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Vidéo de la leçon : Présentation de la croissance et décroissance exponentielles Mathématiques

Présentation et utilisation du format général des équations représentant la croissance et la décroissance exponentielles ( 𝑦 = [quantité initiale] ∗ [multiplicateur]^𝑥 ). Nous apprenons également à les reconnaître dans des tableaux de valeurs et des graphiques et à explorer différentes valeurs du multiplicateur.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons nous pencher sur la croissance et la décroissance exponentielles. Avant de regarder, vous devez déjà être familiarisé avec les relations linéaires et la croissance linéaire. Nous apprendrons également à reconnaître la croissance et la décroissance exponentielles dans des tableaux de valeurs, des équations et des graphiques. Commençons par regarder un exemple de modèle de croissance constante ou une fonction affine.

Chaque jour, Anna fabrique deux chaises. Pour commencer, elle n’a fait aucune chaise. Après une journée, elle a fait deux chaises. Après deux jours, elle en fait quatre. Trois jours, c’est six, et ainsi de suite. C’est ce que nous appelons un modèle de croissance constante. Chaque fois que nous ajoutons un au nombre de jours qui se sont écoulés, nous ajoutons deux au nombre de chaises qu’Anna a fabriquées. Et que nous passions du jour un au jour deux ou du jour 500 au jour 501, le nombre de chaises supplémentaires sera toujours de deux pour une journée supplémentaire.

Maintenant, nous pourrions utiliser les jours comme coordonnées 𝑥 et le nombre total de chaises comme coordonnées 𝑦, et nous pouvons tracer une courbe. Et si nous joignons les points, cela ressemblerait à quelque chose comme ça. L’équation de cette droite est 𝑦 égale deux 𝑥. Ou je vais écrire 𝑦 égal à deux 𝑥 plus zéro pour le moment. Maintenant, le multiplicateur 𝑥 nous indique la pente de cette courbe. Et cela signifie que si j’augmente la coordonnée 𝑥 d’une unité, alors la coordonnée 𝑦 correspondante augmenterait de deux. La pente est de deux. Et le plus zéro à la fin nous indique simplement où cette droite coupe l’axe des 𝑦. Le fait qu’il soit nul nous indique que lorsque 𝑥 est nul, 𝑦 est aussi égal à zéro.

Maintenant, le fait qu’il s’agisse d’une droite signifie que nous obtenons la même augmentation de 𝑦 pour la même augmentation de 𝑥, quel que soit le lieu sur la droite que vous regardez. Donc, que nous parlions ici ou ici ou ici ou ici, la pente est toujours la même et le taux de croissance est toujours le même. Maintenant, le principal point à souligner à ce stade est qu’il s’agit d’une croissance constante ou d’une croissance linéaire. Ce n’est pas une croissance exponentielle.

Nous allons examiner cela ensuite. Réfléchissons maintenant à une situation différente.

Dans un laboratoire, une boîte de Pétri contient 500 bactéries et elles se reproduisent. La population augmente de 50 pour cent toutes les heures. Maintenant, vous pouvez voir un tableau de valeurs montrant le nombre de bactéries au cours des cinq premières heures. Et nous avons arrondi ces chiffres dans la deuxième droite, le nombre de bactéries, au nombre entier le plus proche. En regardant les chiffres dans le tableau, vous pouvez voir que chaque heure, nous augmentons la population de bactéries de 50 pour cent. Bien que nous appliquions le même pourcentage d’augmentation toutes les heures, plus 50 pour cent, parce que nous avons de plus en plus de bactéries au fil du temps, nous ajoutons 50 pour cent de plus en plus. Les incréments horaires augmentent. C’est un taux de croissance croissant. Et nous appelons ce genre de situation une croissance exponentielle.

Maintenant, pour déterminer combien de bactéries nous aurons dans la prochaine heure, ce que nous devons faire est de multiplier le nombre de bactéries que nous avons eues au cours de la dernière heure par 1.5. Par exemple, passer d’une heure à deux heures, nous commençons avec 750 bactéries, alors que dans deux heures, nous allons avoir 100 pour cent de nos bactéries d’origine et un 50 pour cent supplémentaire d’entre elles. Donc, la quantité de bactéries que nous allons avoir est de 150 pour cent de 750. Donc 150 pour cent signifie 150 divisé par 100. Et c’est 1.5. Notre multiplicateur pour calculer 150 pour cent de quelque chose est donc 1.5.

