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Vidéo de la leçon : Croissance et décroissance exponentielles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment construire et résoudre des équations de croissance et de décroissance exponentielles, et comment interpréter leurs solutions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons étudier la croissance et la décroissance exponentielle. Avant de regarder cette vidéo, vous devriez déjà être familier avec les fonctions affines et les croissance linéaires. Nous allons ici apprendre à reconnaître la croissance et la décroissance exponentielles à partir de tableaux de valeurs, d’équations et de descriptions. Commençons par étudier un exemple de modèle de croissance constante, c’est-à-dire une fonction affine.

Chaque jour, Anna fabrique deux chaises. Au départ, elle n’a fabriqué aucune chaise. Après un jour, elle a fabriqué deux chaises. Après deux jours, elle en a fabriquées quatre. Au bout de trois jours, six, et ainsi de suite. C’est ce que l’on appelle un modèle de croissance constante. Chaque fois que l’on ajoute un au nombre de jours écoulés, on ajoute deux au nombre de chaises qu’Anna a fabriquées. Et que l’on passe du jour un au jour deux ou du jour 500 au jour 501, le nombre de chaises supplémentaires est toujours de deux pour une journée supplémentaire.

On peut alors utiliser les jours pour les abscisses et le nombre total de chaises pour les ordonnées, et tracer un graphique. Et si on relie les points, on obtient quelque chose qui ressemble à peu près à ça. L’équation de cette droite est 𝑦 égale deux 𝑥. Que je peux également écrire comme 𝑦 égale deux 𝑥 plus zéro pour le moment. Maintenant, le coefficient de 𝑥 nous indique la pente de cette droite. Cela signifie que si j’augmente l’abscisse 𝑥 d’une unité, alors l’ordonnée 𝑦 correspondante augmente de deux. La pente est égale à deux. Et le plus zéro à la fin nous indique simplement où cette droite coupe l’axe des ordonnées. Le fait qu’il soit égal à zéro indique que lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est aussi égal à zéro.

Puisqu’il s’agit d’une droite, cela signifie que l’on obtient la même augmentation de 𝑦 pour une augmentation donnée de 𝑥, quel que soit l’endroit de la droite que l’on étudie. Donc, que l’on regarde ici, ici, ici ou ici, la pente est toujours la même et le taux de variation est toujours le même. Maintenant, le principal point à souligner à ce stade est qu’il s’agit d’une croissance constante, ou croissance linéaire. Ce n’est pas une croissance exponentielle.

Nous allons à présent en étudier un exemple. Passons donc à une situation différente.

Dans un laboratoire, une boîte de Pétri contient 500 bactéries qui se reproduisent. La population augmente de 50 pour cent par heure. Ce tableau de valeurs représente le nombre de bactéries au cours des cinq premières heures. Et nous avons arrondi les nombres dans la deuxième ligne, le nombre de bactéries, à l’entier le plus proche. En observant les chiffres dans le tableau, vous pouvez voir que chaque heure, la population de bactéries augmente de 50 pour cent. Bien que le pourcentage de croissance est le même toutes les heures, plus 50 pour cent, le nombre de bactéries augmente d’une quantité de plus en plus grande, car on ajoute 50 pour cent d’une quantité de plus en plus grande. L’augmentation du nombre de bactérie par heure est croissante. Il s’agit d’un taux de variation croissant. Et on appelle ce type de situation une croissance exponentielle.

Maintenant, pour calculer le nombre de bactéries l’heure suivante, il faut simplement le multiplier le nombre de bactéries de l’heure précédente par 1,5. Par exemple, en passant de l’heure un à l’heure deux, on commence avec 750 bactéries, et après l’heure deux, on a 100 pour cent des bactéries d’origine plus 50 pour cent supplémentaires. La quantité de bactéries est donc de 150 pour cent de 750. Mais 150 pour cent signifie 150 divisé par 100. Soit 1,5. Donc, le multiplicateur pour calculer 150 pour cent de quelque chose est 1,5.

