racine carrée de 19 cosécante de 𝑥 plus 18.

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