Donc 1.5 est notre facteur commun. Chaque heure, nous multiplions le nombre de bactéries par 1.5, pour déterminer le nombre de bactéries que nous aurons dans l’heure suivante. Cela en fait une séquence géométrique. Nous allons donc commencer à l’heure zéro avec 500 bactéries. Une heure plus tard, nous aurons 500 fois 1.5 bactéries. Une heure plus tard, nous prendrons la quantité que nous avions après la première heure, et nous le multiplierons par 1.5. Et une heure plus tard, nous multiplierons ce nombre par 1.5 et ainsi de suite. Eh bien, cela signifie qu’au bout d’une heure, nous aurons multiplié 500 par 1.5 une fois, ce que nous pouvons écrire comme ceci. 500 fois 1.5 à la puissance un. Après deux heures, nous aurons multiplié par 1.5 deux fois, que nous pouvons écrire comme ceci. 500 fois 1.5 au carré. Après trois heures, ce sera 500 fois 1.5 au cube. Et après quatre heures, ce sera 500 fois 1.5 avec une puissance quatre.

Maintenant, ce premier nombre ici, on pourrait dire que c’est juste une fois. Eh bien, 1.5 à la puissance zéro n’est qu’un. Donc une autre façon d’écrire qui serait 500 fois 1.5 à la puissance zéro. Ainsi, le modèle est, après zéro heure, c’est 500 fois 1.5 à la puissance zéro. Après une heure, c’est 500 fois 1.5 à la puissance un. Après deux heures, c’est 500 fois 1.5 avec la puissance deux et ainsi de suite. Trois heures, c’est à la puissance trois et quatre heures, c’est à la puissance quatre.

Maintenant, nous pouvons résumer cela avec une formule. Si nous posons 𝑥 le nombre d’heures écoulées, alors le nombre de bactéries que nous aurons dans la boîte de Pétri sera 500 fois 1.5 à la puissance 𝑥. Rappelez-vous, le 500 était la quantité initiale de bactéries et le 1.5 est notre multiplicateur horaire. Parce que nous ajoutions 50 pour cent, nous devons multiplier par 1.5. Ce type de formule est ce que nous appelons la croissance exponentielle. Et si nous traçons cela sous forme de courbe, voici à quoi cela ressemblerait.

Remarquez comment au cours de la première heure, le nombre de bactéries augmente de 250. Mais entre la quatrième et la cinquième heure, bien que nous augmentions encore la population de 50 pour cent, cela fait maintenant 1266 supplémentaires, au nombre entier de bactéries le plus proche. Le taux de croissance augmente. Cette courbe devient de plus en plus raide. Maintenant, en comparant cela avec le modèle à taux de croissance constant, vous pouvez voir que la courbe de la croissance exponentielle s’éloigne de plus en plus de la croissance constante. Pour cette droite ici, nous ajoutons simplement les 250 bactéries supplémentaires toutes les heures, alors qu’avec cette courbe, nous ajoutons 50 pour cent de la population supplémentaire, peu importe avec quoi elle a commencé au début de cette heure.

Voici donc une formule générale pour une croissance exponentielle. 𝑦 est égal à la quantité initiale que nous avions multipliée par le multiplicateur à la puissance ou d’exposant 𝑥. C’est de là que vient le nom de « croissance exponentielle » car c’est l’exposant 𝑥 dans la formule. Donc, cet exposant 𝑥 nous dit combien de fois nous multiplions la quantité initiale par le multiplicateur. Et il convient également de noter que lorsque 𝑥 est égal à zéro, le multiplicateur de la puissance zéro est un. Nous nous retrouvons donc avec notre quantité initiale. Une autre conséquence intéressante de ceci est que si notre multiplicateur est supérieur à un, alors nous obtenons une croissance exponentielle. Les valeurs 𝑦 augmentent de plus en plus à mesure que 𝑥 augmente de plus en plus. Nous ajouterons le même pourcentage de quantités plus importantes pour chaque augmentation correspondante de 𝑥. Ainsi, les incréments réels eux-mêmes seront plus importants. Plus le multiplicateur est grand, plus la courbe monte rapidement.