1,5 est équivalent à la raison d’une suite géométrique. Chaque heure, on multiplie le nombre de bactéries par 1,5, pour déterminer le nombre de bactéries de l’heure suivante. Cela en fait une suite géométrique. On commence donc à l’heure zéro avec 500 bactéries. Une heure plus tard, on a 500 fois 1,5 bactéries. Une heure plus tard, on prend la quantité obtenue après l’heure un, et on la multiplie par 1,5. Et une heure plus tard, on multiplie à nouveau ce nombre par 1,5, et ainsi de suite. Cela signifie qu’après une heure, on aura 500 fois 1,5 une fois, ce que l’on peut écrire comme ceci. 500 fois 1,5 puissance un. Après deux heures, on aura multiplié par 1,5 deux fois, que l’on peut écrire comme ceci. 500 fois 1,5 au carré. Après trois heures, ce sera 500 fois 1,5 au cube. Et après quatre heures, 500 fois 1,5 puissance quatre.

Et pour ce premier nombre ici, on peut considérer qu’il est multiplié par un. Or, 1,5 puissance zéro est égal à un. Donc, une autre façon de l’écrire est 500 fois 1,5 puissance zéro. On obtient donc ce modèle : après zéro heure, on a 500 fois 1,5 puissance zéro. Après une heure, on a 500 fois 1,5 puissance un. Après deux heures, on a 500 fois 1,5 puissance deux et ainsi de suite. Trois heures correspondent à une puissance trois et quatre heures correspondent à une puissance quatre.

Et nous pouvons résumer cela dans une formule. Si 𝑥 est le nombre d’heures écoulées, alors le nombre de bactéries dans la boîte de Pétri est égal à 500 fois 1,5 puissance 𝑥. Rappelez-vous que 500 était la quantité initiale de bactéries et que 1,5 est le multiplicateur par heure. Puisque l’on ajoutait 50 pour cent, il fallait multiplier par 1,5. Ce type de formule est ce que l’on appelle une équation de croissance exponentielle. Et si nous tracions sa courbe représentative, voici à quoi elle ressemblerait.

Remarquez que pendant la première heure, le nombre de bactéries a augmenté de 250. Mais entre la quatrième et la cinquième heure, bien que la population augment toujours de 50 pour cent, il faut maintenant ajouter 1 266 bactéries, arrondi à l’entier le plus proche. Le taux de variation est croissant. Cette courbe devient de plus en plus raide. Maintenant, en comparant cela avec le modèle à taux de variation constant, vous pouvez voir que la courbe de la croissance exponentielle s’éloigne de plus en plus de la courbe de la croissance constante. Pour cette droite ici, on ajoute simplement 250 bactéries toutes les heures, alors qu’avec cette courbe, on ajoute 50 pour cent de la population, quelle que soit sa quantité au début de cette heure.

Voici donc une formule générale pour une croissance exponentielle. 𝑦 est égal à la quantité initiale fois le multiplicateur puissance 𝑥. C’est de là que vient le nom de « croissance exponentielle », car 𝑥 est un exposant dans cette formule. Cet exposant 𝑥 nous indique combien de fois on multiplie la quantité initiale par le multiplicateur. Et il convient également de noter que lorsque 𝑥 est égal à zéro, le multiplicateur puissance zéro est égal à un. Ce qui donne bien la quantité initiale. Une autre conséquence intéressante de cela est que si le multiplicateur est supérieur à un, alors on obtient une croissance exponentielle. Les valeurs de 𝑦 augmentent de plus en plus lorsque 𝑥 devient de plus en plus grande. On ajoute le même pourcentage de quantités de plus en plus grandes pour chaque augmentation correspondante de 𝑥. Donc, les incréments eux-mêmes seront de plus en plus grands. Plus le multiplicateur est élevé, plus la courbe monte rapidement.

Et si le multiplicateur est égal à un, alors on obtient simplement une droite horizontale constante. Peu importe combien de fois on multiplie deux par un, on obtient toujours deux. Donc, pour cette équation, j’ai une quantité initiale de deux et un multiplicateur de un. Mais dès que le multiplicateur devient supérieur à un, j’obtiens une courbe de croissance exponentielle. Et plus le multiplicateur est grand, plus la courbe monte rapidement. Lorsque les multiplicateurs sont de plus en plus grands, les ordonnées 𝑦 deviennent très, très grandes, très rapidement. Il vaut également la peine de souligner que lorsque le multiplicateur est compris entre zéro et un, on obtient une décroissance exponentielle. On diminue en effet l’ordonnée 𝑦 d’un pourcentage fixe chaque fois que 𝑥 augmente d’une certaine quantité.

Il convient de noter qu’avec une décroissance exponentielle, on diminue également du même pourcentage à chaque fois. On a donc des diminutions de plus en plus petites. On n’atteint jamais tout à fait zéro si on commence par un nombre positif. Et on n’obtient jamais non plus de valeur négative. L’ordonnée 𝑦 se rapproche de plus en plus de zéro. Et ce comportement, la courbe qui se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses mais ne l’atteint jamais tout à fait, est appelé asymptotique. Donc dans ce cas, l’axe des abscisses est une asymptote. C’est la droite dont la courbe se rapproche de plus en plus, mais sans jamais la toucher.

Prenons donc juste un moment pour résumer ce que nous venons d’apprendre. La formule générale d’une croissance ou d’une décroissance exponentielle est la suivante. 𝑦 est égal à une quantité initiale multipliée par un multiplicateur puissance 𝑥. Et la valeur du multiplicateur est essentielle pour déterminer s’il s’agit d’une valeur constante ou d’une croissance ou décroissance exponentielle. Si le multiplicateur est compris entre zéro et un, alors on obtient une décroissance exponentielle. Les ordonnées 𝑦 se rapprochent de plus en plus de zéro sans jamais l’atteindre. Si le multiplicateur est égal à un, il n’y a pas de croissance ou de décroissance exponentielle. On obtient juste une valeur constante parce que l’on multiplie la quantité initiale par un plusieurs fois. Et si le multiplicateur est supérieur à un, on obtient une croissance exponentielle. Les ordonnées 𝑦 deviennent de plus en plus grandes à un taux croissant.

Essayons à présent de reconnaître une croissance et une décroissance exponentielle à partir de tableaux de valeurs, de descriptions ou d’équations.

Soient donc les valeurs de 𝑥 : zéro, un, deux et trois. Et les valeurs de 𝑦 correspondantes sont 10, 20, 40 et 80. Remarquez que les incréments deviennent de plus en plus grands au fur et à mesure que 𝑥 augmente de un. Il s’agit donc d’une croissance avec un taux de variation croissant. Et la propriété importante ici est que lorsque 𝑥 augmente d’une unité, l’ordonnée 𝑦 double. Le rapport entre ces valeurs consécutives est donc constant et égal à 2. Cela en fait une suite géométrique.

Il est important de noter que lorsque 𝑥 est égal à un, la valeur initiale de 𝑦 a déjà multipliée par deux une fois. Lorsque 𝑥 est égal à deux, la valeur initiale de 𝑦 a été multipliée par deux, deux fois. Et quand 𝑥 est égal à trois, la valeur initiale de 𝑦 a été multipliée par deux trois fois. J’ai donc une formule qui ressemble à ceci. 𝑦 est égal à 10, la quantité initiale, multipliée par deux, le multiplicateur, puissance 𝑥. Cela en fait une croissance exponentielle. La formule est bien au format d’une équation de croissance exponentielle. Nous avons une quantité initiale de 10 et un multiplicateur qui est supérieur à un. Nous pouvons donc conclure qu’il s’agit d’une croissance exponentielle.

Pour le prochain exemple, on a les mêmes abscisses 𝑥 : zéro, un, deux et trois. Et les ordonnées 𝑦 correspondantes sont 10, 20, 60 et 240. On remarque que les ordonnées 𝑦 deviennent de plus en plus grandes. Mais leurs valeurs n’augmentent pas à un taux constant, elles augmentent à un taux croissant Ce n’est donc pas une relation linéaire. Il pourrait ainsi potentiellement s’agir d’une croissance exponentielle. Nous avons une croissance de plus en plus forte, mais le quotient entre les valeurs successives n’est pas constant. Quand on passe de 𝑥 égale zéro à 𝑥 égale un, l’ordonnée 𝑦 double. Et entre 𝑥 égale un et 𝑥 égale deux, l’ordonnée 𝑦 triple. Entre 𝑥 égale deux et 𝑥 égale trois, l’ordonnée 𝑦 est multipliée par quatre.