Et si le multiplicateur est égal à un, alors nous obtenons simplement une droite plate constante. Donc peu importe combien de fois je multiplie deux par un, j’en reçois toujours deux. Donc, pour cette équation, j’ai une quantité initiale de deux et mon multiplicateur est un. Mais dès que mon multiplicateur devient supérieur à un, alors j’obtiens une courbe de croissance exponentielle. Et plus le multiplicateur est grand, plus la courbe monte rapidement. Lorsque les multiplicateurs sont plus grands, puis les coordonnées 𝑦 deviennent très, très grand très, très rapidement. Cela vaut également la peine d’être souligné ; lorsque le multiplicateur est compris entre zéro et un, nous obtenons une décroissance exponentielle. Nous réduisons effectivement la coordonnée 𝑦 d’un pourcentage fixe chaque fois que 𝑥 augmente d’une certaine quantité.

Il convient également de noter qu’avec la décroissance exponentielle, nous diminuons du même pourcentage à chaque fois. Nous obtiendrons donc des diminutions de plus en plus petites. Nous n’atteindrons jamais tout à fait zéro si nous commençons avec un nombre strictement positif. Et nous n’obtiendrons jamais non plus de réponse négative. La coordonnée 𝑦 se rapproche de plus en plus de zéro. Or, cet effet, la courbe se rapprochant de plus en plus de l’axe des 𝑥 mais ne l’atteignant jamais tout à fait, est appelé asymptotique. Donc ici, l’axe des 𝑥 est une asymptote. C’est la droite vers laquelle la courbe se rapproche de plus en plus, mais qui n’est jamais atteinte.

Prenons juste un moment pour résumer ce que nous avons appris alors. La formule générale pour la croissance exponentielle ou la décroissance est dans ce format. 𝑦 est égal à une certaine quantité initiale multipliée par un multiplicateur à la puissance 𝑥. Et la valeur du multiplicateur est essentielle pour déterminer si elle est va être constante ou si nous allons avoir une croissance ou décroissance exponentielle. Si le multiplicateur est strictement compris entre zéro et un, alors nous obtenons une décroissance exponentielle. La coordonnée 𝑦 se rapproche de plus en plus de zéro sans jamais y arriver. Si le multiplicateur est égal à un, nous n’obtenons pas de croissance ou de décroissance exponentielle. Nous obtenons juste une valeur constante parce que nous multiplions juste notre quantité initiale par un, un certain nombre de fois. Et si notre multiplicateur est strictement supérieur à un, nous obtenons une croissance exponentielle. La coordonnée 𝑦 devient de plus en plus grande à un rythme croissant.

Maintenant, essayons de reconnaître une croissance et une décroissance exponentielle à partir de tableaux de valeurs, de descriptions et de certaines équations.

Ici, nous avons des valeurs 𝑥 zéro, un, deux et trois. Et les valeurs 𝑦 correspondantes sont 10, 20, 40 et 80. Maintenant, les incréments par lesquels j’augmente 𝑥 de un deviennent plus grands. Il y a donc croissance et croissance. Mais le facteur important ici est que lorsque j’augmente 𝑥 d’une unité, je double toujours ma coordonnée 𝑦. J’ai un ratio commun de deux entre ces termes. Cela en fait une séquence géométrique.

Maintenant, l’important est que lorsque 𝑥 est égal à un, j’ai multiplié cette valeur initiale de 𝑦 par deux une fois. Lorsque 𝑥 est deux, j’ai multiplié par deux la valeur initiale de 𝑦 par deux. Et quand 𝑥 est trois, j’ai multiplié la valeur initiale de 𝑦 par deux trois fois. Donc, j’ai une formule qui ressemble à ceci. 𝑦 est égal à 10, la quantité initiale, multipliée par deux, ce multiplicateur, à la puissance 𝑥. Cela en fait une croissance exponentielle. La formule est au format de croissance exponentielle. Nous avons une quantité initiale de 10 et un multiplicateur strictement supérieur à un. Donc, notre réponse est la croissance exponentielle.

Notre prochain exemple, nous avons les mêmes coordonnées 𝑥, zéro, un, deux et trois. Et les coordonnées 𝑦 sont 10, 20, 60, 240. Et maintenant les coordonnées 𝑦 deviennent plus grandes. Et elles ne grossissent pas à un rythme régulier ; elles grossissent à un rythme croissant. Ce n’est donc pas une relation linéaire. Potentiellement, ce pourrait être une croissance exponentielle. Nous avons donc une croissance de plus en plus grande, mais nous n’avons pas le même facteur commun. Si nous passons de 𝑥 égal à zéro à 𝑥 égal à un, nous doublons la coordonnée 𝑦. Et entre 𝑥 égal à un et 𝑥 égal à deux, nous triplons la coordonnée 𝑦. Et entre 𝑥 égal deux et 𝑥 égal trois, nous multiplions cette coordonnée 𝑦 par quatre.