Comme le quotient entre les termes successifs n’est pas constant, on ne peut pas trouver d’équation de la forme 𝑦 égale une quantité initiale multipliée par un multiplicateur puissance 𝑥 avec un multiplicateur commun. Il ne s’agit pas de la forme présentée précédemment. Donc ce n’est pas une croissance exponentielle.

Pour ce nouveau cas, on a les mêmes abscisses 𝑥, et les ordonnées 𝑦 augmentent. Mais la relation que suivent les ordonnées 𝑦 est linéaire : elles augmentent toujours de la même quantité, 10. Le taux de variation est donc constant. Et les multiplicateurs ne sont pas constants mais décroissants. Ce n’est donc pas une croissance exponentielle : c’est une croissance linéaire.

Maintenant, pour ces données, quand les abscisses 𝑥 augmentent d’une unité à chaque fois, les ordonnées 𝑦 diminuent. Mais elles diminuent de moins en moins à chaque fois. En fait, chaque valeur de 𝑦 est égale à la moitié de la valeur de 𝑦 précédente. Et on peut écrire une formule générale pour ces valeurs. On a 𝑦 égale notre quantité initiale de 32 fois le multiplicateur commun 0,5 puissance 𝑥. Et ce multiplicateur est compris entre zéro et un. On en déduit donc qu’il s’agit d’une décroissance exponentielle.

Étudions à présent un exemple concret : un plan d’épargne paie des intérêts au taux de 0,9 pour cent par an. Cela correspond-t-il à une croissance linéaire ou exponentielle ?

Commençons par souligner qu’un taux d’intérêt de 0,9 pour cent n’est pas un plan d’épargne particulièrement généreux ! Mais chaque année, vous aurez 100 pour cent de ce que vous aviez l’année dernière plus 0,9 pour cent supplémentaire. Donc, au bout d’un an, vous aurez 100,9 pour cent du montant que vous aviez à la fin de l’année précédente. Maintenant, rappelez-vous que 100,9 pour cent signifie 100,9 divisé par 100, ce qui est équivalent à un multiplicateur de 1,009. Et 1,009 est supérieur à un, donc cela va être une croissance exponentielle.

Jetons maintenant un coup d’œil à la formule. Nous devons tout d’abord définir certaines variables. Soit 𝑥 l’année écoulée. Soit 𝑦 le montant du compte d’épargne, en dollars. Et soit 𝑎 le montant initial investi dans ce compte, en dollars. Par conséquent, le montant des économies dans le compte après l’année 𝑥 est égal au montant initial 𝑎 fois 1,009, le multiplicateur, puissance 𝑥. Et le multiplicateur est supérieur à un. Ce qui signifie que nous aurons une croissance exponentielle.

Nouvel exemple, la fonction exponentielle 𝑦 égale 0,7 fois 1,3 puissance 𝑥 est-elle croissante ou décroissante ?

L’énoncé nous dit qu’il s’agit d’une fonction exponentielle et on peut voit qu’elle correspond au modèle. La quantité initiale est 0,7 et le multiplicateur est 1,3. 1,3 est bien sûr supérieur à un, ce qui nous indique une croissance exponentielle. Donc, la réponse à la question est qu’elle est croissante. Cette question comportait cependant un petit piège. Le montant initial était ici compris entre zéro et un. Mais rappelez-vous que c’est la valeur du multiplicateur qui est décisive pour déterminer s’il s’agit d’une croissance ou d’une décroissance exponentielle. Et le multiplicateur était supérieur à un, c’est pourquoi il s’agissait d’une croissance exponentielle.

Étudions alors une dernière fonction, 𝑦 égale six puissance 𝑥. Cette fonction représente-t-elle une croissance ou décroissance exponentielle ou linéaire ?

Encore une fois, c’est une question un peu piège parce que cette équation n’est pas tout à fait dans le format auquel nous sommes habitués, mais nous pouvons l’écrire de cette façon. Elle est équivalente à 𝑦 égale un fois six puissance 𝑥. Donc, notre quantité initiale est un et le multiplicateur est supérieur à un. Cette équation exponentielle est bien sous la forme générale étudiée dans cette vidéo. Et elle vérifie tous les critères d’une croissance exponentielle.

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