Donc, parce que nous n’avons pas de facteur commun, ce format ici, 𝑦 est égal à la quantité initiale multipliée par un multiplicateur à la puissance 𝑥, nous n’avons pas de multiplicateur commun. Donc ça ne marche pas. Ce n’est pas une croissance exponentielle.

Maintenant, dans ce cas, nous avons les mêmes coordonnées 𝑥, et les coordonnées 𝑦 augmentent. Mais la vitesse à laquelle les coordonnées 𝑦 augmentent est linéaire ; ils augmentent toujours de la même quantité, 10. Ainsi, les coordonnées 𝑦 augmentent toujours de la même quantité. Les multiplicateurs ne sont pas constants ; ils diminuent. Ce n’est donc pas une croissance exponentielle ; c’est une croissance linéaire.

Maintenant, avec cet ensemble de données, comme nos coordonnées 𝑥 augmentent d’une fois à chaque fois, les coordonnées 𝑦 diminuent. Mais ils diminuent de moins en moins à chaque fois. En fait, chaque terme 𝑦 est la moitié du terme 𝑦 précédent. Maintenant, nous pouvons écrire une formule générale pour ces nombres dans ce format. Nous avons 𝑦 est égal à notre quantité initiale de 32 fois le multiplicateur commun 0.5 à la puissance 𝑥, ou d’exposant 𝑥. Et ce multiplicateur est compris entre zéro et un. Et cette combinaison de facteurs nous dit que nous avons une décroissance exponentielle.

Un plan d’épargne paie des intérêts au taux de 0.9 pour cent par an. Cela représente-t-il une croissance linéaire ou exponentielle ?

Eh bien, avec un taux d’intérêt de 0.9 pour cent, ce n’est pas un plan d’épargne particulièrement généreux. Mais chaque année, vous aurez 100 pour cent de ce que vous aviez l’année dernière plus 0.9 pour cent supplémentaire. Donc, au bout d’un an, vous aurez 100.9 pour cent du montant que vous aviez à la fin de l’année précédente. Rappelez-vous maintenant que 100.9 pour cent signifie 100.9 divisé par 100, ce qui signifie que pour calculer un pourcentage, nous avons un multiplicateur de 1.009. Et 1.009 est supérieur à un, ce sera donc une croissance exponentielle.

Jetons un coup d’œil à la formule. Tout d’abord, nous devons définir certaines variables. Soit 𝑥 égal au numéro de l’année. Soit 𝑦 égal au montant du compte d’épargne, en dollars. Et que 𝑎 soit la quantité initiale que nous avons investie dans ce compte, en dollars. Ainsi, le montant des économies que nous aurons dans le compte, après l’année 𝑥, sera notre quantité initiale 𝑎 fois 1.009, notre multiplicateur, à la puissance 𝑥. Et le multiplicateur est strictement supérieur à un. Et cela signifie que nous aurons une croissance exponentielle.

Ensuite, la fonction exponentielle 𝑦 est- elle égale à 0.7 fois 1.3 à la puissance 𝑥 en croissance ou en décroissance ?

Eh bien, la question nous dit que c’est une fonction exponentielle et qu’elle correspond également au modèle. Notre quantité initiale est de 0.7 et notre multiplicateur est de 1.3. Et bien sûr, 1.3 est strictement supérieur à un, ce qui nous indique une croissance exponentielle. Donc, la réponse à la question est qu’elle grandit. Maintenant, cela a été conçu pour être une question légèrement sournoise. La quantité initiale était ici comprise entre zéro et un. Mais rappelez-vous que c’est la valeur du multiplicateur qui est cruciale pour déterminer s’il s’agit d’une croissance exponentielle ou d’une décroissance. Et le multiplicateur était strictement supérieur à un, c’est pourquoi il s’agissait d’une croissance exponentielle.

Une dernière question alors, 𝑦 est égal à six à la puissance 𝑥. Cela représente-t-il une croissance ou une décroissance exponentielle ou linéaire ?

Encore une fois, c’est une question un peu sournoise parce que cette formule n’est pas tout à fait dans le format auquel nous sommes habitués, mais nous pouvons l’écrire de cette façon. C’est la même chose que 𝑦 est égal à un fois six à la puissance 𝑥. Donc, notre quantité initiale est un et notre multiplicateur est strictement supérieur à un. Et il suit le format général de notre équation exponentielle. Ainsi, il coche toutes les cases pour une croissance exponentielle.

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